1、1考点测试 26 平面向量基本定理及坐标表示高考概览本 考 点 是 高 考 常 考 知 识 点 ， 常 考 题 型 为 选 择 题 和 填 空 题 ， 分 值 5分 ， 中 、 低 等 难 度考纲研读1了解平面向量基本定理及其意义2掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4理解用坐标表示的平面向量共线的条件一、基础小题1已知向量 a(2,1)， b(4， m)，若 a b，则 m( )12A2 B2 C D12 12答案 A解析 由向量的坐标运算可得 1 m，解得 m2故选 A122设向量 e1， e2为平面内所有向量的一组基底，且向量 a3 e14 e2
2、与 b6 e1 ke2不能作为一组基底，则实数 k 的值为( )A8 B8 C4 D4答案 B解析 由 a 与 b 不能作为一组基底，则 a 与 b 必共线，故 ，即 k8故选36 4kB3已知点 A(1,3)， B(4，1)，则与向量 同方向的单位向量为( )AB A， B，35 45 45 35C ， D ，35 45 45 35答案 A解析 因为 (3，4)，所以与其同方向的单位向量 e (3，4)AB AB |AB | 152 ， 故选 A35 454若向量 a(2,1)， b(1,2)， c0，则 c 可用向量 a， b 表示为( )52A a b B a b12 12C a b D
3、 a b32 12 32 12答案 A解析 设 c xa yb，则 0， (2 x y， x2 y)，所以Error!解得Error! 则52c a b故选 A125已知平行四边形 ABCD 中， (3,7)， (2,3)，对角线 AC 与 BD 交于点 O，AD AB 则 的坐标为( )CO A ，5 B，512 12C，5 D ，512 12答案 D解析 (2,3)(3,7)(1,10)AC AB AD ，5 ，5故选 DOC 12AC 12 CO 126设向量 a(1，3)， b(2,4)， c(1，2)，若表示向量4a,4b2 c,2(a c)， d 的有向线段首尾相连能构成四边形，则
4、向量 d( )A(2,6) B(2,6)C(2，6) D(2，6)答案 D解析 设 d( x， y)，由题意知 4a(4，12)，4 b2 c(6,20)，2( a c)(4，2)，又 4a4 b2 c2( a c) d0，所以(4，12)(6,20)(4，2)( x， y)(0,0)，解得 x2， y6，所以 d(2，6)故选 D7已知点 A(1，2)，若向量 与向量 a(2,3)同向，且| | ，则点 B 的坐标AB AB 13为( )A(2,3) B(2,3)C(3,1) D(3，1)3答案 C解析 设 ( x， y)，则 ka(k0)，即Error!由| | 得 k1，故AB AB A
5、B 13 (1，2)(2,3)(3,1)故选 COB OA AB 8已知向量 ( k,12)， (4,5)， (10， k)，当 A， B， C 三点共线时，实数 kOA OB OC 的值为( )A3 B11 C2 D2 或 11答案 D解析 因为 (4 k，7)， (6， k5)，且 ，所以AB OB OA BC OC OB AB BC (4 k)(k5)6(7)0，解得 k2 或 11故选 D9已知向量 ， 和 在正方形网格中的位置如图所示，若 ，则AC AD AB AC AB AD ( )A3 B3 C4 D4答案 A解析 建立如图所示的平面直角坐标系 xAy，则 (2，2)， (1,2
6、)， (1,0)，AC AB AD 由题意可知(2，2) (1,2) (1,0)，即Error!解得 Error!所以 3故选 A10设 D， E 分别是 ABC 的边 AB， BC 上的点， ， ，若 1 2AD 12AB BE 23BC DE AB ( 1， 2为实数)，则 1 2的值为_AC 答案 124解析 ( ) ， 1 ， 2DE DB BE 12AB 23BC 12AB 23AC AB 16AB 23AC 16， 1 2 23 1211如图，已知平面内有三个向量 ， ， ，其中 与 的夹角为 120， 与 的OA OB OC OA OB OA OC 夹角为 30，且| | |1，
7、| |2 若 ( ， R)，则 OA OB OC 3 OC OA OB 的值为_答案 6解析 以 O 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(1,0)， B ， C(3， )(12， 32) 3由 ，OC OA OB 得Error! 解得Error!所以 6二、高考小题12(2016全国卷)已知向量 a(1， m)， b(3，2)，且( a b) b，则 m( )A8 B6 C6 D8答案 D解析 由题可得 a b(4， m2)，又( a b) b，432( m2)0， m8故选 D13(2015湖南高考)已知点 A， B， C 在圆 x2 y21 上运动，且 AB BC若点 P 的坐标
