1、1第八章 概率与统计考点测试 56 分类加法计数原理与分步乘法计数原理高考概览 高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 为 5分 ， 中 等 难 度考纲研读运用分类、分步计数原理解决实际或数学问题是高考热点，要注意与概率问题的结合一、基础小题1若 x1，2，3， y5，7，9，则 xy 的不同值的个数是( )A2 B6 C9 D8答案 C解析 求 xy 需分两步取值：第一步， x 的取值有 3 种；第二步， y 的取值有 3 种，故有 339(个)不同的值故选 C2三个人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下由甲开始踢，经过 3 次传递后，毽子又被
2、踢回给甲，则不同的传递方式共有( )A5 种 B2 种 C3 种 D4 种答案 B解析 传递方式有：甲乙丙甲；甲丙乙甲故选 B3把 10 个苹果分成三堆，要求每堆至少有 1 个，至多有 5 个，则不同的分法共有( )A4 种 B5 种 C6 种 D7 种答案 A解析 分类考虑，若最少一堆是 1 个，那由至多 5 个知另两堆分别为 4 个、5 个，只有 1 种分法；若最少一堆是 2 个，则由 3544 知有 2 种分法；若最少一堆是 3 个，则另两堆为 3 个、4 个，共 1 种，故共有分法 1214 种4已知 5 名同学报名参加 2 个课外活动小组，每名同学限报其中一个小组，则不同的报名方法共
3、有( )A10 种 B20 种 C25 种 D32 种答案 D解析 5 名同学依次报名，每人均有 2 种不同的选择，所以共有2222232(种)不同的报名方法故选 D5小王有 70 元钱，现有面值分别为 20 元和 30 元的两种手机充值卡若他至少买一张，则不同的买法共有( )2A7 种 B8 种 C6 种 D9 种答案 A解析 要完成的一件事是“至少买一张手机充值卡” ，分三类完成：买 1 张卡，买 2 张卡，买 3 张卡而每一类都能独立完成“至少买一张手机充值卡”这件事买 1 张卡有 2种方法，买 2 张卡有 3 种方法，买 3 张卡有 2 种方法，故共有 2327(种)不同的买法故选 A
4、6小明有 4 枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面他想把 4 个硬币摆成一摞，且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有( )A4 种 B5 种 C6 种 D9 种答案 B解析 记反面为 1，正面为 2；则正反依次相对有 12121212，21212121 两种；有两枚反面相对有 21121212，21211212，21212112 三种，共 5 种摆法，故选 B7有四位老师在同一年级的 4 个班级中各教一个班的数学，在数学考试时，要求每位老师均不在本班监考，则安排监考的方法种数是( )A8 种 B9 种 C10 种 D11 种答案 B解析 解法一：设四个班级分别是 A， B， C，
5、 D，它们的老师分别是 a， b， c， d，并设a 监考的是 B，则剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级，共有 3 种不同的方法；同理当a 监考 C， D 时，剩下的三个老师分别监考剩下的三个班级也各有 3 种不同的方法这样，由分类加法计数原理知共有 3339(种)不同的安排方法解法二：让 a 先选，可从 B， C， D 中选一个，即有 3 种选法若选的是 B，则 b 从剩下的 3 个班级中任选一个，也有 3 种选法，剩下的两个老师都只有一种选法，这样用分步乘法计数原理求解，共有 33119(种)不同的安排方法8某班新年联欢会原定的 6 个节目已排成节目单，开演前又增加了 3 个新节目，如果
6、将这 3 个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为( )A504 B210 C336 D120答案 A解析 分三步，先插一个新节目，有 7 种方法，再插第二个新节目，有 8 种方法，最后插第三个节目，有 9 种方法故共有 789504 种不同的插法9如图，用 6 种不同的颜色把图中 A， B， C， D 四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )3A400 种 B460 种 C480 种 D496 种答案 C解析 从 A 开始，有 6 种方法， B 有 5 种， C 有 4 种， D， A 同色 1 种， D， A 不同色 3种，不同涂法有 654(13)480(种)故
7、选 C10某彩票公司每天开奖一次，从 1，2，3，4 四个号码中随机开出一个作为中奖号码，开奖时如果开出的号码与前一天的相同，就要重开，直到开出与前一天不同的号码为止如果第一天开出的号码是 4，那么第五天开出的号码也同样是 4 的所有可能的情况有( )A14 种 B21 种 C24 种 D35 种答案 B解析 第一天开出 4，第五天同样开出 4，则第二天开出的号码有 3 种情况，如果第三天开出的号码是 4，则第四天开出的号码有 3 种情况；如果第三天开出的号码不是 4，则第四天开出的号码有 2 种情况，所以满足条件的情况有 31332221(种)故选B11从数字 1，2，3，4，5，6 中取两
