1、- 1 -四川省成都外国语学校 2019 届高三数学下学期 3 月月考试题 理一、选择题：本小题共 12 题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1已知复数 ， 在复平面内的对应点关于虚轴对称， （ 为虚数单位） ，则 （ ）A B C D【答案】B2利用反证法证明：若 ，则 ，假设为（ ）A ， 都不为 0 B ， 不都为 0C ， 都不为 0，且 D ， 至少有一个为 0【答案】B3设 ， ，则下列不等式中不一定成立的是（ ）A B C D【答案】D举反例否定 D，而 A,B,C 可结合函数与不等式性质给予证明.【详解】因为 在 上是增函数，所以 ;因为 -
2、c 在 上是减函数，所以 ;因为 ,所以当 时, ,所以 D 不成立，选 D.4已知等差数列 的前 项和为 ，若 ，则 （ - 2 -）A2019 B4038 C1008 D1009【答案】D5平面内的一条直线将平面分成 2 部分，两条相交直线将平面分成 4 部分，三条两两相交且不共点的直线将平面分成 7 部分，则平面内六条两两相交且任意三条不共点的直线将平面分成的部分数为（ ）A16 B20 C21 D22【答案】D6体育课上定点投篮项目测试规则：每位同学有 次投篮机会，一旦投中，则停止投篮，视为合格，否则一直投 次为止.每次投中与否相互独立，某同学一次投篮投中的概率为 ，若该同学本次测试合
3、格的概率为 ，则 _【答案】由题意可得： ，整理可得： ，即 ,该方程存在唯一的实数根 .故答案为： 0.47一个四面体的四个顶点在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标分别是（0，0，0） ，（1，2，0） ， （0，2，2） ， （3，0，1） ，则该四面体中以 yOz 平面为投影面的正视图的面积为（A ）A3 B C2 D8.已知椭圆： ，左、右焦点分别为 ，过 的直线 交椭圆于1(02)4xyb12,F1l两点，若 的最大值为 5，则 的值是（ ）D,22|FAbA1 B C D3【解析】如图所示，由椭圆定义，有 ，所以当线段 长度22|48BAFaAB达最小值时， 有最大值，当 垂直于
4、轴时，22|FA x- 3 -，所以 的最大值为 ， ，即22min|bABba22|BFA285b23，选 D.39设函数 ， 有且仅有一个零点，则实数 的值为（ ）A B C D【答案】B函数 ， 有且仅有一个零点等价于 ， 有且仅有一个解，设 ，即直线 与 ， 的图象只有一个交点，则 ，当 时， ，当 时， ，即 在 为增函数，在 为减函数，又 ， ， ，则可得实数 的值为 ，故选 B10. 在平面直角坐标系 中， ,xOy121,0,4,0,AMNPxyQ若 ，则 的最小值是（ C）13,22APBQttPQA B24- 4 -C D2211已知函数 f（x）= ，若存在实数 x1，x
5、 2，x 3，x 4，满足x1x 2x 3x 4，且 f（x 1）=f（x 2）=f（x 3）=f（x 4） ，则 的取值范围是（ ）A （0，12） B （4，16） C （9，21） D （15，25）【考点】分段函数的应用【分析】画出函数 f（x）的图象，确定 x1x2=1，x 3+x4=12，2x 34，8x 410，由此可得的取值范围【解答】解：函数的图象如图所示，f（x 1）=f（x 2） ，log 2x1=log2x2，log 2x1x2=0，x 1x2=1，f（x 3）=f（x 4） ，x 3+x4=12，2x 3x 410 =x3x42（x 3+x4）+4=x 3x420，2
6、x 34，8x 410 的取值范围是（0，12） 故选：A12. 已知函数 恰好有两个极值点 ，则 的取值范围是（ xxfea122,xaA）A B C D10,20,1,2- 5 -1,2二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13已知向量 ， ， 若 ，则 _【答案】14.已知函数 ，正项等比数列 满足 ，则3()1xfna501.1239(ln)lln)(l)faffaf【解析】 ， .92(1xf31xxf 数列 是等比数列， ，即na 292849510aa，192849lllnl设 ，139()()()()Sffff又 ，9998971lnlllnaaa +得：
7、 ， .22S15如果函数 f（x）在a，b上存在 x1，x 2（ax 1x 2b）满足 f（x 1）= ，f（x 2）= ，则称函数 f（x）是a，b上的“双中值函数” ，已知函数 f（x）=x 3x 2+a 是0，a上“双中值函数” ，则实数 a 的取值范围是 （ ，1） 【考点】导数的运算【分析】根据题目给出的定义可得 f（x 1）=f（x 2）= =a2a，即方程3x22x=a 2a 在区间（0，a）有两个解，利用二次函数的性质可知实数 a 的取值范围【解答】解：由题意可知，f（x）=x 3x 2+a，f（x）=3x 22x在区间0，a存在 x1，x 2（ax 1x 2b） ，满足 f
8、（x 1）=f（x 2）= =a2a，f（x）=x 3x 2+a，f（x）=3x 22x，- 6 -方程 3x22x=a 2a 在区间（0，a）有两个不相等的解令 g（x）=3x22xa 2+a， （0xa）则 ，解得 a1；实数 a 的取值范围是（ ，1）故答案为：（ ，1） 16. 在平面四边形 中，已知 ， ， ， ，则 的值ABCDAB4C2D3ACBD为 10 三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。17如图， 的内角 的对边分别为 为 线段 上一点， 的面积为
9、.求：（1） 的长； （2） 的值.【答案】(1) (2) 解：（1）由 ，可知从而 由（2）18为了保障全国第四次经济普查顺利进行，国家统计局从东部选择江苏， 从中部选择河北. 湖北，从西部选择宁夏， 从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区，然后再逐级确- 7 -定普查区域，直到基层的普查小区在普查过程中首先要进行宣传培训，然后确定对象，最后入户登记 由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利，这为正式普查提供了宝贵的试点经验 在某普查小区，共有 50 家企事业单位，150 家个体经营户，普查情况如下表所示：普查对象类别 顺利 不顺利 合计企事业单位 40 10 50个体经营户 100 50 1
