1、1考点测试 57 坐标系与参数方程高考概览本 考 点 是 高 考 必 考 知 识 点 , 题 型 为 解 答 题 , 分 值 10分 , 中 等 难 度考纲研读1了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况2了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化3能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程4了解参数方程,了解参数的意义5能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程一、基础小题1参数方程为Error!(0 t5)的曲线为( )A线段 B双曲线的一支C圆弧 D射线答案 A解析 化为普通方程为 x3( y1)2,即 x3 y5
2、0,由于 x3 t222,77,故曲线为线段故选 A2直线Error!( t 为参数)的倾斜角为( )A30 B60 C90 D135答案 D解析 将直线参数方程化为普通方程为 x y10,其斜率 k1,故倾斜角为135故选 D3在极坐标系中,过点 作圆 4sin 的切线,则切线的极坐标方程是( )(22, 4)A sin 2 B cos 2C sin 2 D cos 2( 3) ( 3)答案 B解析 4sin 的直角坐标方程为 x2 y24 y0,即 x2( y2) 24,而点化为直角坐标是 (2, 2),过(2,2)作圆的切线,其方程为 x2,即(22, 4) cos 2故选 B24在极坐
3、标系中,过圆 6cos 的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程为_答案 cos 3解析 把 6cos 两边同乘 ,得 26 cos ,所以圆的普通方程为x2 y26 x0,即( x3) 2 y29,圆心为(3,0),故所求直线的极坐标方程为 cos 35在极坐标系中,直线 sin 2 被圆 4 所截得的弦长为_( 4)答案 4 3解析 分别将直线与圆的极坐标方程化成直角坐标方程为x y2 0, x2 y216,则圆心 O 到直线 x y2 0 的距离 d 2,半弦2 2| 22|2长为 2 ,所以弦长为 4 16 4 3 36在平面直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为
4、极轴建立极坐标系曲线 C1的极坐标方程为 (cos sin )2,曲线 C2的参数方程为Error!( t 为参数),则 C1与 C2交点的直角坐标为_答案 (2,4)解析 曲线 C1的直角坐标方程为 x y2,曲线 C2的普通方程为 y28 x,由Error!得Error! 所以 C1与 C2交点的直角坐标为(2,4)二、高考小题7(2018北京高考)在极坐标系中,直线 cos sin a(a0)与圆 2cos 相切,则 a_答案 1 2解析 由Error!可将直线 cos sin a 化为 x y a0,将 2cos ,即 22 cos 化为 x2 y22 x,整理成标准方程为( x1)
5、2 y21又直线与圆相切,圆心(1,0)到直线 x y a0 的距离 d 1,解得 a1 , a0, a1|1 a|2 228(2018天津高考)已知圆 x2 y22 x0 的圆心为 C,直线Error!( t 为参数)与该圆相交于 A, B 两点,则 ABC 的面积为_答案 12解析 由题意可得圆的标准方程为( x1) 2 y21,直线的直角坐标方程为x y20,则圆心到直线的距离 d ,由弦长公式可得|1 0 2|2 223|AB|2 ,则 S ABC 1 222 2 12 2 22 129(2017北京高考)在极坐标系中,点 A 在圆 22 cos 4 sin 40 上,点 P 的坐标为
6、(1,0),则| AP|的最小值为_答案 1解析 由 22 cos 4 sin 40,得x2 y22 x4 y40,即( x1) 2( y2) 21,圆心坐标为 C(1,2),半径长为 1点 P 的坐标为(1,0),点 P 在圆 C 外又点 A 在圆 C 上,| AP|min| PC|121110(2017天津高考)在极坐标系中,直线 4 cos 10 与圆 2sin ( 6)的公共点的个数为_答案 2解析 由 4 cos 10 得 2 cos 2 sin 10,故直线的直角坐标( 6) 3方程为 2 x2 y103由 2sin 得 22 sin ,故圆的直角坐标方程为 x2 y22 y,即
7、x2( y1) 21圆心为(0,1),半径为 1圆心到直线 2 x2 y10 的距离3d 1,|21 1|232 22 34直线与圆相交,有两个公共点三、模拟小题11(2018北京通州月考)下面直线中,平行于极轴且与圆 2cos 相切的是( )A cos 1 B sin 1 C cos 2 D sin 2答案 B解析 由 2cos 得 22 cos ,即 x2 y22 x,所以圆的标准方程为( x1)2 y21,所以圆心坐标为(1,0),半径为 1与 x 轴平行且与圆相切的直线方程为 y1或 y1,则极坐标方程为 sin 1 或 sin 1,所以选 B12(2018合肥调研)已知圆 C 的参数
