1、1考点测试 57 坐标系与参数方程高考概览本 考 点 是 高 考 必 考 知 识 点 ， 题 型 为 解 答 题 ， 分 值 10分 ， 中 等 难 度考纲研读1了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程4了解参数方程，了解参数的意义5能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程一、基础小题1参数方程为Error!(0 t5)的曲线为( )A线段 B双曲线的一支C圆弧 D射线答案 A解析 化为普通方程为 x3( y1)2，即 x3 y5
2、0，由于 x3 t222，77，故曲线为线段故选 A2直线Error!( t 为参数)的倾斜角为( )A30 B60 C90 D135答案 D解析 将直线参数方程化为普通方程为 x y10，其斜率 k1，故倾斜角为135故选 D3在极坐标系中，过点 作圆 4sin 的切线，则切线的极坐标方程是( )(22， 4)A sin 2 B cos 2C sin 2 D cos 2( 3) ( 3)答案 B解析 4sin 的直角坐标方程为 x2 y24 y0，即 x2( y2) 24，而点化为直角坐标是 (2， 2)，过(2，2)作圆的切线，其方程为 x2，即(22， 4) cos 2故选 B24在极坐
3、标系中，过圆 6cos 的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_答案 cos 3解析 把 6cos 两边同乘 ，得 26 cos ，所以圆的普通方程为x2 y26 x0，即( x3) 2 y29，圆心为(3，0)，故所求直线的极坐标方程为 cos 35在极坐标系中，直线 sin 2 被圆 4 所截得的弦长为_( 4)答案 4 3解析 分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x y2 0， x2 y216，则圆心 O 到直线 x y2 0 的距离 d 2，半弦2 2| 22|2长为 2 ，所以弦长为 4 16 4 3 36在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点， x 轴的正半轴为
4、极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为 (cos sin )2，曲线 C2的参数方程为Error!( t 为参数)，则 C1与 C2交点的直角坐标为_答案 (2，4)解析 曲线 C1的直角坐标方程为 x y2，曲线 C2的普通方程为 y28 x，由Error!得Error! 所以 C1与 C2交点的直角坐标为(2，4)二、高考小题7(2018北京高考)在极坐标系中，直线 cos sin a(a0)与圆 2cos 相切，则 a_答案 1 2解析 由Error!可将直线 cos sin a 化为 x y a0，将 2cos ，即 22 cos 化为 x2 y22 x，整理成标准方程为( x1)
5、2 y21又直线与圆相切，圆心(1，0)到直线 x y a0 的距离 d 1，解得 a1 ， a0， a1|1 a|2 228(2018天津高考)已知圆 x2 y22 x0 的圆心为 C，直线Error!( t 为参数)与该圆相交于 A， B 两点，则 ABC 的面积为_答案 12解析 由题意可得圆的标准方程为( x1) 2 y21，直线的直角坐标方程为x y20，则圆心到直线的距离 d ，由弦长公式可得|1 0 2|2 223|AB|2 ，则 S ABC 1 222 2 12 2 22 129(2017北京高考)在极坐标系中，点 A 在圆 22 cos 4 sin 40 上，点 P 的坐标为
6、(1，0)，则| AP|的最小值为_答案 1解析 由 22 cos 4 sin 40，得x2 y22 x4 y40，即( x1) 2( y2) 21，圆心坐标为 C(1，2)，半径长为 1点 P 的坐标为(1，0)，点 P 在圆 C 外又点 A 在圆 C 上，| AP|min| PC|121110(2017天津高考)在极坐标系中，直线 4 cos 10 与圆 2sin ( 6)的公共点的个数为_答案 2解析 由 4 cos 10 得 2 cos 2 sin 10，故直线的直角坐标( 6) 3方程为 2 x2 y103由 2sin 得 22 sin ，故圆的直角坐标方程为 x2 y22 y，即
7、x2( y1) 21圆心为(0，1)，半径为 1圆心到直线 2 x2 y10 的距离3d 1，|21 1|232 22 34直线与圆相交，有两个公共点三、模拟小题11(2018北京通州月考)下面直线中，平行于极轴且与圆 2cos 相切的是( )A cos 1 B sin 1 C cos 2 D sin 2答案 B解析 由 2cos 得 22 cos ，即 x2 y22 x，所以圆的标准方程为( x1)2 y21，所以圆心坐标为(1，0)，半径为 1与 x 轴平行且与圆相切的直线方程为 y1或 y1，则极坐标方程为 sin 1 或 sin 1，所以选 B12(2018合肥调研)已知圆 C 的参数
8、方程为Error!( 为参数)，当圆心 C 到直线 kx y40 的距离最大时， k 的值为( )A B C D13 15 13 154答案 D解析 C 的直角坐标方程为( x1) 2( y1) 21，圆心 C(1，1)，又直线kx y40 过定点 A(0，4)，故当 CA 与直线 kx y40 垂直时，圆心 C 到直线的距离最大， kCA5， k ， k 选 D15 15一、高考大题1(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 y k|x|2以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30(1)求 C2的直角坐标方程；(2)
