1、- 1 -铜陵市一中 2018-2019 学年度第二学期高二年级学段（期中）考试数学试卷考试时间：1 20 分钟 满分：150 分一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列命题中为真命题的是( )A. 命题“若 ，则 ”的逆命题 yxB. 命题“ ，则 ”的否命题12C. 命题“若 ，则 ”的否命题 0xD. 命题“若 ，则 ”的逆否命题02x12.如图，是函数 的导函数 的图象，则下面判断正确的是 ( )fyxfA在区间 上 是增函数1,2xB在 上 是减函数3fC在 上 是增函数5,4D当 时， 取极大值xxf
2、3.函数 在 上的最小值为( )21f3,0A B C D.8402744.对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，且有 OABOPAxBy，则 ， ， 是 , , , 四点共面的( )RzyxC,2x3y2zA必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分又不必要条件5.曲线 与直线 及直线 所围成的封闭图形的面积为( )xy21xyA. B. C D4352ln421ln- 2 -6.已知双曲线 C： 的离心率为 ，则 C 的渐近线方程为( )0,12bayx 25A. B. C. D.y41x3xy1xy7.已知 是抛物线 的焦点， 是该抛物线上的动点，则线段 中点 的轨迹方
3、F24xyPPFM程是（ ）A. B. C. D.21xy12216xy22yx8. 表示不超过 的最大整数，例如： .x3321S10876542,215421093 ，依此规律，那 么 等于( )10SA B C D223202409.若存在过点 的直线 与曲线 和 都相切，则 的值0,Olxxf32ay2是( )A B. C 或 D 或164116416410.已知点 是抛物线 的一点， 为抛物线的焦点， 在圆M2yxFA上，则 的最小值为（ ）2:41CxMAA. B. C. D. 34511.设函数 在 上存在导数 ，对任意的 有 ，且fxRfxxR2fxfx时 ，若 ，则实数 的取
4、值范围是（ ）0,x 22aaA. B. C. D.1,1,- 3 -12.已知双曲线 上有一点 ，它关于原点的对称点为 ，点 为双)0,(12bayxABF曲线的右焦点，且满足 ，设 ，且 ，则该双曲线 离心率BFA6,12的取值范围为（ ）eA B C D13,232,3,13,二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13.已知命题 ，总有 ，则 的否定为 0:xp1xep14.已知方程 表示椭圆，则 的取值范围为 3522mym15.双曲线 : 的左、右顶点分别为 ， ，点 在 上且直线 斜率的取C12x1A2PC2A值范围是 ，那么直线 斜率的取值范围是 ,PA16
5、. ，对任意 ，不等式 恒成立，22,xexefg12,0,x12gxfk则正数 的范围是 k三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（10 分）已知 ，命题 对任意 ，不等式 恒成立；Rm:p1,0xmx32命题 存在 ，使得 成立:q1,xa（1）若 为真命题，求 的取值范围；p（2）当 ，若 且 为假， 或 为真，求 的取值范围aqpm18.（12 分）如图，正三棱柱 的所有棱长都为 ， 为 中点1CBA2D1C（1）求证： 平面 ；1ABD1（2）求锐二面角 的余弦值- 4 -19.（12 分）已知函数 0.xfeaRa且（1）若函数 处取得极值，求实数
6、 的值；并求此时 上的最大值；0fx在 21fx在 ，（2）若函数 不存在零点，求实数 的取值范围f a20.（12 分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点为坐标原点，准线方程为 ，直线1xl与抛物线相交于不同的 、 两点AB（1）求抛物线的标准方程；（2）如果直线 过抛物线的焦点，求 的值；l O（3）如果 ，直线 是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，4OBAl试说明理由21.（12 分）已知椭圆 ，离心率 .左焦点为 ，过点 且与)0(12bayx21eF轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 .x 3（1）求该椭圆的方程；（2）过椭圆的左焦点的任意一条直线 与椭圆交于 两点，在
7、轴上是否存在定点 使lBA,xP得 轴平分 ,若存在，求出定点坐标，若不存在，说明理由xAPB22.（12 分）已知函数 （其中 ）在点 处的切线斜率为 1bfxa,aR1,f（1）用 表示 ；ab- 5 -（2）设 ，若 对定义域内的 恒成立，求实数 的取值范围；lngxfx1gxa（3）在（2）的前提下，如果 ，证明： 2x12- 6 -参考答案13. ，使得 14.0:xp10xe5,1315. 16.23,4 k17.（1） -5 分,m（2） -10 分2118 （1）取 BC 中点 O，连结 AOABC 为正三角形，AOBC在正三棱柱 ABCA 1B1C1中，平面 ABC平面 BC
8、C1B1，AO平面 BCC1B1 取 B1C1中点 O1，以 O 为原点， ， 1O， A的方向为 x，y，z 轴的正方向建立空间直角坐标系：Oxyz，如图所示，则 B(1，0，0)， D(1，1，0)，A1(0，2， 3)， A(0，0， 3)， B1(1，2，0)， ,B， ,， ,3A题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 A C B B D C B A D C A A- 7 - 10ABD， 10BA， ， ， AB1平面 A1BD -6 分（2）设平面 A1AD 的法向量为 ,xyzn,3()D， ,20() An， 1， 1ADn， 302xyz， 3yxz
9、，令 1z得 (3,)0为平面 A1AD 的一个法向量由（1）知 AB1 平面 A1BD， B为平面 A1BD 的法向量， 1136cos 42Bn, 锐二面角 A A1D B 的大小的余弦值为 -12 分19. (1) -6 分3,2maxef（2） ，由于 fx 0当 时， 是增函数， 0a,ffx且当 时， 1x1ea当 时， ， ，取 ，0xf x1xa1xa则 ，所以函数 存在零点 10faaf当 时， 0,lnxfe在 上 单调递减，在 上 单调递,lna0fl,a0,fxf增，所以 时 取最小值 xx函数 不存在零点，等价于 ，f lnll2lnafea解得 20ea- 8 -综
10、上所述：所求的实数 的取值范围是 （其它正确解法也给分） a20ea-12 分20.解：（1） 已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为 ，所以 ， 所以抛物线的标准方程为 -4 分（2） 设 ，与 联立，得 ，设 ， ，所以 ， ，所以 -8 分（3） 假设直线 过定点，设 ， 得 ，设 ， ，所以 ， 由解得 ，所以 过定点 -12 分21.解：解：（1） 解得 ：22213cbab1,3,cba- 9 -4 分1342yx（2）假设在 x 轴上存在点 ，使得 轴平分 ,)0,(tPxAPB当 斜率不存在时，点 P 显然存在，当 斜率存在时，设 ： 与椭圆交于两点l ll)1
11、(xky),(),(221yxBA342ky 01248)43(22kxk-6 分221221 43;48kxkx又因为 轴平分 ,-8 分APB0,021txytBPA即整理得 2)(12txtx，去分母得0438)4322 tktk 4t-12 分）为 （点 0,-P22.(1) -2 分1ab(2) 恒成立，分离变量可得1lnlnagxfxx对 恒成立，2lnl1ax0,令 ，则 。2lhmaxh这里先证明 ，记 ，则 ，ln1xln1s1sx易得 在 上单调递增，在 上单调递减， ，所以s0,max10s。lx- 10 -因此， ，且 时 ，221lnxxh1xh所以 ，实数 的取值范围是 。 -7 分max1,（3）由（2）知 ，且 在 单调递减 ；在 单调递增，gx011,-12 分- 11 -
