1、1考点测试 26 平面向量的概念及线性运算高考概览 高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 和 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 、 低 等 难 度考纲研读1了解向量的实际背景2理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义3理解向量的几何表示4掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义5掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义6了解向量线性运算的性质及其几何意义一、基础小题1下列等式：0 a a；( a) a； a( a)0； a0 a； a b a( b)正确的个数是( )A2 B3 C4 D5答案 D解析 由零向量和相反向量的性质知均正确2若 m n，
2、n k，则向量 m 与向量 k( )A共线 B不共线C共线且同向 D不一定共线答案 D解析 如 m0，0 k，但 k 与 m 可能共线也可能不共线，故选 D3如图，正六边形 ABCDEF 中， ( )BA CD EF A0B BE C AD 2D CF 答案 D解析 故选 DBA CD EF BA AF CB CF 4下列命题正确的是( )A若| a| b|，则 a b B若| a|b|，则 abC若 a b，则 a b D若| a|0，则 a0答案 D解析 对于 A，当| a| b|，即向量 a， b 的模相等时，方向不确定，故 a b 不一定成立；对于 B，向量的模可以比较大小，但向量不可
3、以比较大小，B 不正确；C 显然不正确故选 D5关于平面向量，下列说法正确的是( )A零向量是唯一没有方向的向量B平面内的单位向量是唯一的C方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量D共线向量就是相等向量答案 C解析 对于 A，零向量是有方向的，其方向是任意的，故 A 不正确；对于 B，单位向量的模为 1，其方向可以是任意方向，故 B 不正确；对于 C，方向相反的向量一定是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量，故 C 正确；对于 D，由共线向量和相等向量的定义可知 D 不正确，故选 C6已知 m， nR， a， b 是向量，有下列命题： m(a b) ma mb；( m n)
4、a ma na；若 ma mb，则 a b；若 ma na，则 m n其中正确的是( )A B C D答案 D解析 由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以正确；当m0 时， a， b 不一定相等，当 a0 时， m， n 未必相等，所以错误故选 D7已知向量 a e12 e2， b2 e1 e2，则 a2 b 与 2a b( )A一定共线B一定不共线3C当且仅当 e1与 e2共线时共线D当且仅当 e1 e2时共线答案 C解析 由 a2 b5 e1， 2a b5 e2可知，当且仅当 e1与 e2共线时，两向量共线故选C8给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； a
5、0( 为实数)，则 必为零； ， 为实数，若 a b，则 a 与 b 共线其中错误的命题的个数为( )A0 B1 C2 D3答案 D解析 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点；错误，当 a0 时，不论 为何值， a0；错误，当 0 时， a b0，此时 a 与 b 可以是任意向量错误的命题有 3 个，故选 D9已知向量 a， b 是两个不共线的向量，若向量 m4 a b 与 n a b 共线，则实数 的值为( )A4 B C D414 14答案 B解析 因为向量 a， b 是两个不共线的向量，所以若向量 m4 a b 与 n a b 共线，则 4( )11，解得 ，故选 B1410已知
6、a， b 是不共线的向量， a b， a b， ， R，则 A， B， CAB AC 三点共线的充要条件为( )A 2 B 1C 1 D 1答案 D解析 A， B， C 三点共线， ，AB AC 设 m (m0)，则 a b m(a b)，AB AC Error! 1，故选 D11已知点 M 是 ABC 的边 BC 的中点，点 E 在边 AC 上，且 2 ，则 ( )EC AE EM 4A B 12AC 13AB 12AC 16AB C D 16AC 12AB 16AC 32AB 答案 C解析 如图， 2 ， ( ) 故EC AE EM EC CM 23AC 12CB 23AC 12AB AC
7、 12AB 16AC 选 C12已知在四边形 ABCD 中， O 是四边形 ABCD 内一点， a， b， c， a b c，则四边形 ABCD 的形状为( )OA OB OC OD A梯形 B正方形C平行四边形 D菱形答案 C解析 因为 a b c，所以 c b，又 c b，所以 且| | |，所OD AD BC AD BC AD BC 以四边形 ABCD 是平行四边形故选 C二、高考小题13(2015全国卷)设 D 为 ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A B AD 13AB 43AC AD 13AB 43AC C D AD 43AB 13AC AD 43AB 13AC
8、答案 A解析 ( ) 故选 AAD AB BD AB BC CD AB 43BC AB 43AC AB 13AB 43AC 14(2018全国卷)在 ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AD 的中点，则 ( )EB A B 34AB 14AC 14AB 34AC C D 34AB 14AC 14AB 34AC 答案 A5解析 根据向量的运算法则，可得 ( )EB AB AE AB 12AD AB 14AB AC ，故选 A34AB 14AC 15(2015安徽高考) ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向量 a， b 满足 2 a，AB 2 a b，则下列结论正确的是( )
