1、- 1 -蚌埠二中 2018-2019 学年第二学期期中考试高二数学试题（理科）（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知 是虚数单位，复数 z 满足 ，则 的虚部是i 12izA1 B C1 Di i2.利用反证法证明“若 ，则 且 ”时，下列假设正确的是20xyx0yA 且 B 且 C 或 D 或0xy0xy3.若 ，则 的值为43nC)!3(A1 B7 C20 D35 4. 展开式中，含 项的系数为52x2xA 30 B70 C90 D1505.下面四个命题：其中正
2、确的有 ab，是两个相等的实数，则 ()()abi是纯虚数；任何两个复数不能比较大小；若 1z， 2C，且 210z，则 120z；两个共轭虚数的差为纯虚数A1 个 B2 个 C3 个 D4 个6.在直角坐标平面内，由曲线 ， ， 和 x 轴所围成的封闭图形的面积为xyx3A B C. Dln32ln1ln2ln37.已知 ，则 的值等于 794443210 CC nC1A64 B32 C. 63 D318.现有 16 张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各 4 张，从中任取 3 张，要求这 3 张卡片不能是同一颜色，且红色卡片至多 1 张，不同取法的种数为A232 B252 C. 4
3、72 D484- 2 -9.设三次函数 的导函数为 ，函数 的图象的一部分如图所示，则()fx()fx()yxfA.f(x)的极大值为 ，极小值为(3)f(3)fB. f(x)的极大值为 ，极小值为C. f(x)的极大值为 ，极小值为()f()fD. f(x)的极大值为 ，极小值为3310. 在平面直角坐标系 中，满足 ， ， 的点 的集合对应的xoy12yx0xyyxP,平面图形的面积为 ；类似的，在空间直角坐标系 中，满足 , ，4oz122z0， 的点 的集合对应的空间几何体的体积为0yzzyxP,A . B. C. D. 8 6 4 311. 函数 13A.极大值为 ，极小值为 B.极
4、大值为 ，极小值为52f10f52f1fC.极大值为 ，极小值为 3D.极大值为 ，极小值为 ，fff12.设函数 在 上存在导函数 ，对于任意的实数 ，都 ，当xRx x2xf时， ，若 ，则实数 的最小值为0xf2 121afaf aA B C D13二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13.若函数 lnfxax不是单调函数，则实数 a的取值范围是 14.将 9 个相同的小球放入 3 个不同的盒子，要求每个盒子中至少有 1 个小球，且每个盒子中的小球个数都不相同，则共有_种不同的放法. - 3 -15.设 且 ，若 能被 整数，则 Za130a201753a16.如
5、图所示的数阵中，第 20 行第 2 个数字是 三、解答题（共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17. （10 分）已知复数 满足 （其中 为虚数单位）Z23iii（）求 ； （）若 为纯虚数，求实数 的值。aa18. （12 分）已知函数 3()91fx（）求曲线 在点 处的切线方程；y,（）求曲线 的单调区间及在 上的最大值()fx,19. （12 分）已知 （ ， ）展开式的前三项的二项式系数之和1naxaR*N为 16，所有项的系数之和为 1.（）求 和 的值；n（）展开式中是否存在常数项？若有，求出常数项；若没有，请说明理由；（）求展开式中二项式系数最大的项.- 4
6、-20. （12 分）由四个不同的数字 1，2，4， 组成无重复数字的三位数.（最后的结果用数x字表达）（）若 ,其中能被 5 整除的共有多少个？x（）若 ，其中能被 3 整除的共有多少个？9（）若 ，其中的偶数共有多少个？0（）若所有这些三位数的各位数字之和是 252，求 x21. （12 分）已知 ，201211n nnxaxaxax（其中 ）.*nN（）求 及 ；0a12nnsa（）试比较 与 的大小，并用数学归纳法给出证明过程.222. （12 分）已知函数 .21xfxeaR（）讨论函数 的单调性；（）当函数 有两个零点，求实数 a 的取值范围.xf- 5 -试卷答案1.C 2.C
