1、- 1 -合肥一六八中学 2018/2019 学年第二学期期中考试高二数学（理）试卷-宏志班第卷一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分，共 60 分.在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知 是虚数单位，则复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）i24izA. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.有一段“三段论” ，推理是这样的：对于可导函数 ，如果 ，那么 是()fx0()fx0x函数 的极值点，因为 在 处的导数值 ，所以 是函数()fx3()fx0的极值点.以上推理中（ ）3A. 大前提错误 B. 小前提错误 C. 推理形式错误
2、 D. 结论正确3.函数 的单调递减区间为（ ）21lnyxA. （-1,1） B. （0,1） C. (1,+) D. (0,+)4.由曲线 ,直线 及 轴所围成的平面图形的面积为( )yx2yA. 6 B. 4 C. D. 10365. 利用数学归纳法证明“ ”时，*221321,nn nN 从“ ”变到“ ”时，左边应増乘的因式是 ( )nk1kA. B. C. D.21221k21k6. 给出一个命题 ：若 ， ， ，且 ，则 ， ， ， 中至少有一个小于零在用反证法证明 时，应该假设 ( )A. ， ， ， 中至少有一个正数 B. ， ， ， 全为正数C. ， ， ， 全都大于或等于
3、 D. ， ， ， 中至多有一个负数- 2 -7. 三角形的面积为 ，（ 为三角形的边长， 为三角形的内切圆12Sabcr,abcr的半径）利用类比推理，可以得出四面体的体积为 ( )A. （ 为底面边长）13Vabc,B. （ 分别为四面体四个面的面积， 为四面体内切1234SSr1234,Sr球的半径）C. （ 为底面面积， 为四面体的高）VhhD. （ 为底面边长， 为四面体的高）13abc,abch8.函数 ，正确的命题是（ ）()lnfx.RA值 域 为 B.1+在 ， 上 是 增 函 数Cf()有 两 个 不 同 零 点 D(,0)过 点 的 切 线 有 两 条9.设 , ， ，则
4、（ ）sin1a2sib3sincA. B. C. D. cababca10.已知函数 图象上任一点 处的切线方程为()yfxR0(,)xy0y，那么函数 的单调减区间是（ ）200()1x)f.,AB.,2.1,2C.,1,2D11.关于函数 lnfx，下列说法错误的是（ ）A. 2是 的最小值点B. 函数 yfx有且只有 1 个零点C. 存在正实数 k，使得 fkx恒成立D. 对任意两个不相等的正实数 12,，若 12ffx，则 124x12.已知函数 是定义在 R 上的增函数, , ,则不等式()fx()()0f的解集为（ ）ln()2ln3f- 3 -A. B. C. D. ,0,1,
5、第卷二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分.13. 已知 ，则 的值为 12daxa14. 已知 既成等差数列，又成等比数列，则 的形状是_.,ABCbc的 三 边 ABC15. 设 为实数，若函数 存在零点，则实数 的取值范围a31fxxaa是 16.如果函数 在其定义域上有且只有两个数 ，使得 ，那么我们就()yfx0x00()()fxf称函数 为“双 函数” ，则下列四个函数中：T ，为“双 函数”的是 21,yx,xyeln,si1yxT(写出所有正确命题的序号) 三、解答题:共 6 大题，写出必要的解答过程.满分 70 分.17.（本小题 10 分）已知复数
6、2(4)(,zaiaR（）若 为纯虚数，求实数 的值；z（）若 在复平面上对应的点在直线 上，求实数 的值10xy18. （本小题 12 分）设数列 的前 项之积为 ，并满足 .nanT=1()naNA- 4 -（1）求 ；（2）证明：数列 为等差数列.13,a1nT19. （本小题 12 分）已知函数 在 处有极值. ()fx321axb（）求函数 的单调区间；()fx（）若函数 在区间 上有且仅有一个零点，求 的取值范围.3,20. （本小题 12 分） （）设 是坐标原点，且 不共线，12(,)(,)OAxyB,ABO求证： ；12OABSxy（）设 均为正数，且 .证明： .,abc1