8、为(2,0)，则| |的最大值为( )PA PB PC A6 B7 C8 D9答案 B解析 解法一：由圆周角定理及 AB BC，知 AC 为圆的直径，故 2 (4,0)PA PC PO (O 为坐标原点)5设 B(cos ，sin )， (cos 2，sin )，PB (cos 6，sin )，| | PA PB PC PA PB PC cos 62 sin2 7，当且仅当 cos 1 时取等号，此时 B(1,0)，故37 12cos 37 12| |的最大值为 7故选 BPA PB PC 解法二：同解法一得 2 (O 为坐标原点)，又PA PC PO ，| |3 |PB PO OB PA P
9、B PC PO OB 3| | |3217，当且仅当 与 同向时取等号，此时 B 点坐标为(1,0)，PO OB PO OB 故| |max7故选 BPA PB PC 14(2018全国卷)已知向量 a(1,2)， b(2，2)， c(1， )若 c(2 a b)，则 _答案 12解析 由题可得 2a b(4,2)， c(2 a b)， c(1， )，4 20，即 1215(2015全国卷)设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则实数 _答案 12解析 由于 a， b 不平行，所以可以以 a， b 作为一组基底，于是 a b 与 a2 b 平行等价于 ，即 1 12 12
10、16(2015江苏高考)已知向量 a(2,1)， b(1，2)，若 ma nb(9，8)(m， nR)，则 m n 的值为_答案 3解析 由 a(2,1)， b(1，2)，可得 ma nb(2 m， m)( n，2 n)(2 m n， m2 n)，由已知可得Error!解得Error!故 m n317(2017江苏高考)如图，在同一个平面内，向量 ， ， 的模分别为 1,1， ，OA OB OC 2与 的夹角为 ，且 tan 7， 与 的夹角为 45若 m n (m， nR)，则OA OC OB OC OC OA OB m n_6答案 3解析 解法一：tan 7， 0，cos ，sin 210
11、 7210 与 的夹角为 ， OA OC 210OA OC |OA |OC | m n ，| | |1，| | ，OC OA OB OA OB OC 2 210 m nOA OB 2又 与 的夹角为 45，OB OC 22 OB OC |OB |OC | mOA OB n2又 cos AOBcos(45 )cos cos45sin sin45 210 22 7210 22，35 | | |cos AOB ，OA OB OA OB 35将其代入得 m n ， m n1，35 15 35两式相加得 m n ，所以 m n325 25 65解法二：过 C 作 CM OB， CN OA，分别交线段 O
12、A， OB 的延长线于点 M， N，则 m ， n ，由正弦定理得OM OA ON OB ，| | ，|OM |sin45|OC |sin135 |ON |sin OC 2由解法一，知 sin ，cos ，7210 210| | ，OM 2sin45sin135 1sin45 547| | ON 2sinsin135 27210sin45 74又 m n ，| | O |1，OC OA OB OM ON OA B m ， n ， m n354 74解法三：如图，设 O m ， D n ，则在 ODC 中有D OA C OB OD m， DC n， OC ， OCD45，2由 tan 7，得 c
13、os ，210又由余弦定理知Error!即Error!得 42 n m0，即 m105 n，代入得 12n249 n490，解得 n 或25 74n ，当 n 时， m105 0(不符合题意，舍去)，当 n 时，73 73 73 53 74m105 ，故 m n 374 54 54 748三、模拟小题18(2018长春质检二)已知平面向量 a(1，3)， b(2,0)，则 |a2 b|( )A3 B3 C2 D52 2答案 A解析 a2 b(1，3)2(2,0)(3，3)，所以|a2 b| 3 ，故选 A 32 32 219(2018吉林白城模拟)已知向量 a(2,3)， b(1,2)，若 m
14、a nb 与 a2 b 共线，则 ( )mnA B2 C D212 12答案 C解析 由向量 a(2,3)， b(1,2)，得 ma nb(2 m n，3 m2 n)，a2 b(4，1)由 ma nb 与 a2 b 共线，得 ，所以 ，故选 C2m n4 3m 2n 1 mn 1220(2018山东潍坊一模)若 M 是 ABC 内一点，且满足 4 ，则 ABM 与BA BC BM ACM 的面积之比为( )A B C D212 13 14答案 A解析 设 AC 的中点为 D，则 2 ，于是 2 4 ，从而 2 ，即 M 为 BDBA BC BD BD BM BD BM 的中点，于是 S ABM
15、S ACM S ABM2S AMD BM2MD 1221(2018河北衡水中学 2 月调研)一直线 l 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB， AD 分别交于点 E， F，且交其对角线 AC 于点 M，若2 ， 3 ， ( ， R)，则 ( )AB AE AD AF AM AB AC 52A B1 C D312 32答案 A解析 ( )( ) 2( ) 3 AM AB AC AB AB AD AB AD AE ，因为 E， M， F 三点共线，所以 2( )(3 )1，即 2 5 1，AF ，故选 A52 1222(2018湖南四大名校联考)在平行四边形 ABCD 中， AC 与 BD 相交
