1、1转化与化归思想专练一、选择题1如果 a1， a2， a3， an为各项都大于零的等差数列，公差 d0，则正确的关系为( )A a1a8a4a5 B a1a8a4 a5 D a1a8 a4a5答案 B解析 取特殊数列，不妨设 an n，则 a11， a44， a55， a88，经检验，只有选项 B 成立故选 B2若命题“ x0R，使得 x mx02 m30)的焦点 F，作一直线交抛物线于 P， Q 两点若线段 PF 与 FQ的长度分别为 p， q，则 等于( )1p 1qA2 a B C4 a D12a 4a答案 C解析 抛物线 y ax2(a0)的标准方程为 x2 y(a0)，焦点 F0，
2、过焦点 F 作直线垂1a 14a直于 y 轴，则| PF| QF| ， 4 a故选 C12a 1p 1q5已知函数 f(x)满足： f(m n) f(m)f(n)， f(1)3，则 的值等于( )f21 f2f1 f22 f4f3 f23 f6f5 f24 f8f7A36 B24 C18 D122答案 B解析 取特殊函数，根据条件可设 f(x)3 x，则有 6，f2x f2xf2x 1 232x32x 1所以 6424故选 Bf21 f2f1 f22 f4f3 f23 f6f5 f24 f8f76(2018南昌一模)设函数 f(x)Error!若 f(1)是 f(x)的最小值，则实数 a 的取
3、值范围为( )A1，2) B1，0 C1，2 D1，)答案 C解析 当 a1 时， f(x)Error!作函数图象如下：由图可知排除 A，B当 a3 时， f(x)Error!作函数图象如下：由图可知排除 D所以选 C二、填空题7在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若 a， b， c 成等差数列，则_cosA cosC1 cosAcosC答案 45解析 根据题意，所求数值是一个定值，故可利用满足条件的直角三角形进行计算令a3， b4， c5，则 ABC 为直角三角形，且 cosA ，cos C0，代入所求式子，得453 cosA cosC1 cosAcosC45
4、 01 450 458设 f(x)是定义在 R 上的单调增函数，若 f(1 ax x2) f(2 a)对任意 a1，1恒成立，则 x 的取值范围为_答案 (，10，)解析 f(x)在 R 上是增函数，由 f(1 ax x2) f(2 a)，可得 1 ax x22 a， a1，1， a(x1) x210，对 a1，1恒成立令 g(a)( x1) a x21，则当且仅当 g(1) x2 x20，g(1) x2 x0 恒成立，解得 x0 或 x1故实数 x 的取值范围为(，10，)9如图，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为 2 的正方形， P 是BC 的中点，现有一只蚂蚁位于外壁
5、A 处，内壁 P 处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为_答案 2 9解析 把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段 AP，则 AB， BP3， AP 2 9三、解答题10(2018武汉调研)已知正数数列 an满足：4a12， an an1 2( n2)2n 1an an 1(1)求 a2， a3；(2)设数列 bn满足 bn( an1) 2 n2，证明：数列 bn是等差数列，并求数列 an的通项 an解 (1)由已知 a2 a1 2，而 a12，3a2 a1 a 2 232( a22)，即 a 2 a2302 2而 a20，则
6、 a23又由 a3 a2 2， a23，5a3 a2 a 952( a33)，即 a 2 a38023 23而 a30，则 a34 a23， a34(2)由已知条件可知 a a 2( an an1 )2 n1，2n 2n 1( an1) 2( an1 1) 2 n2( n1) 2，则( an1) 2 n2( an1 1) 2( n1) 2( a31) 23 2( a21) 22 20，而bn( an1) 2 n2， bn0，即数列 bn为等差数列( an1) 2 n2而 an0，故 an n111(2018长沙雅礼中学、河南实验中学联考)如图所示的矩形 ABCD 中，AB AD2，点 E 为
