1、- 1 -天津市和平区 2019 届高三数学下学期第一次质量调查试题 理温馨提示：本试卷包括第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。祝同学们考试顺利！第卷 选择题（共 40 分）注意事项:1. 答第卷前，考生务必将自己的姓名、准考号、科 目涂写在答题卡上。2. 每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。3. 本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。参考公式：如果事件 互斥,那么 如果事件 相互独立,那么 BA、 BA、. )()(PP )()(P柱体的体积公式 . 锥
2、体的体积公式 . ShV ShV31其中 表示柱体的底面积, 其中 表示锥体的底面积,S S表示柱体的高. 表示锥体的高.h h一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 , ,则21,0M,1ZxxN(A) (B) (C) (D) M10NNM(2) 设变量 满足约束条件 则 的最大值为yx,32,yxyxz2(A) 1 (B) 6 (C) 5 (D) 4 (3) 执行如图所示的程序框图,则输出的结果为(A) 20 (B) 30 (C) 40 (D) 50 (4) 在 中,若 , ,则 的面积为ABCbca224ABC结束输出 T开始 ?ST否0,1i
3、6是3iT输出结束- 2 -(A) (B) (C) (D) 22113(5) 不等式 成立的充分不必要条件是0x(A) (B) (C) 或 (D) 或 11x1x0x01x1(6) 已知 ，则下列不等式一定成立的是ba2logl(A) (B) (C) (D) 10)ln(a12ba ba)21(3(7) 设双曲线 的一个焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则抛物12ymx 8xy线的焦点到双曲线的一条渐近线的距离为 (A) (B) (C) (D) 23232(8) 已知函数 ， 若关于 的方程 恰有三xfln)(1,40)(2xxgx)()(xgmf个不相等的实数解,则 的取值范围是m(A)
4、 (B) (C) (D) 2ln0 )0,ln(0,2ln2ln,0第卷 非选择题（共 110 分）注意事项:1. 用钢笔或圆珠笔直接答在答题卷上，答在本试卷上的无效。2. 本卷共 12 小题，共 110 分。二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷上. (9) 已知 ，且复数 是纯虚数,则 .Rai12aa(10) 的展开式中 的系数为 .(用数字作答)52)1(x4x(11) 已知一个几何体的三视图如右图所示(单位:cm)，则该几何体的体积为 cm.(12) 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴且单位长度相同建x立极坐标系，若直线
5、 ( 为参数)被曲线 截得的弦长为 ，则tayx,1cos42的值为 .a正 视 图俯 视 图 侧 视 图324- 3 -(13) 如图,在直角梯形 中, , .若ABCD32ADBNM、分别是边 、 上的动点,满足 ， ，BC)1(其中 ,若 ,则 的值为 .)10(2NM(14) 已知 为正数，若直线 被圆 截得的弦长为 ，则ba0byax42yx32的最大值是 .2三、解答题：本大题共 6 小题,共 80 分.解答应 写出文字说明,证明过程或 演算步骤.(15) (本小题满分 13 分)设 ABC的内角 ,所对边的长分别是 ,abc，且 BAc2,13()求 a的值 ；()求 的值.)6
6、2cos(16) (本小题满分 13 分) 点外卖现已成为上班族解决午餐问题的一种流行趋势.某配餐店为扩大品牌影响力，决定对新顾客实行让利促销，规定：凡点餐的新顾客均可获赠 10 元或者 16 元代金券一张，中奖率分别为 和 ，每人限点一餐，且 100%中奖.现有 A 公司甲、乙、丙、丁四位员工决定321点餐试吃.() 求这四人中至多一人抽到 16 元代金券的概率；() 这四人中抽到 10 元、16 元代金券的人数分别用 、 表示，记 ，求随机XYXY变量 的分布列和数学期望. (17) (本小题满分 13 分)如图,四棱锥 的底面是菱形, 底面 , 、ABCDPPOABCDOE分别是 、 的
7、中点， , , .65A60() 证明： ；E() 求直线 与平面 所成角的正弦值；() 在 边上是否存在点 ，使 与 所成角的余弦值为 ，若存在，确定FBP103点 位置；若不存在，说明理由.FNDCBABAEDPCO- 4 -(18) (本小题满分 13 分)已知数列 的前 项和为 , 是等差数列，且 .nanSn832b1nnba() 求数列 、 的通项公式；b() 令 ,求数列 的前 项和 .nnc)2(1ncnT(19) (本小题满分 14 分)已知椭圆 经过点 ,左、右焦点分别 、 ，椭圆的四1:2byaxC)0()26,1( 1F2个顶点围成的菱形面积为 .4() 求椭圆 的标准