8、个数相加，所得的和共有_个不同的偶数答案 4解析 由两个数相加是偶数知两个数都是偶数或两个数都是奇数，分两类：第一类，两个数都是偶数，246，268，4610，共得 3 个偶数；第二类，两个数都是奇数，134，156，358，共得 3 个偶数2635，2415，从数字 1，2，3，4，5，6 中取两个相加，所得的和中共有 4 个不同的偶数12从 6 个人中选 4 个人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市至少有一人游览，每人只游览一个城市，且这 6 个人中，甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有_种答案 240解析 根据题意，由排列公式可得，首先从 6 人中选 4 人分
9、别到四个城市游览，有A 360(种)不同的情况，其中包含甲到巴黎游览的有 A 60(种)，乙到巴黎游览的有46 35A 60(种)，故这 6 人中甲、乙两人不去巴黎游览，不同的选择方案共有353606060240(种)二、高考小题13(2017全国卷)安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作4由 1 人完成，则不同的安排方式共有( )A12 种 B18 种 C24 种 D36 种答案 D解析 由题意可得其中 1 人必须完成 2 项工作，其他 2 人各完成 1 项工作，可得安排方式为 C C A 36(种)，故选 D13 24 214(2015四川高考)用数字 0，1，
10、2，3，4，5 组成没有重复数字的五位数，其中比40000 大的偶数共有( )A144 个 B120 个 C96 个 D72 个答案 B解析 当首位数字为 4，个位数字为 0 或 2 时，满足条件的五位数有 C A 个；1234当首位数字为 5，个位数字为 0 或 2 或 4 时，满足条件的五位数有 C A 个1334故满足条件的五位数共有 C A C A (23)A 5432120(个)故选 B1234 1334 3415(2016全国卷)如图，小明从街道的 E 处出发，先到 F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为( )A24
11、 B18 C12 D9答案 B解析 分两步，第一步，从 E F，有 6 条可以选择的最短路径；第二步，从 F G，有 3 条可以选择的最短路径由分步乘法计数原理可知有 6318(条)可以选择的最短路径故选 B16(2015广东高考)某高三毕业班有 40 人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了_条毕业留言(用数字作答)答案 1560解析 同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，且全班共有 40 人，全班共写了 40391560(条)毕业留言三、模拟小题17(2018宁夏育才中学模拟)有 4 件不同颜色的衬衣，3 件不同花样的裙子，另有2 套不同样式的连衣裙，需选择一套服装参加
12、“五一”节歌舞演出，则不同的选择方式的种数为( )5A24 B14 C10 D9答案 B解析 根据题目信息可得需要分两类：一类是衬衣裙子：分两步，衬衣有 4 种选择，裙子有 3 种选择，共有 4312(种)；第二类是连衣裙，2 种选择故共有 12214(种)故选 B18(2018广东中山一中第五次统测)从 10 名大学毕业生中选 3 个人担任村长助理，则甲、乙至少有 1 人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为( )A85 B49 C56 D28答案 B解析 丙没有入选，只要把丙去掉，把总的元素个数变为 9 个，甲、乙至少有1 人入选，由条件可分为两类：一类是甲、乙两人只选一个的选法有：C C
13、42，另12 27一类是甲、乙都选的选法有：C C 7，根据分类计数原理知共有 42749(种)，故选2 17B19(2019天津市部分区县模拟)全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息5 个学科，3 名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则不同的报名种数是( )AC BA C5 3 D3 535 35答案 C解析 全国高中联赛设有数学、物理、化学、生物、信息 5 个学科，3 名同学欲报名参赛，每人必选且只能选择一个学科参加竞赛，则每位同学都可以从 5 科中任选一科，由乘法原理，可得不同的报名种数是 5555 3故选 C20(2018江西吉安安福二中模拟)某校科技大楼电子阅
14、览室在第 8 层，每层均有 2个楼梯，则由一楼上到电子阅览室的不同走法共有( )A2 9种 B2 8种 C2 7种 D8 2种答案 C解析 因为从一楼到二楼有 2 种走法，从二楼到三楼有 2 种走法，从一楼到八楼分 7 步进行，每步都有 2 种不同的走法，所以根据分步计数乘法原理可得由一楼上到电子阅览室的不同走法共有 27种，故选 C21(2018安徽合肥三调)用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字且大于 3000 的四位数，这样的四位数有( )A250 个 B249 个 C48 个 D24 个答案 C解析 先考虑四位数的首位，当排数字 4，3 时，其他三个数位上可从剩余的 4 个数任6
15、选 3 个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得，满足题设条件的四位数共有 A A 243248 个34 3422(2018河南南阳六校第二次联考)某城市中关系要好的 A， B， C， D 四个家庭每家庭 2 个小孩共 8 人，准备使用滴滴打车软件，分乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车坐 4 人(乘同一辆车的 4 名小孩不考虑位置)，其中 A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的 4 名小孩恰有 2 名来自于同一个家庭的乘坐方式共有( )A18 种 B24 种 C36 种 D48 种答案 B解析 当 A 户家庭的孪生姐妹乘坐甲车或乙车时，则另两个小孩是另外两个家庭的一个小
