1、1苏州五中 2018-2019 学年第二学期期中调研测试高二数学（理科）2019.4一、填空题（ 本 大 题 共 14 小 题 ,每 小 题 5 分 ,计 70 分 .不 需 写 出 解 答 过 程 ,请 把 答 案 写 在 答 题纸 的 指 定 位 置 上 ）1.已知复数 ，若 ，则实数 a= 3zaiz2.已知 ，则实数 n 的值为 20nA3.二项式 的展开式中第 5 项的二项式系数为 （用数字作答）6()x4.已知 是虚数单位，复数 对应的点在第 象限 i 312iz5.有 4 种不同的蔬菜，从中选出 3 种，分别种植在不同土质的 3 块土地上进行实验，则不同的种植方法共 种 6.已知
2、直线 l 的方向向量为 ，平面 的法向量为 (1,2)e1(,)(R2n若 ，则实数 的值为 7.用数字 1,2,3,4,5 组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为 8.已知随机变量 X 的概率分布为 P(X i) (i1,2,3,4)，则 P(22， f(8) ， f(16)12 13 1n 32 523， f(32) ，72则可以归纳出一般结论：当 n2 时，有 10.某工厂生产 10 个产品，其中有 2 个次品，从中任取 3 个产品进行检测，则 3 个产品中至多有 1 个次品的概率为 11.在 的二项式中，所有项的二项式系数之和为 256，则常数项等于 nx2312.将 A， B，
3、C， D， E 排成一排,要求在排列中,顺序为“ABC”或“CAB”(可以不相邻),这样的排法有 种. (用数字作答)13. 如图，一个地区分为 5 个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一种颜色现在有 4 种颜色可供选择，则不同2的着色方法共有 种.（以数字作答）14. 祖暅原理：两个等髙的几何体，若在所有等高处的水平截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等利用祖暅原理可以求旋转体的体积如：设半圆方程为 220,xyr，半圆与 x轴正半轴交于点 A，作直线 xr， y交于点 P，连接 OP（ 为原点） ，利用祖暅原理可得：半圆绕 y 轴旋转所得半球的体积与 OA绕轴旋转一周形成的几
4、何体的体积相等类比这个方法，可得半椭圆21ab(0,)aby绕 轴旋转一周形成的几何体的体积是 二、解答题(共 6 大题，满分共 90 分. 解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请把答案写在答题纸的指定区域内)15.（本小题满分 14 分）已知复数 在复平面内所对应的点为 22(6)()(zmmiRA（1）若复数 为纯虚数，求实数 的值；4（2）若点 在第二象限，求实数 的取值范围；A（3）求 的最小值及此时实数 的值z16.（本小题满分 14 分）已知 ， .11()()()(4732fnnN 3()1()gnN(1) 当 时，分别比较 与 的大小（直接给出结论） ；,23)fg(
5、2) 由(1)猜想 与 的大小关系，并证明你的结论.()fgn317.(本小题满分 14 分)已知 1+2nx（(1)若展开式中第 5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；(2)若展开式前三项的二项式系数和等于 79，求展开式中系数最大的项18.（本小题满分 16 分）如图，已知正四棱锥 中， 点 分别在 上，且PABCD2,ABMN,PABD.13PMBNAD（1）求异面直线 与 所成角的大小；（2）求二面角 的余弦值.PB419.（本小题满分 16 分）某商场为刺激消费，让消费达到一定数额的消费者参加抽奖活动抽奖方案是：顾客从一个装有 2
6、个红球，3 个黑球，5 个白球的袋子里一次取出 3 只球，且规定抽到一个红球得 3分，抽到一个黑球得 2 分，抽到一个白球得 1 分，按照抽奖得分总和设置不同的奖项记某位顾客抽奖一次得分总和为 X （1）求该顾客获得最高分的概率；（2）求 X 的分布列和数学期望20 （本小题满分 16 分）已知 .*)()41( 22102 Nnxaxaxn （1）若 ，求 a3的值；562210n（2）求证： ；*)(Nan（3）若存在整数 k (0 k2 n)，对任意的整数 m (0 m2 n)，总有 成立，这样kma的 k 是否唯一？并说明理由。 56苏州五中 2018-2019 学年第二学期期中调研测