8、方程为Error!( 为参数),当圆心 C 到直线 kx y40 的距离最大时, k 的值为( )A B C D13 15 13 154答案 D解析 C 的直角坐标方程为( x1) 2( y1) 21,圆心 C(1,1),又直线kx y40 过定点 A(0,4),故当 CA 与直线 kx y40 垂直时,圆心 C 到直线的距离最大, kCA5, k , k 选 D15 15一、高考大题1(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1的方程为 y k|x|2以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 22 cos 30(1)求 C2的直角坐标方程;(2)
9、若 C1与 C2有且仅有三个公共点,求 C1的方程解 (1)由 x cos , y sin ,得 C2的直角坐标方程为( x1) 2 y24(2)由(1)知 C2是圆心为 A(1,0),半径为 2 的圆由题设知, C1是过点 B(0,2)且关于 y 轴对称的两条射线,曲线 C1的方程为 yError!记y 轴右边的射线为 l1, y 轴左边的射线为 l2由于 B 在圆 C2的外面,故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点,或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共点当 l1与 C2只有一个公共点时, A 到 l1所在直线的距
10、离为 2,所以 2,故| k 2|k2 1k 或 k043经检验,当 k0 时, l1与 C2没有公共点;当 k 时, l1与 C2只有一个公共点, l243与 C2有两个公共点当 l2与 C2只有一个公共点时, A 到 l2所在直线的距离为 2,所以 2,故 k0|k 2|k2 1或 k 43经检验,当 k0 时, l1与 C2没有公共点;当 k 时, l2与 C2没有公共点43综上,所求 C1的方程为 y |x|2432(2018全国卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为Error!( 为参数),直线 l 的参数方程为Error!( t 为参数)5(1)求 C 和 l 的直角
11、坐标方程;(2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的斜率解 (1)曲线 C 的直角坐标方程为 1x24 y216当 cos 0 时, l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ,当 cos 0 时, l 的直角坐标方程为 x1(2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程,整理得关于 t 的方程(13cos 2 )t24(2cos sin )t80因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1,2)在 C 内,所以有两个解,设为 t1, t2,则 t1 t20又由得 t1 t2 ,故 2cos sin 0,于是直线 l 的斜率42cos sin 1 3cos2k
12、tan 23(2018全国卷)在平面直角坐标系 xOy 中, O 的参数方程为Error!( 为参数),过点(0, )且倾斜角为 的直线 l 与 O 交于 A, B 两点2(1)求 的取值范围;(2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程解 (1) O 的直角坐标方程为 x2 y21当 时, l 与 O 交于两点 2当 时,记 tan k,则 l 的方程为 y kx 2 2l 与 O 交于两点当且仅当 1,21 k2即 , 或 , 综上, 的取值范围是 , 4 2 234 434(2)l 的参数方程为 Error!t 为参数, 0), M 的极坐标为( 1, )( 10)由题设知| OP| ,|
13、 OM| 1 4cos由| OM|OP|16 得 C2的极坐标方程为 4cos ( 0)因此 C2的直角坐标方程为( x2) 2 y24( x0)(2)设点 B 的极坐标为( B, )( B0)由题设知| OA|2, B4cos ,于是 OAB 的面积S |OA| Bsin AOB4cos 12 |sin( 3)|72 2 |sin(2 3) 32| 3当 时, S 取得最大值 2 12 3所以 OAB 面积的最大值为 2 3二、模拟大题6(2018河南名校联盟联考)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的直角坐标方程为x2( y1) 21以坐标原点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标
14、系,直线 l 的极坐标方程为 ( cos sin )53(1)求圆 C 的极坐标方程和直线 l 的直角坐标方程;(2)在圆上找一点 A,使它到直线 l 的距离最小,并求点 A 的极坐标解 (1) x2( y1) 21 即 x2 y22 y0因为 2 x2 y2, sin y,所以圆 C 的极坐标方程为 22 sin ,即 2sin ( cos sin )5 即 cos sin 5,3 3因为 cos x, sin y,所以直线 l 的直角坐标方程为 y x53(2)曲线 C: x2( y1) 21 是以 C(0,1)为圆心,1 为半径的圆设圆上点 A(x0, y0)到直线 l: y x5 的距
