1、1考点测试 36 基本不等式高考概览高 考 在 本 考 点 的 常 考 题 型 为 选 择 题 、 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1了解基本不等式的证明过程2会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题一、基础小题1 “a0 且 b0”是“ ”成立的( )a b2 abA充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 A解析 a0 且 b0 ，但 a0 且 b0，只能推出 a0 且 b0a b2 ab a b2 ab /2已知 02)在 x a 处取最小值，则 a 等于( )1x 2A1 B1 C3 D42 3答案 C解析 x2， x20， f(x
2、) x ( x2)1x 2 22 2224，当且仅当 x 2 ，即( x2) 21 时等号成1x 2 x 21x 2 1x 2立，解得 x1 或 3又 x2， x3，即 a 等于 3 时，函数 f(x)在 x3 处取得最小值，故选 C4函数 f(x) x (x0， y ，当且x4 2x 2 x2 x 2x 2 x2 2仅当 x2 x，即 x1 时取等号6函数 y (x1)的图象的最低点的坐标是( )x2 2x 2x 1A(1，2) B(1，2) C(1，1) D(0，2)答案 D解析 y ( x1) 2，当 x0 时取最小值x 12 1x 1 1x 17设 00，即 a，D 错a b2 ab
3、a b a ab误故选 B8已知 a0， b0， a， b 的等比中项是 1，且 m b ， n a ，则 m n 的最小值是1a 1b( )A3 B4 C5 D6答案 B解析 由题意知 ab1， m b 2 b， n a 2 a， m n2( a b)1a 1b4 4，当且仅当 a b 1 时取等号ab9若 2x2 y1，则 x y 的取值范围是( )3A0，2 B2，0C2，) D(，2答案 D解析 12 x2 y2 2 当且仅当 2x2 y ，即 x y1 时等号成2x2y 2x y12立， ，2 x y ，得 x y22x y12 1410下列函数中，最小值为 4 的是( )A yx2
4、 9x2 5B ysin x (0 x)4sinxC ye x4e xD ylog 3x4log x3答案 C解析 对于 A，因为 ，所以 y 的最小值不是 4，所以不满x2 5 5 x2 54x2 5足题意；对于 B，令 sinx t(0，1，则 y t ， y1 0，因此函数 y t 在4t 4t2 4t(0，1上单调递减，所以 y5，所以不满足题意；对于 C， y2 4，当且仅当ex4e xex4e x，即 xln 2 时取等号，故满足题意；对于 D，当 x(0，1)时，log3x，log x31 时，关于 x 的不等式 f(x) a 在 R 上恒成立等价于 x a xx2 2x x2在
5、 R 上恒成立，即有 x a 在 R 上恒成立，由于 x1，所以 x 22x 32 2x x2 2x 32 2x 2 ，当且仅当 x 时取得最大值2 ；因为 x1，所以3x22x 3 23 3x 2 2，当且仅当 x2 时取得最小值 2，则2 a212 2x 12x2x 3由可得 a2故选 A471614(2018天津高考)已知 a， bR，且 a3 b60，则 2a 的最小值为18b_答案 14解析 由已知，得 2a 2 a2 3 b2 2 2 ，当且仅18b 2a2 3b 2a 3b 2 6 14当 2a2 3 b时等号成立，由 a3 b， a3 b60，得 a3， b1，故当5a3， b
6、1 时，2 a 取得最小值 18b 1415(2015重庆高考)设 a， b0， a b5，则 的最大值为_a 1 b 3答案 3 2解析 令 t ，a 1 b 3则 t2( )2a 1 b 3 a1 b32 a 1 b 39 a1 b318，当且仅当 a1 b3 时，即 a ， b 时，等号成立，72 32所以 t 的最大值为 3 216(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是_答案 30解析 设总费用为 y 万元，则 y 64 x4 x 240，当且仅当
7、 x ，即600x 900x 900xx30 时，等号成立17(2017天津高考)若 a， bR， ab0，则 的最小值为_a4 4b4 1ab答案 4解析 a44 b42 a22b24 a2b2(当且仅当 a22 b2时“”成立)， 4 ab ，由于 ab0，4 ab 2 4 当且仅当a4 4b4 1ab 4a2b2 1ab 1ab 1ab 4ab1ab4ab 时“”成立，故当且仅当Error!时， 的最小值为 41ab a4 4b4 1ab三、模拟小题18(2018廊坊一模)已知 m0， n0，2 m n1，则 的最小值为( )14m 2nA4 B2 C D16292答案 C解析 m0，
8、n0，2 m n1，则 (2 m n) 2 ，当且仅当 n ， m 时取等14m 2n 14m 2n 52 n4m 4mn 52 n4m4mn 92 23 16号故选 C619(2018山东日照模拟)若实数 x， y 满足 xy0，则 的最大值为( )xx y 2yx 2yA2 B22 2C42 D422 2答案 D解析 1 1 1xx y 2yx 2y xx y x 2y xx 2y xx y xx 2y xyx yx 2y1 ，因为 xy0，所以 0， 0由基本不等式可知xyx2 3xy 2y2 13 xy 2yx xy yx 2 ，当且仅当 x y 时等号成立，所以 1 1 42 xy