7、abc221abc21. （本小题 12 分）已知函数2(1)()lnxf()求函数 fx的单调递增区间；（）证明：当 1时， 1fx；（）确定实数 k的所有可能取值，使得存在 0x，当 0(1,)x时，恒有fx- 5 -22. （本小题 12 分）已知函数 .2()1,()ln()fxagxaR（）讨论函数 的单调性；()hxg（）若存在与函数 的图象都相切的直线，求实数 的取值范围.,()f参考答案1-12 D A B D D C B B A D C A13-16 等边三角形 22,17.解： 若 z 为纯虚数，则 ，且 ，解得实数 a 的值为 2； 在复平面上对应的点 ，在直线 上，则
8、，解得 18.解：（1） 123,4aa（2）猜测： ，并用数学归纳法证明（略）n- 6 -，结论成立。1=,1nnTaT或：111 nnna19.解: （） 由题意知: ,得 a=-1，2()fx (2)40fa ，令 ，得 x0, 令 ，得-2x0,2f()0fx()fxf(x)的单调递增区间是（- ，-2）和（0，+ ） ，单调递减区间是（-2，0） 。（）解法一：由（）知，f(x)= ，321xbf(-2)= 为函数 f(x)极大值，f(0)=b 为极小值。43b函数 f(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点， 或 或 或 或 ，()0f()20f(3)0f(2)0f(3)0f即 ，
9、，即 b 的取值范围是 。 18403b4183418,)320.证明： (1)略.(2)因为 b2a， c2b， a2c，a2b b2c c2a故 (abc)2(abc)， a2b b2c c2a即 abc.a2b b2c c2a所以 1. a2b b2c c2a21.解：（I） 211xfx， 0,x由 0f得 20解得 52故 fx的单调递增区间是 15,（II）令 Ffx， 0,x- 7 -则有 21Fx当 ,x时， 0，所以 在 1上单调递减，故当 x时， Fx，即当 1x时， 1fx（III）由（II）知，当 1k时，不存在 0满足题意当 1k时，对于 x，有 fxkx，则 fxk
10、，从而不存在0x满足题意当 k时，令 G1xfkx， 0,，则有21由 0x得， 210xk解得 14k， 2214kx当 2,x时， G0x，故 在 ,内单调递增从而当 时， 1，即 1fxk，综上， 的取值范围是 ,22 （1）函数 的定义域为()hx(0)，2()ln1(0)fgaxx所以 1所以当 即 时， ， h(x)在 上单调递增；2802()x0,当 即 时，2aa或当 时 ， h(x)在 上单调递增；()0,- 8 -当 时，令 得2a()0hx28,4ax28,4a228,4a28,4a()h+ - +x增 减 增综上：当 时， h(x)在 上单调递增；2a0,当 时 在 ，
11、 单调递增，在28,4a28,4a单调递减。 228,4a（2）设函数 上点 与函数 上点 处切线相同，()fx1,()fx()gx2,()gx则 2121()gfg所以 2121(ln)xaxaxa所以 ，代入 得：12212lnxax设 ，则22ln0(*)44aax 22()ln44Fxa32311()xF不妨设 则当 时， ，当 时，200()xa0x()0x0x()0F所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， (),x,代入 可得：01=22min0001()()ln2Fxx设 ，则 对 恒成立，2()l2Gxx2()Gx所以 在区间 上单调递增，又(0,)1=0所以当 时 ，即当 时 , 1 x ()Fx又当 时 2axe242()ln4aaaFxee21()0ae- 9 -因此当 时，函数 必有零点；即当 时，必存在 使得 成立；01x ()Fx01x 2x(*)即存在 使得函数 上点 与函数 上点 处切线相同12,f1,)f()g2,()g又由 单调递增得，因此(,)yx在 00=2,ax所以实数 的取值范围是 a,1
