1、1转化与化归思想专练一、选择题1如果 a1, a2, a3, an为各项都大于零的等差数列,公差 d0,则正确的关系为( )A a1a8a4a5 B a1a8a4 a5 D a1a8 a4a5答案 B解析 取特殊数列,不妨设 an n,则 a11, a44, a55, a88,经检验,只有选项 B 成立故选 B2若命题“ x0R,使得 x mx02 m30)的焦点 F,作一直线交抛物线于 P, Q 两点若线段 PF 与 FQ的长度分别为 p, q,则 等于( )1p 1qA2 a B C4 a D12a 4a答案 C解析 抛物线 y ax2(a0)的标准方程为 x2 y(a0),焦点 F0,
2、过焦点 F 作直线垂1a 14a直于 y 轴,则| PF| QF| , 4 a故选 C12a 1p 1q5已知函数 f(x)满足: f(m n) f(m)f(n), f(1)3,则 的值等于( )f21 f2f1 f22 f4f3 f23 f6f5 f24 f8f7A36 B24 C18 D122答案 B解析 取特殊函数,根据条件可设 f(x)3 x,则有 6,f2x f2xf2x 1 232x32x 1所以 6424故选 Bf21 f2f1 f22 f4f3 f23 f6f5 f24 f8f76(2018南昌一模)设函数 f(x)Error!若 f(1)是 f(x)的最小值,则实数 a 的取
3、值范围为( )A1,2) B1,0 C1,2 D1,)答案 C解析 当 a1 时, f(x)Error!作函数图象如下:由图可知排除 A,B当 a3 时, f(x)Error!作函数图象如下:3由图可知排除 D所以选 C二、填空题7在 ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c,若 a, b, c 成等差数列,则_cosA cosC1 cosAcosC答案 45解析 根据题意,所求数值是一个定值,故可利用满足条件的直角三角形进行计算令a3, b4, c5,则 ABC 为直角三角形,且 cosA ,cos C0,代入所求式子,得45 cosA cosC1 cosAcosC45
4、 01 450 458设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数,若 f(1 ax x2) f(2 a)对任意 a1,1恒成立,则 x 的取值范围为_答案 (,10,)解析 f(x)在 R 上是增函数,由 f(1 ax x2) f(2 a),可得 1 ax x22 a, a1,1, a(x1) x210,对 a1,1恒成立令 g(a)( x1) a x21,则当且仅当 g(1) x2 x20,g(1) x2 x0 恒成立,解得 x0 或 x1故实数 x 的取值范围为(,10,)9如图,有一圆柱形的开口容器(下表面密封),其轴截面是边长为 2 的正方形, P 是BC 的中点,现有一只蚂蚁位于外壁
5、A 处,内壁 P 处有一米粒,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为_4答案 2 9解析 把圆柱侧面展开,并把里面也展开,如图所示,则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段 AP,则 AB, BP3, AP 2 9三、解答题10(2018武汉调研)已知正数数列 an满足:a12, an an1 2( n2)2n 1an an 1(1)求 a2, a3;(2)设数列 bn满足 bn( an1) 2 n2,证明:数列 bn是等差数列,并求数列 an的通项 an解 (1)由已知 a2 a1 2,而 a12,3a2 a1 a 2 232( a22),即 a 2 a2302 2而 a20,则
6、 a23又由 a3 a2 2, a23,5a3 a2 a 952( a33),即 a 2 a38023 23而 a30,则 a34 a23, a34(2)由已知条件可知 a a 2( an an1 )2 n1,2n 2n 1( an1) 2( an1 1) 2 n2( n1) 2,则( an1) 2 n2( an1 1) 2( n1) 2( a31) 23 2( a21) 22 20,而5bn( an1) 2 n2, bn0,即数列 bn为等差数列( an1) 2 n2而 an0,故 an n111(2018湖南六校联考)如图,梯形 EFBC 中,EC FB, EF BF, BF EC4, E
7、F2, A 是 BF 的中点, AD EC, D 在 EC 上,将四边形23AFED 沿 AD 折起,使得平面 AFED平面 ABCD,点 M 是线段 EC 上异于 E, C 的任意一点(1)当点 M 是 EC 的中点时,求证: BM平面 ADEF;(2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角的正弦值为 时,求三棱锥 E BDM 的体306积解 (1)证法一:取 ED 的中点 N,连接 MN, AN,点 M 是 EC 的中点, MN DC,且 MN DC,12而 AB DC,且 AB DC,12 MN 綊 AB,即四边形 ABMN 是平行四边形, BM AN,又 BM平面 ADEF,
8、AN平面 ADEF, BM平面 ADEF6证法二: AD CD,AD ED,平面 ADEF平面 ABCD,平面 ADEF平面 ABCD AD, DA, DC, DE 两两垂直以 DA, DC, DE 所在直线分别为 x, y, z 轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 D(0,0,0), A(2,0,0), B(2,2,0), C(0,4,0), E(0,0,2), M(0,2,1), (2,0,1),BM 又平面 ADEF 的一个法向量 (0,4,0),DC 0, ,BM DC BM DC 又 BM平面 ADEF, BM平面 ADEF(2)依题意设点 M0, t,2 (00, g(x)在(0,
9、)上单调递增, g(x) g(0)0,故 a1(2)证明:当 a1 时, f(x)(e x1 x)ex,f( x)e x(2ex x2),令 h(x)2e x x2,则 h( x)2e x1, x(,ln 2)时, h( x)0,h(x)在(ln 2,)上为增函数,由于 h(1)0,在(2,1)上存在 x x0满足 h(x0)0, h(x)在(,ln 2)上为减函数, x(, x0)时, h(x)0,即 f( x)0, f(x)在(, x0)上为增函数,x( x0,ln 2)时, h(x)0,9即 f( x)0, f(x)在(0,)上为增函数, f(x)在(ln 2,)上只有一个极小值点 0,综上可知 f(x)存在唯一的极大值点 x0,且 x0(2,1) h(x0)0,2e x0 x020, f(x0)(e x01 x0)ex0 2 (x01) , x0(2,1),x0 22 x0 22 x20 2x04 x0(2,1)时,0 ,x20 2x04 140 f(x0) 14