7、试高二数学（理科）参考答案一、填空题1. ； 2. ； 3. ； 4. 四； 5. 24； 46156. ； 7. ； 8. ； 9. f(2n) (nN *)； 10. 127270n 22 145； 11. ； 12. 13. ； 14. 23ab.14072二、解答题15解：（1）由 2 分2560m解得 4 分注：未舍解的扣 2 分（2）由 6 分260m解得 或 8 分312（3） 92 2(6)()zm分令 ，11 分29,)4mt则 12 分82168tz所以当 即 时，13 分2t7有最小值 14 分z16证明 （1）当 时， , , ，1n()2f3(1)4g()1fg当 时
8、， , , ，2572f7当 时， , , 。4 分3n20()7f3()10g()3fg(2)猜想： ,即 .6 分()fgN） 31)472n下面用数学归纳法证明：当 时，上面已证. 71n分假设当 时，猜想成立，即nk 31()()()1472k则当 时，110 分31()()()()()47321f kk3k34()因为 ，所以 ，132233(1)()3234(1)(1)kkg分所以，当 时猜想也成立1nk综上可知：对 ，猜想均成立。14*N分17解(1)C C 2C ， n221 n980.4n 6n 5n n7 或 n14， 2 分当 n7 时，展开式中二项式系数最大的项是 T4
9、和 T5. T4的系数为 C 423 ，37(12) 352T5的系数为 C 32470， 4 分47(12)当 n14 时，展开式中二项式系数最大的项是 T8. T8的系数为 C 7273 432. 6 分714(12)(2)C C C 79， n2 n1560.0n 1n 2n n12 或 n13(舍去) 8 分设 Tk1 项的系数最大， 12 12(14 x)12，(12 2x) (12)8Error! 9.4 k10.4， k10. 展开式中系数最大的项为 T11， 13 分T11C 2210x1016 896 x10. 14 分 102 (12)18.证明：（1）设 ， 交于点 ，在
10、正四棱锥 中， 平面 .ABDOPABCDOPABCD，所以 . 以 为坐标原点， ，PABP方向分别是 轴、 轴正方向，建立空间直角坐标系 ，xy Oxyz如图： 2 分则 ， ， ， ，(1,0)A(,1)B(,0)C(1,0)D,2.P故 ，212(,)33OMOAP，1(,0)3NB所以 ， ，2,3(1,2)C，3cos,NPM所以 与 所成角的大小为 . 8 分PC6（2） ， ， .(1,2)(,0)B42(,0)3NC设 是平面 的一个法向量，则 , ，,xyzmPm0CB可得 令 ， ， ，即 ， 10 分20,x2y1z(,21)设 是平面 的一个法向量，则 ， ，1(,)
11、xyznPCN0PCn0N可得 令 ， ， ，即 ， 12 分1120,12x14y12z(,42)n，53cos,3mnDNMA BCP（第 18 题图）Oxyz9则二面角 的余弦值为 .16 分NPCB5319解：（1）该顾客抽奖一次，当抽到 2 个红球 1 个黑球时，得分总和最高为 8 分，2分得分为 8 分的概率为2130(8)CPX4， 4 分（2）由题意知,袋子中共有 10 个球,(3)PX5102C， (4)3510， ()PX21535100C，(6)323510102，(7)PX25331010C， 2310(8)13 分（X=3，4，8 时算对一种得 1 分，X=5,6,7
12、 时算对一种得 2 分）所以 X 的数学期望 1035313()34678220201E65.15 分答：（1）该顾客获得高分的概率是 14；（2）X 的数学期望为 5.1. 16 分20. 解：（1）取 ，有 解得 ，2x 2012165(),4nnaa 2n分此时 4 分16)4(33Ca10（2） ，下面证明： ，nCa42124nC当 时，左= ，右= ，左 右，命题成立； 6 分131假设当 时，命题成立，有 ，kn124kk则 时，1 !)2(41)(24)!(142 kkCkk 123)(24 k，命题也成立. 1)2(31kk由上知， ( )，即 ( )10 分142nC*N12na*N（3）由题意知： 是 中的最大项 ， ka012,n 24knC12kna所以 ，10 分121 ()!41()!21)!knkCkkn (,)k*N 令 ，得 ，设小于或等于 的最大整数为 ，则4 5k 25nM当 时， ，故 （ 时取等号） ；1kM 1ka 011Maa 215n当 时， ， ，故 14 分2n 41k12na所以当 时，满足条件的正整数 有 2 个，即 或 ；15k1当 时，满足条件的正整数 只有 1 个，即 16 分2nMkM
