1、12018-2019 学年江苏省南通市南郊中学九年级（下）月考数学试卷一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1五个新篮球的质量（单位：克）分别是+5、3.5、+0.7、2.5、0.6，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数仅从轻重的角度看，最接近标准的篮球的质量是（ ）A2.5 B0.6 C+0.7 D+52用科学记数法表示数 5.002104，则原数是（ ）A5002 B50020 C500200 D50020003如图， AB CD， BE 交 CD 于点 F， B45， E21，则 D 的度数为（ ）A21 B24 C45 D664若二次根式 有意义，
2、则 x 的取值范围是（ ）A x B x C x D x55下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ）A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）A BC D7某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 40 只黄羊，发现其中两只有标志从而估计该地区有黄羊（ ）A200 只 B400 只 C800 只 D1000 只8等腰梯形两底的差是 4，两腰的长也是 4，则这个等腰梯形的两锐角都是（ ）2A75 B60 C45 D309如图，下列图形从正面看是三角形的是（
3、 ）A B C D10某村办工厂今年前 5 个月生产某种产品的总量 c（件）关于时间 t（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说（ ）A1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4，5 两月每月生产总量逐月减少B1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4，5 两月每月生产总量与 3 月份持平C1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4，5 两月均停止生产D1 月至 3 月每月生产总量不变，4，5 两月均停止生产二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）11已知关于 x 的方程 3m4 x2 的解是 x1，则 m 的值是 12反比例函数 y 的图象经过点（3，2），则 k 的值为 1
4、3已知 O1与 O2的半径分别为 3 和 4， O1O27，则这两圆的位置关系为 14如图，点 A， B， C， D 为 O 上的四个点， AC 平分 BAD， AC 交 BD 于点 E， CE1， CD2，则AE 的长为 15小明将飞镖投向如图所示的正方形木板（每个方格除颜色外完全一样），那么镖落在阴影部分的概率为 316已知一个样本：1，3，5， x，2，它的平均数为 3，则这个样本的方差是 17设 ， 是方程 x2 x20190 的两个实数根，则 32021 的值为 ；18如图，已知 A1， A2， A3， An是 x 轴上的点，且 OA1 A1A2 A2A3 AnAn+11，分别过点A
5、1， A2， A3， An+1作 x 轴的垂线交一次函数 的图象于点 B1， B2， B3， Bn+1，连接A1B2， B1A2， A2B3， B2A3， AnBn+1， BnAn+1依次产生交点 P1， P2， P3， Pn，则 Pn的坐标是 三解答题（共 10 小题，满分 96 分）19（1）计算：|2|+ （3） 02 3（2）化简： （ ）20解不等式组： ，并在数轴上表示出它的解集21已知：如图， AD AE， ADC AEB， BE 与 CD 相交于 O 点（1）在不添加辅助线的情况下，请写出由已知条件可得出得结论（例如，可得出 ABEACD， DOB EOC， DOE BOC 等
6、）你写的结论中不得有上述所举之例，只要写出四个即可 ；（2）就你写出的其中一个结论，说明其成立的理由422不透明的袋中装有 3 个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）（1）两次取的小球都是红球的概率；（2）两次取的小球是一红一白的概率23随着科技进步，无人机的应用越来越广，如图 1，在某一时刻，无人机上的探测器显示，从无人机 A 处看一栋楼顶部 B 点的仰角和看与顶部 B 在同一铅垂线上高楼的底部 C 的俯角（1）如果上述仰角与俯角分别为 30与 60，且该楼的高度为 30 米，求该时刻无人机的竖直
