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    2020高考数学刷题首选卷第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试38直接证明与间接证明理(含解析).docx

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    2020高考数学刷题首选卷第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数考点测试38直接证明与间接证明理(含解析).docx

    1、1考点测试 38 直接证明与间接证明高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 解 答 题 , 分 值 12分 , 中 、 高 等 难 度考纲研读1了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程和特点2了解反证法的思考过程和特点一、基础小题1命题“对于任意角 ,cos 4 sin 4 cos2 ”的证明:“cos4 sin 4 (cos 2 sin 2 )(cos2 sin 2 )cos 2 sin 2 cos2 ”过程应用了( )A分析法 B综合法C综合法、分析法综合使用 D间接证明法答案 B解析 因为证明过程是“从左往右” ,即由条件结论2用反证法证明结

    2、论“三角形内角至少有一个不大于 60”,应假设( )A三个内角至多有一个大于 60B三个内角都不大于 60C三个内角都大于 60D三个内角至多有两个大于 60答案 C解析 “三角形内角至少有一个不大于 60”即“三个内角至少有一个小于等于 60”,其否定为“三角形内角都大于 60”故选 C3若 a, b, c 是不全相等的实数,求证: a2 b2 c2ab bc ca证明过程如下: a, b, cR, a2 b22 ab,b2 c22 bc, c2 a22 ac又 a, b, c 不全相等,以上三式至少有一个“”不成立将以上三式相加得 2(a2 b2 c2)2(ab bc ac) a2 b2

    3、c2ab bc ca2此证法是( )A分析法 B综合法C分析法与综合法并用 D反证法答案 B解析 由已知条件入手证明结论成立,满足综合法的定义4分析法又称执果索因法,若用分析法证明:“设 abc,且 a b c0,求证0 B a c0C( a b)(a c)0 D( a b)(a c)0(a c)(2a c)0(a c)(a b)05若 P , Q , a0,则 P, Q 的大小关系是( )a a 7 a 3 a 4A PQ B P QC Pb, ab0, m , n ,则 m, n 的大小关系是a b a b_答案 nm解析 解法一(取特殊值法):取 a2, b1,则 m a0,显然成立a

    4、b一、高考大题1(2018北京高考)设 n 为正整数,集合 A | ( t1, t2, tn), tk0,1,k1,2, n对于集合 A 中的任意元素 ( x1, x2, xn)和 ( y1, y2, yn),记 M( , ) (x1 y1| x1 y1|)( x2 y2| x2 y2|)( xn yn| xn yn|)12(1)当 n3 时,若 (1,1,0), (0,1,1),求 M( , )和 M( , )的值;(2)当 n4 时,设 B 是 A 的子集,且满足:对于 B 中的任意元素 , ,当 , 相同时, M( , )是奇数;当 , 不同时, M( , )是偶数求集合 B 中元素个数

    5、的最大值;(3)给定不小于 2 的 n,设 B 是 A 的子集,且满足:对于 B 中的任意两个不同的元素 , , M( , )0写出一个集合 B,使其元素个数最多,并说明理由解 (1)因为 (1,1,0), (0,1,1),所以 M( , ) (11|11|)(11|11|)(00|00|)2,12M( , ) (10|10|)(11|11|)(01|01|)112(2)设 ( x1, x2, x3, x4) B,则 M( , ) x1 x2 x3 x4由题意知 x1, x2, x3, x40,1,且 M( , )为奇数,6所以 x1, x2, x3, x4中 1 的个数为 1 或 3所以 B

    6、(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)将上述集合中的元素分成如下四组:(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1)经验证,对于每组中两个元素 , 均有 M( , )1所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以集合 B 中元素的个数不超过 4又集合(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)满足条件,所以集合 B 中元素个

