1、1第六章 立体几何考点测试 42 空间几何体的结构特征及三视图和直观图高考概览 本 考 点 是 高 考 常 考 知 识 点 ， 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ； 分 值 为 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构2能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测法画出它们的直观图一、基础小题1三视图如图所示的几何体是( )A三棱锥 B四棱锥C四棱台 D三棱台答案 B解析 由三视图可作几何体如图，可知选 B2以下关于几何体的三视图的论述
2、中，正确的是( )A球的三视图总是三个全等的圆B正方体的三视图总是三个全等的正方形C水平放置的正四面体的三视图都是正三角形D水平放置的圆台的俯视图是一个圆答案 A解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是2三个全等的圆3用一个平行于水平面的平面去截球，得到如右图所示的几何体，则它的俯视图是( )答案 B解析 俯视图中显然应有一个被遮挡的圆，所以内圆是虚线，故选 B4用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边 AB 平行于 y 轴， BC， AD 平行于x 轴已知四边形 ABCD 的面积为 2 cm2，则原平面图形的面积为( )2A4 cm 2 B4 cm22C
3、8 cm 2 D8 cm22答案 C解析 依题意可知 BAD45，则原平面图形为直角梯形，上下底面的长与 BC， AD相等，高为梯形 ABCD 的高的 2 倍，所以原平面图形的面积为 8 cm225给出下列命题：在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等其中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3答案 A解析 错误，只有这两点的连线平行于旋转轴时才是母线；错误，因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一
4、个公共顶点的三角形” ，如图 1 所示；错3误，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图 2 所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等6如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A三棱锥 B三棱柱C四棱锥 D四棱柱答案 B解析 由三视图可知该几何体应为横向放置的三棱柱(如图所示)故选 B7某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是( )答案 D解析 A 图是两个圆柱的组合体的俯视图；B 图是一个四棱柱与一个
5、圆柱的组合体的俯视图；C 图是一个底面为等腰直角三角形的三棱柱与一个四棱柱的组合体的俯视图，采用4排除法，故选 D8将正方体(如图 a 所示)截去两个三棱锥，得到图 b 所示的几何体，则该几何体的侧视图为( )答案 B解析 还原正方体后，将 D1， D， A 三点分别向正方体右侧面作垂线， D1A 的射影为C1B，且为实线， B1C 被遮挡应为虚线9已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中三个视图都是直角三角形，则在该三棱锥的四个面中，直角三角形的个数为( )A1B2C3D4答案 D解析 由题意知，三棱锥放置在长方体中如图所示，利用长方体模型可知，此三棱锥的四个面全部是直角三角形故选 D10在如图
6、所示的空间直角坐标系 Oxyz 中，一个四面体的顶点坐标分别是(0，0，2)，(2，2，0)，(1，2，1)，(2，2，2)给出编号为的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为( )5A和 B和 C和 D和答案 D解析 由题意得，该几何体的正视图是一个直角三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，2)，(0，2，0)，(0，2，2)，且内有一条虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影，是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0，0，0)，(2，2，0)，(1，2，0)，故俯视图是11一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为 a 的正方形，则原平面四边形的面积等于(
7、 )A a2 B2 a2 C a2 D a224 2 22 223答案 B解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积 S与它的直观图的面积 S之间的关系是 S S，本题中直观图的面积为 a2，所以原平面24四边形的面积等于 2 a2故选 Ba224 212已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧(左)视图如图所示，那么此三棱柱正(主)视图的面积为_答案 2 3解析 由正三棱柱三视图还原直观图可得正(主)视图是一个矩形，其中一边的长是侧(左)视图中三角形的高，另一边是棱长因为侧(左)视图中三角形的边长为 2，所以高为，所以正(主)视图的面积为 2 3 3二、高考小题1
8、3(2018全国卷)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头若如图摆放的木构件与某一带6卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )答案 A解析 观察图形易知卯眼处应以虚线画出，俯视图为 ，故选 A14(2018全国卷)某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如右图圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为( )A2 B2 C3 D217 5答案 B解析 根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确
9、定点 M 和点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽、圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为 2 ，故选 B42 22 515(2018北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为( )7A1 B2 C3 D4答案 C解析 由三视图得四棱锥的直观图如图所示其中 SD底面ABCD， AB AD， AB CD， SD AD CD2， AB1由 SD底面 ABCD， AD， DC，AB底面 ABCD，得SD AD， SD DC， SD AB，故 SDC， SDA 为直角三角形，又 AB AD， AB SD， AD， SD平面 SAD