7、高度 CD；（2）如图 2，如果上述仰角与俯角分别为 与 ，且该楼的高度为 m 米求用 、 m 表示该时刻无人机的竖直高度 CD24如图， ABC 中， ACB90， D 是边 AB 上一点，且 A2 DCB E 是 BC 边上的一点，以EC 为直径的 O 经过点 D（1）求证： AB 是 O 的切线；（2）若 CD 的弦心距为 1， BE EO，求 BD 的长525某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，当按
8、定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书（1）第一次购书的进价是多少元？（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；若赚钱，赚多少？26如图 1 所示：等边 ABC 中，线段 AD 为其内角角平分线，过 D 点的直线 B1C1 AC 于 C1交 AB 的延长线于 B1（1）请你探究： ， 是否都成立？（2）请你继续探究：若 ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角角平分线，请问 一定成立吗？并证明你的判断（3）如图 2 所示 Rt ABC 中， ACB90， AC8， AB ， E 为 AB 上一点且 AE5， CE 交其内
9、角角平分线 AD 于 F试求 的值27某商场同时购进甲、乙两种商品共 200 件，其进价和售价如下表，商品名称 甲 乙进价（元/件） 80 1006售价（元/件） 160 240设其中甲种商品购进 x 件（1）若该商场购进这 200 件商品恰好用去 17900 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这 200 件商品的总利润为 y 元求 y 与 x 的函数关系式；该商品计划最多投入 18000 元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 a 元（50 a70）出售，且限定商场最
10、多购进 120 件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案28已知，抛物线 y ax2+ax+b（ a0）与直线 y2 x+m 有一个公共点 M（1，0），且 a b（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求 DMN 的面积与 a 的关系式；（3） a1 时，直线 y2 x 与抛物线在第二象限交于点 G，点 G、 H 关于原点对称，现将线段 GH 沿 y 轴向上平移 t 个单位（ t0），若线段 GH 与抛物线有两个不同的公共点，试求 t 的取值范围7
11、2018-2019 学年江苏省南通市南郊中学九年级（下）月考数学试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分）1五个新篮球的质量（单位：克）分别是+5、3.5、+0.7、2.5、0.6，正数表示超过标准质量的克数，负数表示不足标准质量的克数仅从轻重的角度看，最接近标准的篮球的质量是（ ）A2.5 B0.6 C+0.7 D+5【分析】求它们的绝对值，比较大小，绝对值小的最接近标准的篮球的质量【解答】解：|+5|5，|3.5|3.5，|+0.7|0.7，|2.5|2.5，|0.6|0.6，53.52.50.70.6，最接近标准的篮球的质量是0.6，故选： B【点评
12、】本题考查了正数和负数，掌握正数和负数的定义以及意义是解题的关键2用科学记数法表示数 5.002104，则原数是（ ）A5002 B50020 C500200 D5002000【分析】根据科学记数法的定义，由 5.002104的形式，可以得出原式等于5.0021000050020，即可得出答案【解答】解：5.00210 450020，故选： B【点评】本题主要考查了科学记数法化为原数，得出原式等于 5.0021000050020 是解题关键3如图， AB CD， BE 交 CD 于点 F， B45， E21，则 D 的度数为（ ）A21 B24 C45 D66【分析】要求 D 的度数，只需根据
13、平行线的性质，求得 B 的同位角 CFE 的度数，再根据三角形的外角的性质进行求解【解答】解： AB CD，8 B EFC45 D EFC E452124故选： B【点评】本题应用的知识点为：两直线平行，同位角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和4若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是（ ）A x B x C x D x5【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可【解答】解：由题意得，5 x10，解得， x ，故选： B【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键5下图中是中心对称图形而不是轴对称图形的共有（ ）A1 个 B2