16、孩，有 2C 2224 种方法，故选 B2323(2018玉林联考)若自然数 n 使得作竖式加法 n( n1)( n2)均不产生进位现象，则称 n 为“开心数” 例如：32 是“开心数” ，因 323334 不产生进位现象；23不是“开心数” ，因 232425 产生进位现象，那么，小于 100 的“开心数”的个数为( )A9 B10 C11 D12答案 D解析 根据题意，个位数需要满足要求： n( n1)( n2)10，即 n23，个位数可取 0，1，2 三个数，十位数需要满足：3 n10， n33，十位可以取0，1，2，3 四个数，故四个数的“开心数”共有 3412 个故选 D24(201
17、8河北鸡泽一中模拟)从 5 种主料中选 2 种，8 种辅料中选 3 种来烹饪一道菜，烹饪方式有 5 种，那么最多可以烹饪出不同的菜的种数为( )A18 B200 C2800 D33600答案 C解析 从 5 种主料中选 2 种，有 C 10 种方法，从 8 种辅料中选 3 种，有 C 56 种25 38方法，根据分布计数原理得烹饪出不同的菜的种数为 105652800，选 C25(2018安徽安庆一中、山西省太原五中等五省六校联考)本周日有 5 所不同的高校来我校作招生宣传，学校要求每位同学可以从中任选 1 所或 2 所去咨询了解，甲、乙、丙三位同学的选择没有一所是相同的，则不同的选法共有(
18、)A330 种 B420 种 C510 种 D600 种答案 A解析 种类有(1)甲 1，乙 1，丙 1方法数有 A 60；(2)甲 2，乙 1，丙 1；或甲351，乙 2，丙 1；或甲 1，乙 1，丙 2方法数有 3C C C 180；(3)甲 2，乙 2，丙 1；251312或甲 1，乙 2，丙 2；或甲 2，乙 1，丙 2方法数有 3C C 90故总的方法数有25236018090330 种726(2018安徽合肥三模)如图，给 7 条线段的 5 个端点涂色，要求同一条线段的两个端点不能同色，现有 4 种不同的颜色可供选择，则不同的涂色方法种数有( )A24 B48 C96 D120答案
19、 C解析 若 A， D 颜色相同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A， D 有 3 种涂法，再涂 B 有 2 种涂法， C 只有一种涂法，共有 43224 种；若颜色 A， D 不同，先涂 E 有 4 种涂法，再涂 A 有 3 种涂法，再涂 D 有 2 种涂法，当 B 和 D 相同时， C 有 2 种涂法，当 B 和 D 不同时，B， C 只有 1 种涂法，共有 432(21)72 种，根据分类计数原理可得，共有247296 种，故选 C27(2018黑龙江大庆十中月考)数学与自然、生活相伴相随，无论是蜂的繁殖规律，树的分枝，还是钢琴音阶的排列，当中都蕴含了一个美丽的数学模型 Fibonacc
20、i(斐波那契数列)：1，1，2，3，5，8，13，21，这个数列前两项都是 1，从第三项起，每一项都等于前面两项之和，请你结合斐波那契数列，尝试解答下面的问题：小明走楼梯，该楼梯一共 8 级台阶，小明每步可以上一级或二级，请问小明的不同走法种数是( )A20 B34 C42 D55答案 B解析 登上第 1 级：1 种；登上第 2 级：2 种；登上第 3 级：123 种(前一步要么从第 1 级迈上来，要么从第 2 级迈上来)；登上第 4 级：235 种(前一步要么从第 2 级迈上来，要么从第 3 级迈上来)；登上第 5 级：358 种；登上第 6 级：5813 种；登上第 7 级：81321 种
21、；登上第 8 级：132134 种，故选 B28(2018吉林长春外国语二模)在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理 6 门学科(3 门理科学科，3 门文科学科)中选择 3 门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选科方案有_种答案 10解析 选择两门理科学科，一门文科学科，有 C C 9 种；选择三门理科学科，有 12313种，故共有 10 种829(2018浙江杭州二中仿真模拟)工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺栓若按一定顺序将每个螺栓固定紧，但不能连续固定相邻的 2 个螺栓则不同的固
22、定螺栓方式的种数是_答案 60解析 根据题意，第一个可以从 6 个钉里任意选一个，共有 6 种选择方法，并且是机会相等的，若第一个选 1 号钉的时候，第二个可以选 3，4，5 号钉，依次选下去，可以得到共有 10 种方法，所以总共有 10660 种方法，故答案是 6030(2018西藏拉萨 10 校联考)用 5 种不同颜色给图中的 A， B， C， D 四个区域涂色，规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，共有_种不同的涂色方案答案 180解析 由题意，由于规定一个区域只涂一种颜色，相邻的区域颜色不同，可分步进行，区域 A 有 5 种涂法， B 有 4 种涂法， C 有 3 种涂法， D 有 3 种涂法共有5433180 种不同的涂色方案本考点在近三年高考中未涉及此题型9
