1、1成都外国语学校 2018-2019 学年下期期中考试高二理科数学注意事项：1、本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。2、本堂考试 120 分钟，满分 150 分。3、答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B 铅笔填涂。4、考试结束后，将答题卡交回。第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题 12 个小题，每题 5 分，共 60 分,请将答案涂在答题卡上)1、复数 的虚部为（ ）2ziA B C D33i332、已知集合 ， ，则 （ ）2|0x1,02ABA B C D0, 1,1,023、若平面向量 ， ，若 ，则 （ ）(,1)a(,)bx/abxA
2、 B C1 或 D1 或1532354、若 ，则 （ ）tan3sincoA2 B C D2225、已知正方体 的棱长为 ， 是底面 的中心，则异面直线 与 所成的1CDA1OAB1OAC角为（ ）A B C. D0906045036、函数 的部分图象大致是（ ）2()4xf7、已知命题 ；命题 ，则下列命题为真命题的:12pziz若 复 数 ， 则 2:41qxyx抛 物 线 的 准 线 为是（ ） A B C D ()p()pq()pq8、甲、乙两人约定在上午 到 之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人 20 分钟，过时9:0:4即可离去。若他们在限时内的任何时刻到达约定地的概率都是相等
3、的，则两人能会面的概率为（ ）A B C. D1251625925159、阅读如图所示的程序框图，若输出的数据为 21，则判断框中应填入的条件为（ ）2A B C D2?k3?k4?k5?k10、将函数 的图像沿 轴向左平移 个单位后，得到一个函数 的图像，则“ 是sinyxx8fxfx偶函数”是“ ”的（ ）4A充 分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件11、设 ， 是双曲线 的两个焦点， 是 上一点，若 ，且1F22:10,xyCabPC126PFa的最小内角为 ，则 的离心率为（ ）P 30A B C D2312、已知函数 的导函数为 ，且满足 ， ，fxf
4、x21fxaxb24fxfx若函数 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）6lnbA B C. D4l2,5l,64ln3,6ln,第卷 （非选择题，共 90 分）二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分，请将答案写在答题卡上）13、某乡镇中学有初级职称教师 100 人，中级职称教师 70 人，高级职称教师 30 人，要从其中抽取 20 人进行体检，如果采用分层抽样的方法，则高级职称教师应该抽取的人数为 14、计算： 10sin_xde15、已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是_ 2yx2y16、在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染 1；再染
5、 3 个偶数2，4，6；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻近的 7 个连续偶数 16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29，31， ，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13，15，16， ，则在这个红色子数列中，由 1 开始的第 1000 个数是_3三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分，请将答案写在答题卡上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17、 （本题 10 分）在平面直角坐标系 中，直线 的方程为 ，以原点 为极点， 轴的正半轴为xOyl1yO
6、x极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆 的极坐标方程为 。M26sin(1)求圆 的平面直角坐标方程，并写出圆心和半径；M(2)若直线 与圆 交于 两点,求 AB的值。l18、 （本题 12 分）已知函数 。 3()21fxx（1）求 在点 处的切线；()(1,(1)（2）求函数 的单调区间和极值。()19、 （本题 12 分）某学生为了测试煤气灶烧水如何节省煤气的问题设计了一个实验，并获得了煤气开关旋钮旋转的弧度数 与烧开一壶水所用时间 的一组数据，且作了一定的数据处理(如下表)，得到了散点 图(如下图) 10=1()210=1()210=1()()10=1()()1.4720.60.78