14、 个 C3 个 D4 个【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解【解答】解：第一个图形，既是中心对称图形，又是轴对称图形，故错误；第二个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第三个图形，是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；第四、五个是中心对称图形而不是轴对称图形，故正确故选： B【点评】掌握好中心对称与轴对称的概念：轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转 180度后与原图重合6下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ）A B9C D【分析】根据平移与旋转的性质得出【解答】解： A、能通过其中一个四边形平移得到，错误；B、能通过
15、其中一个四边形平移得到，错误；C、能通过其中一个四边形平移得到，错误；D、不能通过其中一个四边形平移得到，需要一个四边形旋转得到，正确故选： D【点评】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，导致误选7某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 40 只黄羊，发现其中两只有标志从而估计该地区有黄羊（ ）A200 只 B400 只 C800 只 D1000 只【分析】根据先捕捉 40 只黄羊，发现其中 2 只有标志说明有标记的占到 ，而有标记的共
16、有 20 只，根据所占比例解得【解答】解：20 400（只）故选： B【点评】此题考查了用样本估计总体；统计的思想就是用样本的信息来估计总体的信息，本题体现了统计思想，考查了用样本估计总体8等腰梯形两底的差是 4，两腰的长也是 4，则这个等腰梯形的两锐角都是（ ）A75 B60 C45 D30【分析】根据题意画出图形，过点 A 作 AE CD 交 BC 于点 E，根据等腰梯形的性质，易得四边形AECD 是平行四边形，根据平行四边形的对边相等，可得 ABE 是等边三角形，即可得 B 的值【解答】解：如图所示：梯形 ABCD 是等腰梯形，且 AD BC，过点 A 作 AE CD 交 BC 于点 E
17、， AD BC，四边形 AECD 是平行四边形，10 AE CD， AD EC， BE BC CE BC AD AB CD4， B60这个等腰梯形的锐角为 60故选： B【点评】本题考查了等腰梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及等边三角形的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键9如图，下列图形从正面看是三角形的是（ ）A B C D【分析】分别写出各选项中几何体的从正面看到的图形，进一步选择答案即可【解答】解： A、三棱柱从正面看到的是长方形，不合题意；B、圆台从正面看到的是梯形，不合题意；C、圆锥从正面看到的是三角形，符合题意；D、长方体从正面看到的是长方形，不合题意故
18、选： C【点评】此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握简单几何体的特征10某村办工厂今年前 5 个月生产某种产品的总量 c（件）关于时间 t（月）的函数图象如图所示，则该厂对这种产品来说（ ）A1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4，5 两月每月生产总量逐月减少B1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4，5 两月每月生产总量与 3 月份持平C1 月至 3 月每月生产总量逐月增加，4，5 两月均停止生产11D1 月至 3 月每月生产总量不变，4，5 两月均停止生产【分析】认真分析图象，即可解决问题【解答】解：表示的总产量前三个月的总产量直线上升，则 1 月至 3 月每月生产总量不变，而
19、4、5 两个月的产量不变，即停止生产故选： D【点评】这是检测一次函数的图象与实际问题的题目，如何理解后 2 个月的生产状况是关键二填空题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）11已知关于 x 的方程 3m4 x2 的解是 x1，则 m 的值是 2 【分析】虽然是关于 x 的方程，但是含有一个未知的系数，其实质是知道一个未知数的值求另一个未知数的值【解答】解：把 x1 代入 3m4 x2，得：3 m412，解得： m2故答案为：2【点评】考查了一元一次方程的解，本题含有一个未知的系数根据已知条件求未知系数的方法叫待定系数法，在以后的学习中，常用此法求函数解析式12反比例函数 y 的图