10、50合计 140 60 200（1）写出选择 5 个国家综合试点地区采用的抽样方法；（2）根据列联表判断是否有 的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” ；（3）以频率作为概率， 某普查小组从该小区随机选择 1 家企事业单位，3 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的对象数记为 ， 写出 的分布列，并求 的期望值附： 0.10 0.010 0.0012.706 6.635 10.828（1）分层抽样，简单随机抽样均可；（2）利用联列表求出 ，然后判断即可；（3）推出可取 0，1，2，3，4求解概率，然后求解分布列，得到期望即可【详解】（1）分层抽样，简单随机抽样（抽签亦
11、可）.(2）将列联表中的数据代入公式计算得- 8 -，所以，有 的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关” （3）以频率作为概率，从该小区随机选择 1 家企事业单位作为普查对象，入户登记顺利的概率为 ，随机选择 1 家个体经营户作为普查对象，入户登记顺利的概率为 可取 0，1，2，3，4，的分布列为：0 1 2 3 4.19如图， 中， ， ， 分别为 ， 边的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 - 9 -（1）证明： 平面 ；（2）求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值（1）由 ， 分别为 ， 边的中点，可得 ，由已知结合线面垂直的判定可得平面 ，从而得到
12、平面 ；（2）取 的中点 ，连接 ，由已知证明 平面 ，过 作 交 于 ，分别以 ， ， 所在直线为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面 与平面 所成锐二面角的余弦值【详解】（1）因为 分别为 ， 边的中点，所以 ，因为 ，所以 ， ，又因为 ，所以 平面 ，所以 平面 （2）取 的中点 ，连接 ， 由（1）知 平面 ， 平面 ，所以平面 平面 ，因为 ，所以 ，又因为 平面 ，平面 平面 ，所以 平面 ， 过 作 交 于 ，分别以 ， ， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，则， ， ，- 10 -设平面 的法向量为 ，则 即则
13、，易知 为平面 的一个法向量，所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值 20. （本小题满分 12 分）已知椭圆 的两个焦点分别为2:10xyCab，以椭圆短轴为直径的圆经过点 .12,0,F ,M（1）求椭圆 的方程；C（2）过点 的直线 与椭圆 相交于 两点设点 ，记直线 的斜率分别Ml,AB3,2N,ANB为 ，问： 是否为定值？ 并证明你的结论.1,k12k20. 解：（1）由已知得 ，由已知易得 ，解得 ，2,cab1bOM3a则椭圆 的方程为 .C213xy（2）当直线 的斜率不存在时，由 ，解得 ,l 213xy6,3xy设 ，则 .61,3AB12632k当直线 的斜率存在时,设
14、直线 的方程为 ，ll1ykx将 代入 整理化简，得 ,1ykx213y223630kx依题意,直线 与椭圆 必相交于两点,设 ，lC12,AxyB则 ,又 ,221216,33kkxx12,1kkx所以 211212 1233yxyy- 11 -1221112339kxkxxx122211463k， 2221222316691kx kk 综上得 为定值 .12k21已知函数 .（1）求函数 的单调区间和极值；（2）若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围；（3）求证： .解：（1） ，其定义域为 ， ，令 ，得 ，令 ，得 .故函数 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，的极大值为 ，
15、无极小值.（2） ， ， ，令 ，则 ，令 ，解得 .当 在 内变化时， ， 的变化情况如下表：- 12 -+ 0 -由表知，当 时，函数 有最大值，且最大值为 ， ，实数 的取值范围为 .（3）由（2）知， ， ， .， ，即 .（二）选做题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 有相同的长度单位，以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴，已xOyOx知直线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的极坐标方程为 .l23tC2sin8cos（1）求曲线 的直角坐标方
16、程；C（2）设直线 与曲线 交于 、 两点,求弦长 .lABAB- 13 -解：（1） 曲线 的直角坐标方程是： .22sin8cos,in8cos,C28yx（2）直线的参数方程标准形式为 ,代入 得 ，即132xty2yx238tt,231640t设 对应的参数分别为 ,则 .,AB12t121264,3tt.124t23. （本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲设函数 .21,fxxaR（1）当 时，求不等式 的解集；3a7f（2）对任意 ，恒有 ，求实数 的取值范围 .xR3xa24. 解：（1）当 时， ，3a174,25,341,2xfx的解集为 .7fx0x或（2） ，2111axaa由 恒成立,有 ，解得 ,3fx32的取值范围是 .a,- 14 -