10、， AD SD D， AB平面 SAD，又 SA平面SAD， AB SA，即 SAB 也是直角三角形，从而 SB3，又 BC SD2 AD2 AB2 22 12 5SC2 ， BC2 SC2 SB2， SBC 不是直角三角形，故选 C216(2017全国卷)某多面体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 2，俯视图为等腰直角三角形该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为( )A10 B12 C14 D16答案 B解析 由多面体的三视图还原直观图如图该几何体由上方的三棱锥 A BCE 和下方的三棱柱 BCE B1C1A1构成，其中面 CC
11、1A1A 和面 BB1A1A 是梯形，则梯形的面积之和为 2812故选 B2 42217(2017北京高考)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A3 B2 C2 D22 3 2答案 B解析 根据三视图可得该四棱锥的直观图(四棱锥 P ABCD)如图所示，将该四棱锥放入棱长为 2 的正方体中由图可知该四棱锥的最长棱为 PD， PD 2 故选22 22 22 3B18(经典江西高考)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )答案 B解析 由几何体的直观图知，该几何体最上面的棱横放且在中间的位置上，因此它的俯视图应排除 A，C，D，经验证 B 符合题意，故选 B
12、三、模拟小题19(2018广东广州综合测试)如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为 1 的正方形，且体积为 ，则该几何体的俯视图可以是( )129答案 C解析 该几何体的体积为 ，且由题意知高为 1，故底面积为 ，结合选项知选 C12 1220(2018广州六校联考)已知某几何体的正视图和侧视图均如图所示，给出下列 5个图形：其中可以作为该几何体的俯视图的图形个数为( )A5 B4 C3 D2答案 B解析 由题知可以作为该几何体俯视图的图形为，故选 B21(2018长沙统考)已知某几何体的正视图和俯视图是如图所示的两个全等的矩形，给出下列 4 个图形：其中可以作为该几何体的侧视图的图形序号是
13、( )A B C D答案 D解析 符合题意的几何体可以是如下几何体：由此可知选 D1022(2018合肥质检二)如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1中，已知 E 是棱 A1B1的中点，用过点 A， C， E 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为( )答案 A解析 依题意，截后的多面体如图所示，其中 F 为棱 B1C1的中点，故选 A23(2018湖南郴州模拟)一只蚂蚁从正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到顶点 C1的位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图的是( )A B C D答案 D解析 由点 A
14、 经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点 C1的位置，共有 6 种路线(对应 6 种不同的展开方式)，若把平面 ABB1A1和平面 BCC1B1展开到同一个平面内，连接AC1，则 AC1是最短路线，且 AC1会经过 BB1的中点，此时对应的正视图为；若把平面ABCD 和平面 CDD1C1展开到同一个平面内，连接 AC1，则 AC1是最短路线，且 AC1会经过 CD的中点，此时对应的正视图为而其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现故选 D1124(2018深圳调研)如图，在三棱柱 ABC A B C中，已知侧棱 AA底面A B C，且 A B C是正三角形，若点 P 是上底面 ABC 内的任
15、意一点，则三棱锥P A B C的正视图与侧视图的面积之比为(注：以垂直于平面 ACC A的方向为正视图方向)( )A B C1 D12 32 233答案 D解析 过点 P 作 AC 的垂线交 AC 于 P，则 P为 P 在平面 ACC A上的投影取A C的中点 B，则 B为 B在平面 ACC A上的投影由此得正视图与侧视图如图所示设底面边长为 a， AA b则 S 正 ab， S 侧 ab ab，故12 12 32 34 S正S侧12ab34ab 233一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题121(2018沈阳质检)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为 6的
16、两个全等的等腰直角三角形(1)请画出该几何体的直观图，并求出它的体积；(2)用多少个这样的几何体可以拼成一个棱长为 6 的正方体 ABCD A1B1C1D1？如何组拼？试证明你的结论解 (1)该几何体的直观图如图 1 所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面 ABCD 是边长为 6 的正方形，高为 CC16，故所求体积是 V 6267213(2)依题意，正方体的体积是原四棱锥体积的 3 倍，故用 3 个这样的四棱锥可以拼成一个棱长为 6 的正方体，其拼法如图 2 所示证明：面 ABCD、面 ABB1A1、面 AA1D1D 为全等的正方形，于是VC1 ABCD VC1 ABB1A1 VC
17、1 AA1D1D，故所拼图形成立2(2018河南郑州一中月考)一个多面体的三视图和直观图如图 1、图 2 所示，其中M， N 分别是 AB， AC 的中点， G 是 DF 上的一个动点，且 DG DF (0 1)(1)求证：对任意的 (0，1)，都有 GN AC；(2)当 时，求证： AG平面 FMC1213证明 (1)由三视图与直观图，知该几何体是一个直三棱柱，CD DF， AD DF， AD CD，且 DF AD DC如图，连接 BD，则 AC BD，且 N 为 AC 与 BD 的交点由题意知 FD平面 ABCD，又 G 是 FD 上的一点， GD平面 ABCD，又 AC平面 ABCD， GD AC由 AC BD， GD AC 及 BD GD D，知 AC平面 GDN，又 GN平面 GDN， AC GN(2)当 时， G 是 DF 的中点，取 DC 的中点 S，连接 AS， GS，如图所示12 M 是 AB 的中点， AS MC， GS FC，且 AS GS S，MC FC C，平面 AGS平面 FMC，又 AG平面 AGS， AG平面 FMC14