20、象经过点（3，2），则 k 的值为 6 【分析】把（3，2）代入函数解析式 即可求 k 的值【解答】解：由题意知， k326故答案为：6【点评】此题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点13已知 O1与 O2的半径分别为 3 和 4， O1O27，则这两圆的位置关系为 外切 【分析】先计算两圆半径之和得到两圆半径之和等于圆心距，然后根据圆和圆的位置关系进行判断【解答】解：3+47，即两圆半径之和等于圆心距，这两圆的位置关系为外切故答案为外切12【点评】本题考查了圆和圆的位置关系：若两圆的圆心距、半径分别为 d、 R、 r，则两圆外离dR+ r；两圆外切 dR+
21、r；两圆相交 R r dR+ r（ R r）；两圆内切dR r（ R r）；两圆内含 dR r（ R r）14如图，点 A， B， C， D 为 O 上的四个点， AC 平分 BAD， AC 交 BD 于点 E， CE1， CD2，则AE 的长为 3 【分析】根据圆周角定理 CAD CDB，继而证明 ACD DCE，设 AE x，则 AC x+1，利用对应边成比例，可求出 x 的值【解答】解：设 AE x，则 AC x+1， AC 平分 BAD， BAC CAD， CDB BAC（圆周角定理）， CAD CDB， ACD DCE， ， ，解得： x3故答案为：3【点评】本题考查了圆周角定理、相
22、似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出 CAD CDB，证明 ACD DCE15小明将飞镖投向如图所示的正方形木板（每个方格除颜色外完全一样），那么镖落在阴影部分的概率为 13【分析】用阴影部分的面积除以正方形的面积可得到镖落在阴影部分的概率【解答】解：镖落在阴影部分的概率 故答案为 【点评】本题考查了几何概率：某事件的概率相应的面积与总面积之比16已知一个样本：1，3，5， x，2，它的平均数为 3，则这个样本的方差是 2 【分析】先由平均数公式求得 x 的值，再由方差公式求解即可【解答】解：1，3， x，2，5，它的平均数是 3，（1+3+ x+2+5）53， x4， S2 （13）
23、2+（33） 2+（43） 2+（23） 2+（53） 22；这个样本的方差是 2故答案为：2【点评】本题考查了平均数和方差：一般地设 n 个数据， x1， x2， xn的平均数为 ，则方差S2 （ x1 ） 2+（ x2 ） 2+（ xn ） 2，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立17设 ， 是方程 x2 x20190 的两个实数根，则 32021 的值为 2018 ；【分析】根据一元二次方程跟与系数的关系，结合“， 是方程 x2 x20190 的两个实数根”，得到 + 的值，代入 32021，再把 代入方程 x2 x20190，经过整理变化，即可得到答案【解答】解
24、：根据题意得：+1， 32021（ 22020）（+）（ 22020）1， 220190， 220201，把 220201 代入原式得：原式（1）1 2114201912018【点评】本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键18如图，已知 A1， A2， A3， An是 x 轴上的点，且 OA1 A1A2 A2A3 AnAn+11，分别过点A1， A2， A3， An+1作 x 轴的垂线交一次函数 的图象于点 B1， B2， B3， Bn+1，连接A1B2， B1A2， A2B3， B2A3， AnBn+1， BnAn+1依次产生交点 P1， P2， P3， P
25、n，则 Pn的坐标是 （ n+ ， ） 【分析】由已知可以得到 A1， A2， A3，点的坐标分别为：（1，0），（2，0），（3，0），又得作 x 轴的垂线交一次函数 y x 的图象于点 B1， B2， B3，的坐标分别为（1， ），（2，1），（3， ），由此可推出点 An， Bn， An+1， Bn+1的坐标为，（ n，0），（ n， ），（ n+1，0），（ n+1， ）由函数图象和已知可知要求的 Pn的坐标是直线 AnBn+1和直线 An+1Bn的交点在这里可以根据推出的四点求出两直线的方程，从而求出点Pn【解答】解：由已知得 A1， A2， A3，的坐标为：（1，0），（2，0），