7、AD 边上异于 A， D 两点的动点，且 EF AB， G 为线段 ED 的中点，现沿12EF 将四边形 CDEF 折起，使得 AE 与 CF 的夹角为 60，连接 BD， FD(1)探究：在线段 EF 上是否存在一点 M，使得 GM平面 BDF，若存在，说明点 M 的位置；若不存在，请说明理由；(2)求三棱锥 G BDF 体积的最大值，并计算此时 DE 的长度5解 (1)如图所示，取线段 EF 的中点 M，连接 GM，下证 GM平面 BDF因为 G 为线段 ED 的中点， M 为线段 EF 的中点，故 GM 为 EDF 的中位线，故 GM DF又 GM平面 BDF， DF平面 BDF，故 G
8、M平面 BDF(2)因为 CF DE，且 AE 与 CF 的夹角为 60，故 AE 与 DE 的夹角为 60，过 D 作 DP AE 于 P，因为 DE EF， AE EF，故 DP 为点 D 到平面 ABFE 的距离设 DE x，则 AE BF4 x，由(1)知 GM DF，故 V 三棱锥 G BDF V 三棱锥 M BDF V 三棱锥 D MBF S MBFDP13 1(4 x) x13 12 32 (4 x)x ，312 33当且仅当 4 x x 时，等号成立，此时 x DE2，故三棱锥 G BDF 体积的最大值为 ，33此时 DE 的长度为 212(2018太原二模)已知平面曲线 C
9、上任意一点到点 F(0，1)和直线 y1 的距离相等过直线 y1 上一点 P 作曲线 C 的两条切线，切点分别为 A， B(1)求证：直线 AB 过定点 F；(2)若直线 PF 交曲线 C 于 D， E 两点， ， ，求 的值DF FE DP PE 解 (1)证明：由已知条件可得曲线 C 的方程为 x24 y设点 P(t，1)， A(x1， y1)， B(x2， y2)， y ， y ，x24 x2过点 A， B 的切线方程分别为 y y1 (x x1)，x12y y2 (x x2)，又 4y1 x ，4 y2 x ，x22 21 2则上述切线方程可化为 2(y y1) x1x，62(y y2
10、) x2x，点 P 在这两条切线上，2( y11) tx1， 2(y21) tx2，即直线 AB 的方程为 2(y1) tx，故直线 2(y1) tx 恒过定点 F(0，1)(2)设 D(x3， y3)， E(x4， y4)，由 及 得DF FE DP PE Error!得Error! t x3x4 t x3x4 tx4 x3x4 x3x4 tx3x4x4 t ，由题意，直线 PF 的斜率存在，tx3 x4 2x3x4x4x4 t故 PF 的方程为 y1 ，即 y 1，2x t 2x t联立Error! 消去 y 并整理得 x2 x40，8t x3 x4 ， x3x44， 8t 0 t8t 2
11、 4x4x4 t13(2018山东青岛统测)已知函数 f(x)( aex a x)ex(a0，e2718，e为自然对数的底数)，且 f(x)0 对于 xR 恒成立(1)求实数 a 的值；(2)证明： f(x)存在唯一极大值点 x0，且 00， g(x)在(0，)上单调递增， g(x) g(0)0，故 a1(2)证明：当 a1 时， f(x)(e x1 x)ex，f( x)e x(2ex x2)，令 h(x)2e x x2，则 h( x)2e x1， x(，ln 2)时， h( x)0，h(x)在(ln 2，)上为增函数，由于 h(1)0，在(2，1)上存在 x x0满足 h(x0)0， h(x)在(，ln 2)上为减函数， x(， x0)时， h(x)0，即 f( x)0， f(x)在(， x0)上为增函数，x( x0，ln 2)时， h(x)0，即 f( x)0， f(x)在(0，)上为增函数， f(x)在(ln 2，)上只有一个极小值点 0，综上可知 f(x)存在唯一的极大值点 x0，且 x0(2，1) h(x0)0，2e x0 x020， f(x0)(e x01 x0)ex0 2 (x01) ， x0(2，1)，x0 22 x0 22 x20 2x04 x0(2，1)时，0 ，x20 2x04 140 f(x0) 1489
