1、1考点测试 14 变化率与导数、导数的计算一、基础小题1下列求导运算正确的是( )A. 1 B(log 2x)(x1x) 1x2 1xln 2C(3 x)3 xlog3e D( x2cosx)2 xsinx答案 B解析 1 ；(3 x)3 xln 3；( x2cosx)( x2)cos x x2(cosx)(x1x) 1x22 xcosx x2sinx，所以 A，C，D 错误故选 B.2已知函数 f(x) xsinxcos x，则 f 的值为( )(2)A. B0 C1 D12答案 B解析 f( x)sin x xcosxsin x xcosx， f cos 0，故选 B.(2) 2 23设
2、f(x) xln x， f( x0)2，则 x0( )2Ae 2 Be C. Dln 2ln 22答案 B解析 f( x)1ln x， f( x0)1ln x02， x0e.故选 B.4已知一个物体的运动方程为 s1 t t2，其中 s的单位是 m， t的单位是 s，那么物体在 4 s末的瞬时速度是( )A7 m/s B6 m/s C5 m/s D8 m/s答案 A解析 7 t，当 t无限趋近于 0时， 无限趋近于 7.故选 s t 7 t t2 t s tA.5已知函数 f(x)在 R上可导，且 f(x) x22 xf(2)，则函数 f(x)的解析式为( )A f(x) x28 x B f(
3、x) x28 xC f(x) x22 x D f(x) x22 x答案 B解析 由题意得 f( x)2 x2 f(2)，则 f(2)42 f(2)，所以 f(2)4，所以 f(x) x28 x.6已知函数 y f(x)的图象如图，则 f( xA)与 f( xB)的大小关系是( )A f( xA) f( xB) B f( xA) f( xB)C f( xA) f( xB) D不能确定答案 B解析 f( xA)和 f( xB)分别表示函数图象在点 A， B处的切线的斜率，故 f( xA) f( xB)7设 f(x)是可导函数，且满足 1，则 y f(x)在点lim x 0f2 x 1 f12 x(
4、1， f(1)处的切线的斜率为( )A1 B1 C2 D2答案 A3解析 1，即 f(1)1，由导数的几何意义知，lim x 0f2 x 1 f12 xy f(x)在点(1， f(1)处的切线的斜率为1.8已知过点 P(2，2)的直线 l与曲线 y x3 x相切，则直线 l的方程为13_答案 y8 x18 或 y x解析 设切点为( m， n)，因为 y x21，所以Error!解得 Error!或Error!所以切线的斜率为 8或1，所以切线方程为 y8 x18 或y x.二、高考小题9(2018全国卷)设函数 f(x) x3( a1) x2 ax，若 f(x)为奇函数，则曲线y f(x)在
5、点(0，0)处的切线方程为( )A y2 x B y x C y2 x D y x答案 D解析 因为函数 f(x)是奇函数，所以 a10，解得 a1，所以 f(x) x3 x， f( x)3 x21，所以 f(0)1， f(0)0，所以曲线 y f(x)在点(0，0)处的切线方程为y f(0) f(0) x，化简可得 y x，故选 D.10(2018全国卷)曲线 y2ln x在点(1，0)处的切线方程为_答案 y2 x2解析 由 y f(x)2ln x，得 f( x) ，则曲线 y2ln x在点(1，0)处的切线的斜2x率为 k f(1)2，则所求切线方程为 y02( x1)，即 y2 x2.