9、若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程解 (1)由 x cos ， y sin ，得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1，0)，半径为 2 的圆由题设知， C1是过点 B(0，2)且关于 y 轴对称的两条射线，曲线 C1的方程为 yError!记y 轴右边的射线为 l1， y 轴左边的射线为 l2由于 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时， A 到 l1所在直线的距
10、离为 2，所以 2，故| k 2|k2 1k 或 k043经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l1与 C2只有一个公共点， l243与 C2有两个公共点当 l2与 C2只有一个公共点时， A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 2，故 k0|k 2|k2 1或 k 43经检验，当 k0 时， l1与 C2没有公共点；当 k 时， l2与 C2没有公共点43综上，所求 C1的方程为 y |x|2432(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数)，直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)5(1)求 C 和 l 的直角
11、坐标方程；(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l 的斜率解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 1x24 y216当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ，当 cos 0 时， l 的直角坐标方程为 x1(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程，整理得关于 t 的方程(13cos 2 )t24(2cos sin )t80因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1， t2，则 t1 t20又由得 t1 t2 ，故 2cos sin 0，于是直线 l 的斜率42cos sin 1 3cos2k
12、tan 23(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中， O 的参数方程为Error!( 为参数)，过点(0， )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A， B 两点2(1)求 的取值范围；(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解 (1) O 的直角坐标方程为 x2 y21当 时， l 与 O 交于两点 2当 时，记 tan k，则 l 的方程为 y kx 2 2l 与 O 交于两点当且仅当 1，21 k2即 ， 或 ， 综上， 的取值范围是 ， 4 2 234 434(2)l 的参数方程为 Error!t 为参数， 0)， M 的极坐标为( 1， )( 10)由题设知| OP| ，|
13、 OM| 1 4cos由| OM|OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B， )( B0)由题设知| OA|2， B4cos ，于是 OAB 的面积S |OA| Bsin AOB4cos 12 |sin( 3)|72 2 |sin(2 3) 32| 3当 时， S 取得最大值 2 12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 3二、模拟大题6(2018河南名校联盟联考)在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的直角坐标方程为x2( y1) 21以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标
14、系，直线 l 的极坐标方程为 ( cos sin )53(1)求圆 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程；(2)在圆上找一点 A，使它到直线 l 的距离最小，并求点 A 的极坐标解 (1) x2( y1) 21 即 x2 y22 y0因为 2 x2 y2， sin y，所以圆 C 的极坐标方程为 22 sin ，即 2sin ( cos sin )5 即 cos sin 5，3 3因为 cos x， sin y，所以直线 l 的直角坐标方程为 y x53(2)曲线 C： x2( y1) 21 是以 C(0，1)为圆心，1 为半径的圆设圆上点 A(x0， y0)到直线 l： y x5 的距