9、AC A| b|1 B a bC ab1 D(4 a b) BC 答案 D解析 2 a， 2 a b， a ， b ， ABC 是边长为 2 的等AB AC 12AB AC AB BC 边三角形，| b|2， ab 1，故 a， b 不垂直，4 a b2 ，12AB BC AB BC AB AC 故(4 a b) ( ) 220，(4 a b) ，故选 DBC AB AC BC BC 16(2015北京高考)在 ABC 中，点 M， N 满足 2 ， 若AM MC BN NC x y ，则 x_； y_MN AB AC 答案 12 16解析 如图在 ABC 中， ( ) MN MA AB BN
10、 23AC AB 12BC 23AC AB 12AC AB 12AB x ， y 16AC 12 16三、模拟小题17(2018河北张家口月考)如图，在正六边形 ABCDEF 中， ( )BA CD FB 6A0B BE C AD D CF 答案 A解析 在正六边形 ABCDEF 中， CD AF， CD AF，所以 BA CD FB BA AF FB BA 0，故选 AAB 18(2018邯郸摸底)如图，在 ABC 中，已知 D 为边 BC 的中点， E， F， G 依次为线段 AD 从上至下的 3 个四等分点，若 4 ，则( )AB AC AP A点 P 与图中的点 D 重合B点 P 与图
11、中的点 E 重合C点 P 与图中的点 F 重合D点 P 与图中的点 G 重合答案 C解析 由平行四边形法则知 2 ，又由 4 知 2 4 ，即AB AC AD AB AC AP AD AP 2 ，所以 P 为 AD 的中点，即点 P 与点 F 重合故选 CAD AP 19(2018怀化一模)已知向量 a， b 不共线，向量 a3 b， 5 a3 b， 3 a3 b，则( )AB BC CD 7A A， B， C 三点共线 B A， B， D 三点共线C A， C， D 三点共线 D B， C， D 三点共线答案 B解析 因为 2 a6 b2( a3 b)2 ，所以 ， 共线，又有公共点 B，B
12、D BC CD AB BD AB 所以 A， B， D 三点共线故选 B20(2018河南中原名校联考)如图，在直角梯形 ABCD 中， AB2 AD2 DC， E 为 BC边上一点， 3 E ， F 为 AE 的中点，则 ( )BC C BF A B 23AB 13AD 13AB 23AD C D 23AB 13AD 13AB 23AD 答案 C解析 BF BA AF BA 12AE AB 12AD 12AB CE AB 12AD 12AB 13CB ( )AB 12AD 14AB 16CD DA AB 故选 C23AB 13AD 21(2018深圳模拟)如图所示，正方形 ABCD 中， M
13、 是 BC 的中点，若 AC AM ，则 ( )BD 8A B43 53C D2158答案 B解析 因为 ( ) ( ) ( )AC AM BD AB BM BA AD AB 12AD AB AD ( ) ，且 ，所以Error!AB 12 AD AC AB AD 得Error! 所以 ，故选 B5322(2018福建高三 4 月质检)庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系：在如图所示的正五角星中，以 A， B， C， D， E 为顶点的多边形为正五边形，且 下列关系中正PTAT 5 12确的是( )A B BP TS 5
14、12 RS CQ TP 5 12 TS C D ES AP 5 12 BQ AT BQ 5 12 CR 答案 A解析 由题意得， BP TS TE TS SE RS 5 12 ，所以 A 正确； 5 12 RS CQ TP PA TP TA ，所以 B 错误； 5 12 ST ES AP RC QC RQ ，所以 C 错误； ，5 12 QB AT BQ SD RD ，若 ，则 0，不符合题意，所以 D 错误故5 12 CR RS RD SD AT BQ 5 12 CR SD 9选 A23(2018银川一模)设点 P 是 ABC 所在平面内一点，且 2 ，则BC BA BP _PC PA 答案
15、 0解析 因为 2 ，由平行四边形法则知，点 P 为 AC 的中点，故 0BC BA BP PC PA 24(2018衡阳模拟)在如图所示的方格纸中，向量 a， b， c 的起点和终点均在格点(小正方形顶点)上，若 c 与 xa yb(x， y 为非零实数)共线，则 的值为_xy答案 65解析 设 e1， e2分别为水平方向(向右)与竖直方向(向上)的单位向量，则向量c e12 e2， a2 e1 e2， b2 e12 e2，由 c 与 xa yb 共线，得 c (xa yb)，所以e12 e22 (x y)e1 (x2 y)e2，所以Error!所以Error!则 的值为 xy 65一、高考
16、大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018山东莱芜模拟)如图，已知 OCB 中， B， C 关于点 A 对称，OD DB21， DC 和 OA 交于点 E，设 a， bOA OB (1)用 a 和 b 表示向量 ， ；OC DC (2)若 ，求实数 的值OE OA 10解 (1)由题意知， A 是 BC 的中点，且 ，OD 23OB 由平行四边形法则，得 2 OB OC OA 2 2 a b，OC OA OB (2 a b) b2 a bDC OC OD 23 53(2) ， (2 a b) a(2 )a b，EC DC EC OC OE 2 a b， ， DC 53 2 2 1 53 452(2018河南安阳模拟)如图所示，在 ABC 中，在 AC 上取一点 N，使得 AN AC，13在 AB 上取一点 M，使得 AM AB，在 BN 的延长线上取点 P，使得 NP BN，在 CM 的延长线13 12上取点 Q，使得 时， ，试确定 的值MQ CM AP QA 解 ( ) ( ) ， AP NP NA 12BN CN 12BN NC 12BC QA MA MQ 12BM MC 又 ， ，AP QA 12BM MC 12BC 即 ， MC 12MC 1211