7、 2.35 0.81 -19.3 16.2表中 =12,=11010=1（1） 根据散点图判断， 与 哪一个更适宜作烧水时间 关于=+=+2 开关旋钮旋转的弧度数 的回归方程类型?(不必说明理由)（2）根据判断结果和表中数据，建立 关于 的回归方程； （3）若单位时间内煤气输出量 成正比，那么 为多少时，烧开一壶水最省煤气？与旋 转 的弧度数 附：对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估(1,1),(2,2),(3,3),(,) =+4计分别为 =1()()=1()2 ,=20、 （本题 12 分）如图所示，已知三棱锥 中，底面 是等边三角形，且PABC2,PABCDE分别是 的中
8、点。,(1)求证: 平面 ；(2)若 ，求锐二面角 的余弦值。621、 （本题 12 分）已知椭圆 ： 的离心率为 ，且以两焦点为直径的圆的面积C21(0)xyab2为 。（1）求椭圆 的标准方程；（2）若直线 ： 与椭圆 相交于 ， 两点，点 的坐标为 ，问直线 与 的斜l2ykxABD1(0,)2ADB率之和 是否为定值？若是，求出该定值，若不是，试说明理由ADB22、 （本题 12 分）已知函数 ，其中 .()=+2 5（1）讨论 的单调性；()（2）当 时，证明 : ；=1 ()2+1（3）试比较 与 ，并证明你的2 2ln3ln4l (1)n (且 2)的大小结论。成都外国语学校 2
9、018-2019 学年下期期中考试高二理科数学答案1-12：DBCA AADC BBCD 13、3 14、 15、 16、19681e1,8217、解:(1) ，圆心为(0,3),半径为 3. 22266(3)9sinxyxy5 分（2） 10 分5AB18、解: （1） ，则 ，则 ，()=2312 ()=6212 (1)=10， (1)=6故切线为 5 分6+4=0（2） ，列表如下：()=6212=6(+2)( 2) (, 2) 2 ( 2, 2) 2 (2,+)()+ 0 0 +() 极大值 极小值 所以函数 的增区间是 和 ，减区间为 10 分() (, 2) (2,+) ( 2,
10、2)极大值是 ，极小值是 .12 分( 2)=82 (2)=8219、解：（1） 更适宜作烧水时间 关于开关旋钮旋转的弧度数 的回归方程类型=+2 （2）由公式可得： ， ，=10=1()()10=1()2 =16.20.81=20=20.6200.78=5所以所求回归方程为 =5+202（3）设 ，则煤气用量 ，=(5+202)=5+20 2520 =20当且仅当 时取“=”，即 时，煤气用量最小5=20 =220、解:(1)连接 ,因为 ,底面 是等边三角形，PDABCA又因为 是 的中点，所以 .ABD又因为 ,所以 平面 .CE6(2)因为 由(1), 可知 ,而 ,2PABC3PDC
11、6P所以 。以 为原点,以 的方向为 轴正方向建立空间直角坐标系 ,如图所示，Durx则 ,1,00,3,0由题意,得平面 的一个法向量为 .1m设平面 的一个法向量为 .BP,nxyzr因为 ,1,30,3 Curu所以 ,即()(,0,)nxyzr 30xyz令 ,得 .所以 ,所以 .1z31,xy31n15,cosmn由题意知二面角 为锐角，所以二面角 的余弦值为APBCAPBC21、解：（1）由已知可得 解得 ， ，故所求的椭圆方程为22,1,cab2a21bc2xy（2）由 得 ，21,xyk2()860kx则 ，解得 或 22264()642k6k设 ， ，则 ， ，则 ，1(,
12、)Axy2(,)B1228x12x12ADyx，2BDkx所以 ，12122()ABDyxxk12123()kxx603k所以 为定值，且定值为 022、解：（1）函数 ， ()的定 义 域 为 （0,+） ()=+2=+22当 时， ，所以 在 上单调递增 0 ()0 () (0,+)当 时，令 ，解得 2 +220 ()0 ()( 2,+)综上，当 时，函数 在 上单调递增；0 () (0,+)当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增.0 (1,+) ()0 =1所以 ，即 。故 . ()(1)=0 +10 ()2+1（3）证明： （当且仅当 时等号成立），即 ,1 =1 11则有 +2222 3232+221122+1132+112=1(122+132+12)1( 123+ 134+ 1(+1),=1(1213+1314+1 1+1)=1(12 1+1)=(1)(2+1)2(+1)故： +2222 3232+22(1)(2+1)2(+1)