8、方程；() 设 是椭圆 上不在 轴上的一个动点, 为坐标原点 ,过点 作 的平行线交QxO2OQ椭圆于 、 两个不同的点，求 的值.MN2QMN(20) (本小题满分 14 分)设函数 .0(kxef() 求曲线 在点 处的切线方程；fy)(,f() 讨论函数 的单调性； )() 设 ,当 时,若对任意的 ，存在 ，使 得42bxxg1kRx12,1x ，求实数 的取值范围. )(1f和平区 2018-2019 学年度第二学期高三年级第一次质量调查数学（理）学科试卷参考答案一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分) (1) C (2) C (3) B (4) C (5) A (6) D (7
9、) B (8) C 二、填空题 (每小题 5 分，共 30 分) (9) (10) 80 (11) (12) 或 (13) (14) 22361523829三、解答题 (本大题共 6 小题，共 80 分) (15) (本题 13 分) () 解:由 ，知 ， (1 分)BABcosinsiin由正、余弦定理得 . (3 分)aba2因为 ，所以 ,则 . (5 分)1,3cb13- 5 -() 解:由余弦定理得 . (6 分)316292cos bcaA由于 ，所以 (8 分)0 29os1inA故 (11 分)47sin2cos99、 (13 分)1837246sin26)6co( A(16
10、) (本题 13 分)() 解: 设“四人中恰有 i 人获赠 16 元代金券”为事件 ，其中 i=0,1,2,3,4.iA则 由 (2 分)(iAPiiC44)32(1得 . (5 分) 40410 814032)(1C() 解: 随机变量 的所有可能取值为 . (6 分),， （8 分） 7)3()32()()( 044040APP， (10 分)1213431 C， (11 分) 8)()(4( 224C随机变量 的分布列为(12 分)的数学期望 . (13 分) 3812480317)( E(17) (本题 13 分)连接 ，由已知及平面几何知识得 两两垂直,如图建立空间直角坐标系OBO
11、PBA,，依题意可得 , , ， ，xyz)0,()()0,( )0,36(C0 3 4P8- 6 -, ,)0,3(D)023(E. (1 分)4,0(P() 证明: , ,)03,9(AC)42,(PE .27PE ，因此 . (4 分)() 解:设平面 的法向量为 ，O),(zyxm由 , 及)40,(P023E得 .令 ，得 (6 分)myxz1)0,13(又求得 . (7 分),3(B设 与平面 所成角为 ,则POE. (9 分)3129sinco, 864mPB() 解:假设存在 ，使 ,设 ，DCF,0F),(zyxF计算得 ，则 . (10 分)0,3( 033(又 ，由异面直
12、线 与 所成角的余弦值为 ,得)4,PAPAB1，解得 （12 分）BF103)1(3659221满足条件 ，因此，存在点 在 的中点处 . （13 分）,FDC(18) (本题 13 分)() 解: 当 时, 由 . (1 分)1n1Sa- 7 -当 时,由 . (2 分)n2561nSan 也符合上式，1数列 的通项公式为 . (3 分)n设数列 的首项 ，公差为 ,b1d由 得 ，即nna32badb3217解得 , (5 分)341d . (6 分)bn() 解: 由()得 (8 分)112)(3)(6nnnc cT321(9 分)1)(n则 24n两式作差得(10 分)T132 )(
13、2nn)(1(4n(12 分)23n所以， (13 分)T(19) (本题 14 分)() 解: 由题知 (2 分)1234ba解得 (3 分)则椭圆 的标准方程为 . (4 分)C124yx() 解：由()知, , (5 分)02(F设直线 ，则直线 (6 分)myxOQ: :mMN联立 得124242yQ所以 . (8 分)1(mx由 得 . (9 分)124ym0)(2y设 ，则 . (10 分),(),(2xNM2,2121 my所以 (11 分)4)(yym- 8 -)2(4)2(12mm. (13 分)42所以 (14 分)12)(42mOQMN(20) (本题 14 分)() 解
14、: , (1 分)kxexf1(因为 且 , (2 分)01)(f所以曲线 在点 处的切线方程为 (3 分)y)0(f xy() 解:函数 的定义域为 , )(xfR令 ，由 ，知 (4 分)1 kxekxe01k讨论:当 时， ，01此时 在 上单调递减，在 上单调递增. (6 分)(xf),k),(k当 时， ，k此时 在 上单调递增，在 上单调递减. (8 分)(xf)1,k),1(k() 解:由()知，当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. (xf), ,(则对任意的 ，有 ，即 . (10 分)R1)1eexf)min1又已知存在 ,使得 ,2x(f)2g所以 ，即存在 ，使得 ，e)(gx42)(bxge1即 .因为 时， ， (13 分)b2x14, ee5,141所以 ，即 .e2be41所以实数 的取值范围是 . (14 分),