26、（3，0），又得作 x 轴的垂线交一次函数 y x 的图象于点 B1， B2， B3，的坐标分别为（1， ），（2，1），（3， ），由此可推出 An， Bn， An+1， Bn+1四点的坐标为，（ n，0），（ n， ），（ n+1，0），（ n+1，）所以得直线 AnBn+1和 An+1Bn的直线方程分别为：15y0 （ x n）+0，y0 （ x n1）+0，即 ，解得：，故答案为：（ n+ ， ）【点评】此题考查的知识点是一次函数的综合应用，同时也考查了学生对数字规律问题的分析归纳的能力解答此题的关键是先确定相交于 Pn点的两直线的方程三解答题（共 10 小题，满分 96 分）19（1
27、）计算：|2|+ （3） 02 3（2）化简： （ ）【分析】（1）先计算绝对值、开平方、乘方，然后计算加减；（2）先计算括号内的同分母的分式的减法，然后将除法转化为乘法后约分【解答】解：（1）原式2+2185；（2）原式 ， ， 【点评】本题考查了零指数幂、分式的混合运算注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减20解不等式组： ，并在数轴上表示出它的解集16【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可【解答】解： ，解不等式得： x2，解不等式得： x3，所以不等式组的解集为2 x3，在同一数轴上分别表示出它们的解集得【点评】本题考查的是解一元一次
28、不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键21已知：如图， AD AE， ADC AEB， BE 与 CD 相交于 O 点（1）在不添加辅助线的情况下，请写出由已知条件可得出得结论（例如，可得出 ABEACD， DOB EOC， DOE BOC 等）你写的结论中不得有上述所举之例，只要写出四个即可 DOB EOC BCD CBE ABE ACD BD EC ；（2）就你写出的其中一个结论，说明其成立的理由【分析】本题是开放题，应先确定选择哪对三角形，再对应三角形全等条件求解【解答】解： DOB EOC BCD CBE ABE ACD BD EC证
29、明： AD AE， ADC AEB， A A， ADC AEB， AB AC，即 BD EC， B C，又 DOB EOC（对顶角相等），17 DOB EOC（ AAS）【点评】三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件22不透明的袋中装有 3 个大小相同的小球，其中两个为白色，一个为红色，随机地从袋中摸取一个小球后放回，再随机地摸取一个小球，（用列表或树形图求下列事件的概率）（1）两次取的小球都是红球的概率；（2）两次取的小球是一红一白的概率【分析】（1）
30、用列表法列举出所有情况，看所求的情况与总情况的比值即可得答案，（2）由（1）的图表，可得要求的情况，与总情况作比即可得答案【解答】解：（1）根据题意，有两次取的小球都是红球的概率为 ；（2）由（1）可得，两次取的小球是一红一白的有 4 种；故其概率为 【点评】列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比23随着科技进步，无人机的应用越来越广，如图 1，在某一时刻，无人机上的探测器显示，从无人机 A 处看一栋楼顶部 B 点的仰角和看与顶部 B 在同一铅垂线上高楼的底部 C 的俯角18（1）如果上述仰角与俯角分别为 30与 60，且
31、该楼的高度为 30 米，求该时刻无人机的竖直高度 CD；（2）如图 2，如果上述仰角与俯角分别为 与 ，且该楼的高度为 m 米求用 、 m 表示该时刻无人机的竖直高度 CD【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得该时刻无人机的竖直高度 CD；（2）根据题意和锐角三角函数可以用 、 m 表示该时刻无人机的竖直高度 CD【解答】解：（1）图 1 中仰角与俯角分别为 30与 60，该楼的高度为 30 米， BAC90， ACD30， AB15 米， AD15sin60 米， CD ADtan60 米，即该时刻无人机的竖直高度 CD 是 米；（2）图 2 中仰角与俯角分别为 与 ，且该楼的高度为
32、m 米， BD ADtan， CD ADtan， AD ， CD BC BD m ADtan m ，解得， CD ，即该时刻无人机的竖直高度 CD 是 【点评】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想和锐角三角函数解答24如图， ABC 中， ACB90， D 是边 AB 上一点，且 A2 DCB E 是 BC 边上的一点，以EC 为直径的 O 经过点 D（1）求证： AB 是 O 的切线；（2）若 CD 的弦心距为 1， BE EO，求 BD 的长19【分析】（1）连接 OD，如图 1 所示，由 OD OC，根据等边对等角得