16、于点 O， E 是线9段 OD 的中点， AE 的延长线与 CD 交于点 F若 a， b，则 ( )AC BD AF A a b B a b14 12 12 14C a b D a b23 13 12 23答案 C解析 解法一：如题图，根据题意，得 (a b)，AB 12AC 12DB 12 (a b)AD 12AC 12BD 12 E 是线段 OD 的中点， DF AB， ， D A (a b)，DFAB DEEB 13 F 13B 16 A A D (a b) (a b) a b故选 CF D F 12 16 23 13解法二：如题图，根据题意，得 (a b)，AB 12AC 12DB 1
17、2 (a b)令 t ，则 t( ) t a b由 AD 12AC 12BD 12 AF AE AF AB BE AB 34BD t2 t4 AF AD ，令 s ，又 (a b)， a b，所以 a b，所以Error!解方DF DF DC AD 12 DF s2 s2 AF s 12 1 s2程组得Error! 把 s 代入即可得到 a b故选 CAF 23 1323(2018湖北黄石质检)已知点 G 是 ABC 的重心，过 G 作一条直线与 AB， AC 两边分别交于 M， N 两点，且 x ， y ，则 的值为( )AM AB AN AC xyx yA B C2 D312 13答案 B
18、解析 由已知得 M， G， N 三点共线， (1 ) x (1 )AG AM AN AB y 点 G 是 ABC 的重心， ( ) ( )，AC AG 23 12AB AC 13AB AC Error! 即Error!得 1，即 3，通分变形得， 3， 故13x 13y 1x 1y x yxy xyx y 13选 B1024(2018合肥质检三)已知向量 (2,0)， (0,2)， t ， tR，则当| |OA OB AC AB OC 最小时， t_答案 12解析 由 t 知 A， B， C 三点共线，即动点 C 在直线 AB 上从而当 OC AB 时，|AC AB |最小，易得| O | O
19、 |，此时| A | |A |，则 t OC A B C 12 B 1225(2018太原 3 月模拟)在正方形 ABCD 中，已知 M， N 分别是 BC， CD 的中点，若 ，则实数 _AC AM AN 答案 43解析 解法一：如图，因为 M， N 分别是 BC， CD 的中点，所以 ， ，所以 ( ) ，所以 AM 12AB 12AC AN 12AD 12AC AM AN 12AB AD AC 12AC AC 32AC AC 23 ，而 ，所以 ， ， AM 23AN AC AM AN 23 23 43解法二：如图，以 A 为原点，分别以 AB， AD 所在直线为 x， y 轴建立平面直
20、角坐标系设正方形 ABCD 边长为 1，则 A(0,0)， C(1，1)， M1， N ，1所以 (1,1)，12 12 AC AM1， ，1，所以 ， ，所以Error!所以12 AN 12 AM AN 12 12 AC Error! 43一、高考大题11本考点在近三年高考中未涉及此题型二、模拟大题1(2018皖南八校模拟)如图， AOB ，动点 A1， A2与 B1， B2分别在射线 OA， OB 3上，且线段 A1A2的长为 1，线段 B1B2的长为 2，点 M， N 分别是线段 A1B1， A2B2的中点(1)用向量 与 表示向量 ；A1A2 B1B2 MN (2)求向量 的模MN 解
21、 (1) ， ，两式相加，并注意到点 M， N 分MN MA1 A1A2 A2N MN MB1 B1B2 B2N 别是线段 A1B1， A2B2的中点，得 ( )MN 12A1A2 B1B2 (2)由已知可得向量 与 的模分别为 1 与 2，夹角为 ，所以 1，A1A2 B1B2 3 A1A2 B1B2 由 ( )MN 12A1A2 B1B2 得| | MN 14A1A2 B1B2 2 12A1A2 2 B1B2 2 2A1A2 B1B2 722(2018湖北荆门调研)在如图所示的平面直角坐标系中，已知点 A(1,0)和点B(1,0)，| |1，且 AOC x，其中 O 为坐标原点OC (1)
22、若 x ，设点 D 为线段 OA 上的动点，求| |的最小值；34 OC OD (2)若 x ，向量 m ， n(1cos x，sin x2cos x)，求 mn 的最小值及对0， 2 BC 应的 x 值12解 (1)设 D(t,0)(0 t1)，由题易知 C ，(22， 22)所以 ，OC OD ( 22 t， 22)所以| |2 t t2 t2 t1 2 (0 t1)，OC OD 12 2 12 2 (t 22) 12所以当 t 时，| |2的最小值为 ，22 OC OD 12则| |的最小值为 OC OD 22(2)由题意得 C(cosx，sin x)， m (cos x1，sin x)，BC 则 mn1cos 2xsin 2x2sin xcosx1cos2 xsin2 x1 sin 2 (2x 4)因为 x ，所以 2 x ，0， 2 4 4 54所以当 2x ，即 x 时， 4 2 8sin 取得最大值 1，(2x 4)所以 mn 的最小值为 1 ，此时 x 2 813
