1、1转化与化归思想专练一、选择题1如果 a1， a2， a3， an为各项都大于零的等差数列，公差 d0，则正确的关系为( )A a1a8a4a5 B a1a8a4 a5 D a1a8 a4a5答案 B解析 取特殊数列，不妨设 an n，则 a11， a44， a55， a88，经检验，只有选项 B 成立故选 B2若命题“ x0R，使得 x mx02 m30)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P， Q 两点若线段 PF 与 FQ的长度分别为 p， q，则 等于( )1p 1qA2 a B C4 a D12a 4a答案 C解析 抛物线 y ax2(a0)的标准方程为 x2 y(a0)，焦点 F0，
2、过焦点 F 作直线垂1a 14a直于 y 轴，则| PF| QF| ， 4 a故选 C12a 1p 1q5已知函数 f(x)满足： f(m n) f(m)f(n)， f(1)3，则 的值等于( )f21 f2f1 f22 f4f3 f23 f6f5 f24 f8f7A36 B24 C18 D122答案 B解析 取特殊函数，根据条件可设 f(x)3 x，则有 6，f2x f2xf2x 1 232x32x 1所以 6424故选 Bf21 f2f1 f22 f4f3 f23 f6f5 f24 f8f76(2018南昌一模)设函数 f(x)Error!若 f(1)是 f(x)的最小值，则实数 a 的取
3、值范围为( )A1，2) B1，0 C1，2 D1，)答案 C解析 当 a1 时， f(x)Error!作函数图象如下：由图可知排除 A，B当 a3 时， f(x)Error!作函数图象如下：3由图可知排除 D所以选 C二、填空题7在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a， b， c 成等差数列，则_cosA cosC1 cosAcosC答案 45解析 根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算令a3， b4， c5，则 ABC 为直角三角形，且 cosA ，cos C0，代入所求式子，得45 cosA cosC1 cosAcosC45
4、 01 450 458设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数，若 f(1 ax x2) f(2 a)对任意 a1，1恒成立，则 x 的取值范围为_答案 (，10，)解析 f(x)在 R 上是增函数，由 f(1 ax x2) f(2 a)，可得 1 ax x22 a， a1，1， a(x1) x210，对 a1，1恒成立令 g(a)( x1) a x21，则当且仅当 g(1) x2 x20，g(1) x2 x0 恒成立，解得 x0 或 x1故实数 x 的取值范围为(，10，)9如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为 2 的正方形， P 是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁
5、A 处，内壁 P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为_4答案 2 9解析 把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段 AP，则 AB， BP3， AP 2 9三、解答题10(2018武汉调研)已知正数数列 an满足：a12， an an1 2( n2)2n 1an an 1(1)求 a2， a3；(2)设数列 bn满足 bn( an1) 2 n2，证明：数列 bn是等差数列，并求数列 an的通项 an解 (1)由已知 a2 a1 2，而 a12，3a2 a1 a 2 232( a22)，即 a 2 a2302 2而 a20，则
6、 a23又由 a3 a2 2， a23，5a3 a2 a 952( a33)，即 a 2 a38023 23而 a30，则 a34 a23， a34(2)由已知条件可知 a a 2( an an1 )2 n1，2n 2n 1( an1) 2( an1 1) 2 n2( n1) 2，则( an1) 2 n2( an1 1) 2( n1) 2( a31) 23 2( a21) 22 20，而5bn( an1) 2 n2， bn0，即数列 bn为等差数列( an1) 2 n2而 an0，故 an n111(2018湖南六校联考)如图，梯形 EFBC 中，EC FB， EF BF， BF EC4， E
7、F2， A 是 BF 的中点， AD EC， D 在 EC 上，将四边形23AFED 沿 AD 折起，使得平面 AFED平面 ABCD，点 M 是线段 EC 上异于 E， C 的任意一点(1)当点 M 是 EC 的中点时，求证： BM平面 ADEF；(2)当平面 BDM 与平面 ABF 所成的锐二面角的正弦值为 时，求三棱锥 E BDM 的体306积解 (1)证法一：取 ED 的中点 N，连接 MN， AN，点 M 是 EC 的中点， MN DC，且 MN DC，12而 AB DC，且 AB DC，12 MN 綊 AB，即四边形 ABMN 是平行四边形， BM AN，又 BM平面 ADEF，
8、AN平面 ADEF， BM平面 ADEF6证法二： AD CD，AD ED，平面 ADEF平面 ABCD，平面 ADEF平面 ABCD AD， DA， DC， DE 两两垂直以 DA， DC， DE 所在直线分别为 x， y， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 D(0，0，0)， A(2，0，0)， B(2，2，0)， C(0，4，0)， E(0，0，2)， M(0，2，1)， (2，0，1)，BM 又平面 ADEF 的一个法向量 (0，4，0)，DC 0， ，BM DC BM DC 又 BM平面 ADEF， BM平面 ADEF(2)依题意设点 M0， t，2 (00， g(x)在(0，
9、)上单调递增， g(x) g(0)0，故 a1(2)证明：当 a1 时， f(x)(e x1 x)ex，f( x)e x(2ex x2)，令 h(x)2e x x2，则 h( x)2e x1， x(，ln 2)时， h( x)0，h(x)在(ln 2，)上为增函数，由于 h(1)0，在(2，1)上存在 x x0满足 h(x0)0， h(x)在(，ln 2)上为减函数， x(， x0)时， h(x)0，即 f( x)0， f(x)在(， x0)上为增函数，x( x0，ln 2)时， h(x)0，9即 f( x)0， f(x)在(0，)上为增函数， f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点 0，综上可知 f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 x0(2，1) h(x0)0，2e x0 x020， f(x0)(e x01 x0)ex0 2 (x01) ， x0(2，1)，x0 22 x0 22 x20 2x04 x0(2，1)时，0 ，x20 2x04 140 f(x0) 14