    7、数的最大值为 4(3)设 Sk( x1, x2, xn)|(x1, x2, xn) A,xk1, x1 x2 xk1 0( k1,2, n),Sn1 ( x1, x2, xn)|x1 x2 xn0,所以 A S1 S2 Sn1 对于 Sk(k1,2, n1)中的不同元素 , ,经验证, M( , )1所以 Sk(k1,2, n1)中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素所以 B 中元素的个数不超过 n1取 ek( x1, x2, xn) Sk且 xk1 xn0( k1,2, n1)令 B e1, e2, en1 Sn Sn1 ,则集合 B 的元素个数为 n1,且满足条件故 B 是一个满足条件且

    8、元素个数最多的集合2(2018江苏高考)记 f( x), g( x)分别为函数 f(x), g(x)的导函数,若存在x0R,满足 f(x0) g(x0)且 f( x0) g( x0),则称 x0为函数 f(x)与 g(x)的一个“ S 点”(1)证明:函数 f(x) x 与 g(x) x22 x2 不存在“ S 点” ;(2)若函数 f(x) ax21 与 g(x)ln x 存在“ S 点” ,求实数 a 的值;(3)已知函数 f(x) x2 a, g(x) ,对任意 a0,判断是否存在 b0,使函数bexxf(x)与 g(x)在区间(0,)内存在“ S 点” ,并说明理由解 (1)证明:函数

    9、 f(x) x, g(x) x22 x2,则 f( x)1, g( x)2 x2,由 f(x) g(x)且 f( x) g( x),得Error! 此方程组无解因此, f(x) x 与 g(x) x22 x2 不存在“ S 点” 7(2)函数 f(x) ax21, g(x)ln x,则 f( x)2 ax, g( x) ,1x设 x0为 f(x)与 g(x)的“ S 点” ,由 f(x0) g(x0)且 f( x0) g( x0),得Error!即Error! (*)得 ln x0 ,即 x0e ,则 a 12 12 12e 122 e2当 a 时, x0e 满足方程组(*),e2 12即 x

    10、0为 f(x)与 g(x)的“ S 点” ,因此, a 的值为 e2(3)f( x)2 x, g( x) , x0,bexx 1x2f( x0) g( x0)bex0 0x0(0,1),2x30x0 1f(x0) g(x0) x a 20bex0x0 2x20x0 1a x ,202x20x0 1令 h(x) x2 a ,2x2x 1 x3 3x2 ax a1 xx(0,1), a0,设 m(x) x33 x2 ax a, x(0,1), a0,则 m(0) a0 m(0)m(1)0,存在b0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,)内存在“ S 点” 二、模拟大题3(2018贵州安顺调研)

    11、已知函数 f(x)3 x2 x,求证:对于任意的 x1, x2R,均有 f fx1 fx22 x1 x22证明 要证明 f ,fx1 fx22 (x1 x22 )即证明 3 2 ,3x1 2x1 3x2 2x22 x1 x22 x1 x22因此只要证明 ( x1 x2)3 ( x1 x2),3x1 3x22 x1 x228即证明 3 ,3x1 3x22 x1 x22因此只要证明 ,3x1 3x22 3x13x2由于 x1, x2R 时,3 x10,3 x20,由基本不等式知 (当且仅当 x1 x2时等号成立)显然成立,3x1 3x22 3x13x2故原结论成立4(2018山东临沂三校联考)已知

    12、数列 an的前 n 项和为 Sn,且满足 an Sn2(1)求数列 an的通项公式;(2)求证:数列 an中不存在三项按原来顺序成等差数列解 (1)当 n1 时, a1 S12 a12,则 a11又 an Sn2,所以 an1 Sn1 2,两式相减得 an1 an,所以 an是首项为 1,公比为 的等比数列,所以 an 12 12 12n 1(2)证明(反证法):假设存在三项按原来顺序成等差数列,记为ap1 , aq1 , ar1 (pqr,且 p, q, rN *),则 2 ,12q 12p 12r所以 22r q2 r p1又因为 pqr,且 p, q, rN *,所以 r q, r pN *所以式左边是偶数,右边是奇数,等式不成立所以假设不成立,原命题得证9


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