33、到一对角相等，再由 DOB为 COD 的外角，利用三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，等量代换可得出 DOB2 DCB，又 A2 DCB，可得出 A DOB，又 ACB90，可得出直角三角形 ABC中两锐角互余，等量代换可得出 B 与 ODB 互余，即 OD 垂直于 BD，确定出 AB 为圆 O 的切线，得证；（2）法 1：过 O 作 OM 垂直于 CD，根据垂径定理得到 M 为 DC 的中点，由 BD 垂直于 OD，得到三角形 BDO 为直角三角形，再由 BE OE OD，得到 OD 等于 OB 的一半，可得出 B30，进而确定出 DOB60，又 OD OC，利用等边对等角得到一对角相
34、等，再由 DOB 为三角形 DOC 的外角，利用外角的性质及等量代换可得出 DCB30，在三角形 CMO 中，根据 30角所对的直角边等于斜边的一半得到 OC2 OM，由弦心距 OM 的长求出 OC 的长，进而确定出 OD 及 OB 的长，利用勾股定理即可求出 BD 的长；法 2：过 O 作 OM 垂直于 CD，连接 ED，由垂径定理得到 M 为 CD 的中点，又 O 为 EC 的中点，得到OM 为三角形 EDC 的中位线，利用三角形中位线定理得到 OM 等于 ED 的一半，由弦心距 OM 的长求出 ED 的长，再由 BE OE，得到 ED 为直角三角形 DBO 斜边上的中线，利用直角三角形斜
35、边上的中线等于斜边的一半，由 DE 的长求出 OB 的长，再由 OD 及 OB 的长，利用勾股定理即可求出 BD的长【解答】（1）证明：连接 OD，如图 1 所示： OD OC， DCB ODC，又 DOB 为 COD 的外角， DOB DCB+ ODC2 DCB，又 A2 DCB， A DOB， ACB90，20 A+ B90， DOB+ B90， BDO90， OD AB，又 D 在 O 上， AB 是 O 的切线；（2）解法一：过点 O 作 OM CD 于点 M，如图 1， OD OE BE BO， BDO90， B30， DOB60， OD OC， DCB ODC，又 DOB 为 OD
36、C 的外角， DOB DCB+ ODC2 DCB， DCB30，在 Rt OCM 中， DCB30， OM1， OC2 OM2， OD2， BO BE+OE2 OE4，在 Rt BDO 中，根据勾股定理得： BD2 ；解法二：过点 O 作 OM CD 于点 M，连接 DE，如图 2， OM CD， CM DM，又 O 为 EC 的中点， OM 为 DCE 的中位线，且 OM1， DE2 OM2，在 Rt OCM 中， DCB30， OM1，21 OC2 OM2，Rt BDO 中， OE BE， DE BO， BO BE+OE2 OE4， OD OE2，在 Rt BDO 中，根据勾股定理得 BD
37、2 【点评】此题考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理，含 30直角三角形的性质，三角形的中位线定理，三角形的外角性质，以及直角三角形斜边上的中线性质，熟练掌握定理及性质是解本题的关键25某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用 1200 元购书若干本，并按该书定价 7 元出售，很快售完由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，当按定价售出 200 本时，出现滞销，便以定价的 4 折售完剩余的书（1）第一次购书的进价是多少元？（2）试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了（不考虑其他因素）？若赔钱，赔多少；
38、若赚钱，赚多少？【分析】（1）设第一次购书的单价为 x 元，根据第一次用 1200 元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了 20%，他用 1500 元所购该书的数量比第一次多 10 本，列出方程，求出 x 的值即可得出答案；（2）根据（1）先求出第一次和第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）求出二次赚的钱数，再分别相加即可得出答案【解答】解：（1）设第一次购书的单价为 x 元，根据题意得：+10 22解得： x5经检验， x5 是原方程的解，答：第一次购书的进价是 5 元；（2）第一次购书为 12005240（本），第二次购书为 240+10250（本），第一次
39、赚钱为 240（75）480（元），第二次赚钱为 200（751.2）+50（70.451.2）40（元），所以两次共赚钱 480+40520（元），答：该老板两次售书总体上是赚钱了，共赚了 520 元【点评】此题考查了分式方程的应用，掌握这次活动的流程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键26如图 1 所示：等边 ABC 中，线段 AD 为其内角角平分线，过 D 点的直线 B1C1 AC 于 C1交 AB 的延长线于 B1（1）请你探究： ， 是否都成立？（2）请你继续探究：若 ABC 为任意三角形，线段 AD 为其内角角平分线，请问 一定成立吗？并证明你的判断（3）