15、离最短,所以圆 C 在点 A 处的切线与3直线 l: y x5 平行3即直线 CA 与 l 的斜率的乘积等于1,即 ( )1y0 1x0 3因为点 A 在圆上,所以 x ( y01) 21,20联立可解得 x0 , y0 或 x0 , y0 32 12 32 32所以点 A 的坐标为 , 或 ,32 12 32 32又由于圆上点 A 到直线 l: y x5 的距离最小,3所以点 A 的坐标为 ,32 32点 A 的极径为 ,极角 满足 tan 且 为第一象限角,则可取322 322 3 3 3所以点 A 的极坐标为 , 3 37(2019福建福州四校模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C
16、1的参数方程为8Error!( 为参数),直线 C2的方程为 y x以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴3建立极坐标系(1)求曲线 C1和直线 C2的极坐标方程;(2)若直线 C2与曲线 C1交于 A, B 两点,求 1|OA| 1|OB|解 (1)由曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数),得曲线 C1的普通方程为( x2)2( y2) 21,则 C1的极坐标方程为 24 cos 4 sin 70,由于直线 C2过原点,且倾斜角为 ,故其极坐标方程为 ( R) 3 3(2)由Error!得 2(2 2) 70,设 A, B 对应的极径分别为 1, 2,则3 1 22 2, 1
17、 2 7,3 1|OA| 1|OB| |OA| |OB|OA|OB| 1 2 1 2 23 278(2018河南郑州二模)在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点 A 的极坐标为 , ,直线 l 的极坐标方程为 cos a,2 4 4且 l 过点 A,曲线 C1的参数方程为Error!( 为参数)(1)求曲线 C1上的点到直线 l 的距离的最大值;(2)过点 B(1,1)与直线 l 平行的直线 l1与曲线 C1交于 M, N 两点,求| BM|BN|的值解 (1)由直线 l 过点 A 可得 cos a,2 4 4故 a ,2易得直线 l 的直角坐标方程为
18、x y20根据点到直线的距离公式可得曲线 C1上的点(2cos , sin )到直线 l 的距离 d3 ,其中 sin ,cos ,|2cos 3sin 2|2 |7sin 2|2 277 217 dmax 7 22 14 222(2)由(1)知直线 l 的倾斜角为 ,34直线 l1的参数方程为 yError!( t 为参数)又易知曲线 C1的普通方程为 1,x24 y239把直线 l1的参数方程代入曲线 C1的普通方程可得 t27 t50,72 2设 M, N 两点对应的参数为 t1, t2, t1t2 ,依据参数 t 的几何意义可知| BM|BN| t1t2| 107 1079(2018山
19、西太原二模)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1过点 P(a,1),其参数方程为Error! (t 为参数, aR),以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0(1)求曲线 C1的普通方程和曲线 C2的直角坐标方程;(2)已知曲线 C1和曲线 C2交于 A, B 两点,且| PA|2| PB|,求实数 a 的值解 (1) C1的参数方程为Error!消参得普通方程为 x y a10, C2的极坐标方程为 cos2 4cos 0,两边同乘 得 2cos2 4 cos 20,得 y24 x所以曲线 C2的直角坐标方程为 y24 x(2)
20、曲线 C1的参数方程可转化为Error!( t 为参数, aR),代入曲线 C2: y24 x,得t2 t14 a0,由 ( )24 (14 a)0,得 a0,12 2 2 12设 A, B 对应的参数分别为 t1, t2,由| PA|2| PB|得| t1|2| t2|,即 t12 t2或 t12 t2,当 t12 t2时,Error!解得 a ;136当 t12 t2时,Error!解得 a ,94综上, a 或 136 9410(2018河北衡水中学模拟)在极坐标系中,曲线 C1的极坐标方程是 ,在以极点为原点 O,极轴为 x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的244cos 3sin
21、直角坐标系 xOy 中,曲线 C2的参数方程为Error!( 为参数 )(1)求曲线 C1的直角坐标方程与曲线 C2的普通方程;(2)将曲线 C2经过伸缩变换Error!后得到曲线 C3,若 M, N 分别是曲线 C1和曲线 C3上的动点,求| MN|的最小值解 (1) C1的极坐标方程是 ,244cos 3sin4 cos 3 sin 24,4 x3 y240,故 C1的直角坐标方程为 4x3 y24010曲线 C2的参数方程为Error! x2 y21,故 C2的普通方程为 x2 y21(2)将曲线 C2经过伸缩变换Error!后得到曲线 C3,则曲线 C3的参数方程为Error! ( 为参数)设 N(2 cos ,2sin ),则点 N 到曲线 C1的距离 d2|422cos 32sin 24|5|241sin 24|5 其中 满足 tan 24 241sin 5 423当 sin( )1 时, d 有最小值 ,24 2415所以| MN|的最小值为 24 241511