9、2yx 2 2 13 xy 2yx 13 22 220(2018四川资阳诊断)已知 a0， b0，且 2a b ab，则 a2 b 的最小值为( )A52 B82 2C5 D9答案 D解析 a0， b0，且 2a b ab， a 0，解得 b2，即 b20，则 a2 bbb 22 b1 2( b2)452 9，当且仅当 b3， a3 时等号bb 2 2b 2 2b 22b 2成立，其最小值为 921(2018江西九校联考)若正实数 x， y 满足(2 xy1) 2(5 y2)( y2)，则 x的最大值为( )12yA1 B1322C1 D332 322答案 A解析 由(2 xy1) 2(5 y
10、2)( y2)，可得(2 xy1) 29 y2(2 y2) 2，即(2 xy1)2(2 y2) 29 y2，得 2x 22 29，又 2x 22 2 ，1y 2y 1y 2y 2x 1y 2 2y22 2x 1y 222当且仅当 2x 2 时等号成立，所以 2x 2 218，得 2x 3 2，所以1y 2y 1y 1y 2x ，所以 x 的最大值为1 故选 A12y 32 22 12y 322722(2018南昌摸底)已知函数 y x (x2)的最小值为 6，则正数 m 的值为mx 2_答案 4解析 由 x2，知 x20，又 m0，则 y( x2) 22 22 2，取等号的条件为 x2 从而依
11、题意可知 2mx 2 x 2 mx 2 m mx 2 2 6，解得 m4m23(2018邯郸模拟)设 x0， y0，且 x 2 ，则当 x 取最小值时，1y 16yx 1yx2 _1y2答案 12解析 x0， y0，当 x 取最小值时， x 2取得最小值，1y 1y x 2 x2 ，又 x 2 ， x2 ， x 2 21y 1y2 2xy 1y 16yx 1y2 2xy 16yx 1y 4xy 16yx16， x 4，当且仅当 ，即 x2 y 时取等号，当 x 取最小值时，4xy16yx 1y 4xy 16yx 1yx2 y， x2 16， x2 16， x2 164121y2 2xy 1y2
12、 22yy 1y2一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018河北唐山模拟)已知 x， y(0，)， x2 y2 x y(1)求 的最小值；1x 1y(2)是否存在 x， y 满足( x1)( y1)5？并说明理由解 (1)因为 2，当且仅当 x y1 时，等号成立，所以1x 1y x yxy x2 y2xy 2xyxy 的最小值为 21x 1y(2)不存在理由如下：因为 x2 y22 xy，所以( x y)22( x2 y2)2( x y)又 x， y(0，)，所以8x y2从而有( x1)( y1) 24，因此不存在 x， y 满足( x1)( y1)x 1 y 1
13、252(2018河南驻马店检测)某地需要修建一条大型输油管道通过 240 km 宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程是在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)经预算，修建一个增压站的费用为 400 万元，铺设距离为 x km 的相邻两增压站之间的输油管道的费用为 x2 x 万元设余下工程的总费用为 y 万元(1)试将 y 表示成 x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使 y 最小，其最小值为多少？解 (1)设需要修建 k 个增压站，则( k1) x240，即 k 1240x所以 y400 k( k1)( x2 x)400 (240x 1) 2
14、40x(x2 x) 240 x16096000x因为 x 表示相邻两增压站之间的距离，则 00，即 30n n2810， n230 n810，解得 3n27(nN *)，从第 4 年开始获取纯利润(2)方案：年平均利润 t30n 81 n2n30 n30 30281n (81n n) 81nn12(当且仅当 n，即 n9 时取等号)，81n年平均利润最大时，以 46 万元出售该工作室共获利润 12946154(万元)方案：纯利润总和 y30 n n281( n15) 2144( nN *)，当 n15 时，纯利润总和最大，为 144 万元，纯利润总和最大时，以 10 万元出售该工作室共获利润
15、14410154(万元)，两种方案盈利相同，但方案时间比较短，所以选择方案4(2018南京质检)为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒 1 个单位的净化剂，空气中释放的浓度 y(单位：毫克/立方米)随着时间 x(单位：天)变化的函数关系式近似为 yError!若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于 4(毫克/立方米)时，它才能起到净化空气的作用(1)若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则净化时间可达几天？(2)若第一次喷洒 2 个单位的净化剂，6 天后再喷洒 a(1 a4)个单位的药剂，要使接下来
16、的 4 天中能够持续有效净化，试求 a 的最小值(精确到 01，参考数据： 取 14)2解 (1)因为一次喷洒 4 个单位的净化剂，所以浓度f(x)4 yError!则当 0 x4 时，由 44，解得 x0，所以此时 0 x4648 x当 4x10 时，由 202 x4，解得 x8，所以此时 4x8综合得 0 x8，若一次喷洒 4 个单位的净化剂，则有效净化时间可达 8 天10(2)设从第一次喷洒起，经 x(6 x10)天，浓度 g(x)2 a 10 x a(14 x) a42(512x) 168 x 6 1 16a14 x 16a14 x a414 x16a14 x8 a4a因为 14 x4，8，而 1 a4，所以 4 4，8，故当且仅当 14 x4 时， y 有最小值为 8 a4a a a令 8 a44，解得 2416 a4，所以 a 的最小值为 2416 16a 2 211