40、如图 2 所示 Rt ABC 中， ACB90， AC8， AB ， E 为 AB 上一点且 AE5， CE 交其内角角平分线 AD 于 F试求 的值【分析】（1）根据等边三角形的性质得到 AD 垂直平分 BC， CAD BAD30， AB AC，则DB CD，易得 ；由于 C1AB160，得 B130，则 AB12 AC1，同理可得到DB12 DC1，易得 ；23（2）过 B 点作 BE AC 交 AD 的延长线于 E 点，根据平行线的性质和角平分线的定义得到 E CAD BAD，则 BE AB，并且根据相似三角形的判定得 EBD ACD，得到 ，而 BE AB，于是有 ，这实际是三角形的角
41、平分线定理；（3） AD 为 ABC 的内角角平分线，由（2）的结论得到 ， ，又 ，则有 ，得到 DE AC，根据相似三角形的判定得 DEF ACF，即有 【解答】解：（1）两个等式都成立理由如下： ABC 为等边三角形， AD 为角平分线， AD 垂直平分 BC， CAD BAD30， AB AC， DB CD， ； C1AB160， B130， AB12 AC1，又 DAB130， DA DB1，而 DA2 DC1， DB12 DC1， ；（2）结论仍然成立，理由如下：如右图所示， ABC 为任意三角形，过 B 点作 BE AC 交 AD 的延长线于 E 点， E CAD BAD， BE
42、 AB， BE AC，24 EBD ACD， 而 BE AB， ；（3）如图，连 DE， AD 为 ABC 的内角角平分线 ， ，又 ， ， DE AC， DEF ACF， 【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质：平行于三角形一边的直线被其它两边所截，所截得的三角形与原三角形相似；相似三角形对应边的比相等也考查了等边三角形的性质、含30的直角三角形三边的关系以及角平分线的性质27某商场同时购进甲、乙两种商品共 200 件，其进价和售价如下表，25商品名称 甲 乙进价（元/件） 80 100售价（元/件） 160 240设其中甲种商品购进 x 件（1）若该商场购进这 200 件商品恰好用去 1
43、7900 元，求购进甲、乙两种商品各多少件？（2）若设该商场售完这 200 件商品的总利润为 y 元求 y 与 x 的函数关系式；该商品计划最多投入 18000 元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是多少元？（3）实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调 a 元（50 a70）出售，且限定商场最多购进 120 件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进货方案【分析】（1）由已知构造方程即可；（2）根据题意可以列出函数关系式，确定自变量取值范围，再应用一次函数性质讨论最值；（3）由于出厂价
44、下降 a 元，使得甲商品进价变为（80 a）元，在根据题意列出函数关系式，对于比例系数（ a60）讨论即可【解答】解（1）由已知，乙商品（200 x）件，根据题意得：80x+100（200 x）17900解得 x105则 200 x95答：购进甲商品 105 件，乙商品 95 件（2）根据题意， y（16080） x+（240100）（200 x）60 x+28000最多投入 18000 元购买两种商品80 x+100（200 x）18000解得 x100由 y60 x+28000 k600 y 随 x 的增大而减小当 x100 时， y 最大 22000若售完这些商品，则商场可获得的最大利润
45、是 22000 元26（3）由已知 y（160+ a80） x+（240100）（200 x）（ a60） x+2800050 a70当 50 a60 时， a600，当 x100 时， y 有最大值，此时，甲乙各进货 100 件当 a60 时， y28000，进货方案当满足 100 x120 时， y 固定为 28000 元当 60 a70 时， a600，当 x120 时， y 有最大值，此时进货方案为甲 120 件，乙 80 件【点评】本题以应用问题为背景，考察方程、一次函数性质等常规问题在第 3 问引入了含有字母的一次函数比例系数，此时要注意通过分类讨论解答问题28已知，抛物线 y ax2+ax+b（ a0）与直线 y2 x+m 有一个公共点 M（1，0），且 a b（1）求 b 与 a 的关系式和抛物线的顶点 D 坐标（用 a 的代数式表示）；（2）直线与抛物线的另外一个交点记为 N，求 DM