6、11(2018全国卷)曲线 y( ax1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为2，则a_.答案 3解析 由 y aex( ax1)e x，则 f(0) a12.所以 a3.12(2017天津高考)已知 aR，设函数 f(x) axln x的图象在点(1， f(1)处的切线为 l，则 l在 y轴上的截距为_答案 1解析 由题意可知 f( x) a ，所以 f(1) a1，因为 f(1) a，所以切点坐标1x为(1， a)，所以切线 l的方程为 y a( a1)( x1)，即 y( a1) x1.令 x0，得y1，即直线 l在 y轴上的截距为 1.13(2016全国卷)已知 f(x)为偶函数，当
7、x0，则 x0)，则 f( x) 3( x0)， f(1)2，在点(1，3)处的切线方程为1xy32( x1)，即 y2 x1.三、模拟小题14(2018江西重点中学盟校第一次联考)函数 y x3的图象在原点处的切线方程为( )A y x B x0C y0 D不存在答案 C解析 函数 y x3的导数为 y3 x2，则在原点处的切线斜率为 0，所以在原点处的切线方程为 y00( x0)，即 y0，故选 C.15(2018福建福州八县联考)已知函数 f(x)的导函数是 f( x)，且满足 f(x)2 xf(1)ln ，则 f(1)( )1xAe B2 C2 De答案 B解析 由已知得 f( x)2
8、 f(1) ，令 x11x得 f(1)2 f(1)1，解得 f(1)1，则 f(1)2 f(1)2.16(2018广东深圳二模)设函数 f(x) x b，若曲线 y f(x)在点( a， f(a)处1x的切线经过坐标原点，则 ab( )A1 B0 C1 D2答案 D解析 由题意可得， f(a) a b， f( x)1 ，所以 f( a)1 ，故切线1a 1x2 1a2方程是 y a b1 (x a)，将(0，0)代入得 a b1 ( a)，故 b ，1a 1a2 1a 1a2 2a故 ab2，故选 D.17(2018湖南株洲高三教学质量统一检测二)设函数 f(x) xsinxcos x的图象在
9、点( t， f(t)处切线的斜率为 g(t)，则函数 y g(t)的图象一部分可以是( )5答案 A解析 由 f(x) xsinxcos x可得 f( x)sin x xcosxsin x xcosx，即 y g(t) tcost，是奇函数，排除 B，D；当 t0， 时， y g(t)0，排除 C.故选 A.218(2018湖南郴州第二次教学质量检测)已知函数 f(x)2ln x xe 2， g(x)1e mx1，若 f(x)与 g(x)的图象上存在关于直线 y1 对称的点，则实数 m的取值范围是_答案 2e ，3e32解析 直线 g(x) mx1 关于直线 y1 对称的直线为 y mx1，因
10、为 f(x)与 g(x)的图象上存在关于直线 y1 对称的点，所以直线 y mx1 与 f(x)2ln x的图象在 ，1ee2上有交点，直线 y mx1 过定点(0，1)，当直线 y mx1 经过点 ，2 时，1e2 1，解得 m3e，当直线 y mx1 与 y2ln x xe 2相切时，设切点为me 1e(x， y)，则Error!解得Error! m3e 时，直线 y mx1 与 y2ln x的图象在 ，2e32 1ee2上有交点，即 f(x)与 g(x)的图象上存在关于直线 y1 对称的点，故实数 m的取值范围是2e ，3e32一、高考大题1(2018全国卷)已知函数 f(x) .ax2
11、 x 1ex(1)求曲线 y f(x)在点(0，1)处的切线方程；(2)证明：当 a1 时， f(x)e0.解 (1) f( x) ， f(0)2. ax2 2a 1x 2ex因此曲线 y f(x)在点(0，1)处的切线方程是 y12 x，即 2x y10.(2)证明：当 a1 时， f(x)e( x2 x1e x1 )e x.令 g(x) x2 x1e x1 ，则 g( x)2 x1e x1 .当 x1 时， g( x)0， g(x)单调递增；6所以 g(x) g(1)0.因此 f(x)e0.2(2018北京高考)设函数 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x.(1)若曲线 y f(
12、x)在点(2， f(2)处的切线斜率为 0，求 a；(2)若 f(x)在 x1 处取得极小值，求 a的取值范围解 (1)因为 f(x) ax2(3 a1) x3 a2e x，所以 f( x) ax2( a1) x1e x.f(2)(2 a1)e 2.由题设知 f(2)0，即(2 a1)e 20，解得 a .12(2)由(1)得 f( x) ax2( a1) x1e x( ax1)( x1)e x.若 a1，则当 x ，1 时， f( x)0.所以 f(x)在 x1 处取得极小值若 a1，则当 x(0，1)时， ax1 x10.所以 1不是 f(x)的极小值点综上可知， a的取值范围是(1，)3