7、3.D 4.B 5.A 6.A 7.C 8.C 9.D 10.B 11.B 12.A13. ,0 14.18 15.12 16. 17. (1) (2) 34zi83a18. (1) ；(2)单调递增区间为 和 ,单调递减区间为 ,最大值为 17.19.（1）由题意， 0126nnC，即 162n.解得 5n，或 6（舍去） ，所以 5.因为所有项的系数之和为 1，所以 1a，解得 a.（2）因为52naxx， 5112kkkTCx352kkCx.令 350k，解得 103kN，所以展开式中不存在常数项.（3）由展开式中二项式系数的性质，知展开式中中间两项的二项式系数最大，二项式系数最大的两项
8、为： 252323180TCx； 91533224140TCx.20.解：（1）若 x=5，则四个数字为 1，2，4，5；又由要求的三位数能被 5 整除，则 5 必须在末尾，在 1、2、4 三个数字中任选 2 个，放在前 2 位，有 A32=6 种情况，即能被 5 整除的三位数共有 6 个；（2）若 x=9，则四个数字为 1，2，4，9；又由要求的三位数能被 3 整除，则这三个数字为 1、2、9 或 2、4、9，取出的三个数字为 1、2、9 时，有 A33=6 种情况，取出的三个数字为 2、4、9 时，有 A33=6 种情况，则此时一共有 6+6=12 个能被 3 整除的三位数；（3）若 x=
9、0，则四个数字为 1，2，4，0；又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为 0 或 2 或 4，- 6 -当末位是 0 时，在 1、2、4 三个数字中任选 2 个，放在前 2 位，有 A32=6 种情况，当末位是 2 或 4 时，有 A21A21A21=8 种情况，此时三位偶数一共有 6+8=14 个，（4）若 x=0，可以组成 C31C31C21=332=18 个三位数，即 1、2、4、0 四个数字最多出现 18 次， 则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）18=126，不合题意，故 x=0不成立；当 x0 时，可以组成无重复三位数共有 C41C31C21=432=24
10、种，共用了 243=72 个数字，则每个数字用了 =18 次，则有 252=18（1+2+4+x），解可得 x=721.（1）取 x=1，则 a0=2n； 取 x=2，则 a0+a1+a2+a3+an=3n，S n=a1+a2+a3+an=3n-2n；（2）要比较 Sn与（n-2）2 n+2n2的大小，即比较：3 n与（n-1）2 n+2n2的大小，当 n=1 时，3 n（n-1）2 n+2n2； 当 n=2，3 时，3 n（n-1）2 n+2n2；当 n=4，5 时，3 n（n-1）2 n+2n2 猜想：当 n4 时，3 n（n-1）2 n+2n2，下面用数学归纳法证明：由上述过程可知，n=
11、4 时结论成立，假设当 n=k，（k4）时结论成立，即 3k（k-1）2 k+2k2，两边同乘以 3 得：3 k+13 （k-1）2 k+2k2=k2k+1+2（k+1） 2+（k-3）2 k+4k2-4k-2而（k-3）2 k+4k2-4k-2=（k-3）2 k+4（k 2-k-2）+6=（k-3）2 k+4（k-2）（k+1）+603 k+1（k+1）-1）2 k+1+2（k+1） 2即 n=k+1 时结论也成立，当 n4 时，3 n（n-1）2 n+2n2成立22.（1）解：由题意得 xfea当 时，令 ，则 ；令 ，则 ，0a0x0fx 在 上单调递减，在 上单调递增；fx,- 7 -
12、当 时，令 ，则 或 ，0a0fxlnxa（）当 时，令 ，则 或 ；令 ，则 ，1f00fxln0ax 在 和 上单调递增，在 上单调递减；fx,lna,l,（）当 时， ， 在 上单调递增； 10xfefxR（）当 时，令 ，则 或 ；令 ，则 ，1lna0fxlnxa 在 和 上单调递增，在 上单调递减；fx,0ln,a,（2）由（1）得当 时， 在 和 上单调递增，在 上单1fx,lna0,ln,0a调递减， 在 处取得极大值 ，fxlnaf ，此时不符合题意；22lnl l1fa当 时， 在 上单调递增，此时不符合题意；1fxR当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减；,0ln,a0,lna 的 处取得极大值 ， ，此时不符合题意；fxf01f当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，0af, ， ， 在 上有一个零点，1f12afx（）当 时，令 ，当 时，0minl,3x0x ， 22211fxexa 在 上有一个零点，此时符合题意；,（）当 时，当 时， ，0ax0xfxe 在 上没有零点，此时不符合题意；fx,综上所述，实数 的取值范围为 . ,0- 8 -