15、离最短，所以圆 C 在点 A 处的切线与3直线 l： y x5 平行3即直线 CA 与 l 的斜率的乘积等于1，即 ( )1y0 1x0 3因为点 A 在圆上，所以 x ( y01) 21，20联立可解得 x0 ， y0 或 x0 ， y0 32 12 32 32所以点 A 的坐标为 ， 或 ，32 12 32 32又由于圆上点 A 到直线 l： y x5 的距离最小，3所以点 A 的坐标为 ，32 32点 A 的极径为 ，极角 满足 tan 且 为第一象限角，则可取322 322 3 3 3所以点 A 的极坐标为 ， 3 37(2019福建福州四校模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
16、1的参数方程为8Error!( 为参数)，直线 C2的方程为 y x以坐标原点 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴3建立极坐标系(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程；(2)若直线 C2与曲线 C1交于 A， B 两点，求 1|OA| 1|OB|解 (1)由曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)，得曲线 C1的普通方程为( x2)2( y2) 21，则 C1的极坐标方程为 24 cos 4 sin 70，由于直线 C2过原点，且倾斜角为 ，故其极坐标方程为 ( R) 3 3(2)由Error!得 2(2 2) 70，设 A， B 对应的极径分别为 1， 2，则3 1 22 2， 1
17、 2 7，3 1|OA| 1|OB| |OA| |OB|OA|OB| 1 2 1 2 23 278(2018河南郑州二模)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，点 A 的极坐标为 ， ，直线 l 的极坐标方程为 cos a，2 4 4且 l 过点 A，曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)(1)求曲线 C1上的点到直线 l 的距离的最大值；(2)过点 B(1，1)与直线 l 平行的直线 l1与曲线 C1交于 M， N 两点，求| BM|BN|的值解 (1)由直线 l 过点 A 可得 cos a，2 4 4故 a ，2易得直线 l 的直角坐标方程为
18、x y20根据点到直线的距离公式可得曲线 C1上的点(2cos ， sin )到直线 l 的距离 d3 ，其中 sin ，cos ，|2cos 3sin 2|2 |7sin 2|2 277 217 dmax 7 22 14 222(2)由(1)知直线 l 的倾斜角为 ，34直线 l1的参数方程为 yError!( t 为参数)又易知曲线 C1的普通方程为 1，x24 y239把直线 l1的参数方程代入曲线 C1的普通方程可得 t27 t50，72 2设 M， N 两点对应的参数为 t1， t2， t1t2 ，依据参数 t 的几何意义可知| BM|BN| t1t2| 107 1079(2018山
19、西太原二模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1过点 P(a，1)，其参数方程为Error! (t 为参数， aR)，以 O 为极点， x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程；(2)已知曲线 C1和曲线 C2交于 A， B 两点，且| PA|2| PB|，求实数 a 的值解 (1) C1的参数方程为Error!消参得普通方程为 x y a10， C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0，两边同乘 得 2cos2 4 cos 20，得 y24 x所以曲线 C2的直角坐标方程为 y24 x(2)
20、曲线 C1的参数方程可转化为Error!( t 为参数， aR)，代入曲线 C2： y24 x，得t2 t14 a0，由 ( )24 (14 a)0，得 a0，12 2 2 12设 A， B 对应的参数分别为 t1， t2，由| PA|2| PB|得| t1|2| t2|，即 t12 t2或 t12 t2，当 t12 t2时，Error!解得 a ；136当 t12 t2时，Error!解得 a ，94综上， a 或 136 9410(2018河北衡水中学模拟)在极坐标系中，曲线 C1的极坐标方程是 ，在以极点为原点 O，极轴为 x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的244cos 3sin
21、直角坐标系 xOy 中，曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数 )(1)求曲线 C1的直角坐标方程与曲线 C2的普通方程；(2)将曲线 C2经过伸缩变换Error!后得到曲线 C3，若 M， N 分别是曲线 C1和曲线 C3上的动点，求| MN|的最小值解 (1) C1的极坐标方程是 ，244cos 3sin4 cos 3 sin 24，4 x3 y240，故 C1的直角坐标方程为 4x3 y24010曲线 C2的参数方程为Error! x2 y21，故 C2的普通方程为 x2 y21(2)将曲线 C2经过伸缩变换Error!后得到曲线 C3，则曲线 C3的参数方程为Error! ( 为参数)设 N(2 cos ，2sin )，则点 N 到曲线 C1的距离 d2|422cos 32sin 24|5|241sin 24|5 其中 满足 tan 24 241sin 5 423当 sin( )1 时， d 有最小值 ，24 2415所以| MN|的最小值为 24 241511