13、(2017北京高考)已知函数 f(x)e xcosx x.(1)求曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程；(2)求函数 f(x)在区间 0， 上的最大值和最小值2解 (1)因为 f(x)e xcosx x，所以 f( x)e x(cosxsin x)1， f(0)0.又因为 f(0)1，所以曲线 y f(x)在点(0， f(0)处的切线方程为 y1.(2)设 h(x)e x(cosxsin x)1，则 h( x)e x(cosxsin xsin xcos x)2e xsinx.当 x0， 时， h( x)0，2所以 h(x)在区间 0， 上单调递减2所以对任意 x0， 有 h(x)
14、 h(0)0，2即 f( x)0.所以函数 f(x)在区间 0， 上单调递减27因此 f(x)在区间 0， 上的最大值为 f(0)1，最小值为 f .2 2 2二、模拟大题4(2018福州质检)已知函数 f(x)( x1)ln x a(x1)(1)当 a4 时，求曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程；(2)若当 x(1，)时， f(x)0，求 a的取值范围解 (1) f(x)的定义域为(0，)当 a4 时， f(x)( x1)ln x4( x1)，f( x)ln x 3， f(1)2， f(1)0.1x所以曲线 y f(x)在(1， f(1)处的切线方程为 2x y20.(2)当
15、x(1，)时，f(x)0等价于 ln x 0.ax 1x 1令 g(x)ln x ，ax 1x 1则 g( x) ， g(1)0.1x 2ax 12 x2 21 ax 1xx 12当 a2， x(1，)时，x22(1 a)x1 x22 x10，故 g( x)0， g(x)在(1，)上单调递增，因此 g(x)g(1)0；当 a2时，令 g( x)0，得 x1 a1 ， x2 a1 ，a 12 1 a 12 1由 x21和 x1x21，得 x11，故当 x(1， x2)时， g( x)0， g(x)在(1， x2)上单调递减，此时 g(x)g(1)0，不符合题意，舍去综上， a的取值范围是(，25
16、(2018江西赣州摸底)已知函数 f(x)1 ， g(x) bx，若曲线ln xx aeex 1xy f(x)与曲线 y g(x)的一个公共点是 A(1，1)，且在点 A处的切线互相垂直(1)求 a， b的值；(2)证明：当 x1 时， f(x) g(x) .2x解 (1) f( x) ， g( x) ae1 x b.ln x 1x2 1x2由Error! 得Error!8所以 a b1.(2)证明：由(1)可知 g(x) x.eex 1xf(x) g(x) 1 e 1 x x2x ln xx 1x 2xxln x 1 x2.exex记 h(x) xln x，则 h( x) 0，x 1x所以
17、h(x)在1，)上单调递增，因此 h(x) h(1)1.记 (x) ，则 ( x)(1 x)e1 x0，exex所以 (x)在1，)上单调递减，因此 (x) (1)1.而当 x1 时，1 x20，所以 xe1 x1 x2 xln x.综上所述，当 x1 时， f(x) g(x) .2x6(2018安徽淮南一模)已知函数 f(x) x2ln x.(1)求函数 f(x)在点(1， f(1)处的切线方程；(2)在函数 f(x) x2ln x的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间 ，1 上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理12由解 (1)由题意可得 f(1)1，且 f( x)2 x ， f(1)211，则所求切线方程1x为 y11( x1)，即 y x.(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为( x1， y1)，( x2， y2)，则 x1， x2 ，1，12不妨设 x1x2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得 2x1 2x2 1，1x1 1x2又函数 f( x)2 x 在区间 ，1 上单调递增，函数的值域为1，1，1x 12故12 x1 2x2 1，1x1 1x2据此有Error!9解得 x1 ， x21 x11， x2 舍去，12 12故存在两点 ，ln 2 ，(1，1)满足题意12 14
