1、1考点测试 55 曲线与方程高考概览高 考 在 本 考 点 的 考 查 涉 及 各 种 题 型 ， 分 值 为 5分 ， 中 等 难 度考纲研读1了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系2了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究几何问题的基本方法3能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程一、基础小题1方程(2 x3 y1)( 1)0 表示的曲线是( )x 3A两条直线 B两条射线C两条线段 D一条直线和一条射线答案 D解析 原方程可化为Error!或 10，即 2x3 y10( x3)或 x4，故原方x 3程表示的曲线是一条直线和一条射线2过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨
2、迹方程为( )A y212 x B y212 xC x212 y D x212 y答案 D解析 由抛物线的定义知，过点 F(0，3)且和直线 y30 相切的动圆圆心的轨迹是以点 F(0，3)为焦点，直线 y3 为准线的抛物线，故其方程为 x212 y故选 D3点 A， B 分别为圆 M： x2( y3) 21 与圆 N：( x3) 2( y8) 24 上的动点，点C 在直线 x y0 上运动，则| AC| BC|的最小值为( )A7 B8 C9 D10答案 A解析 设 M(0，3)关于直线 x y0 的对称点为 P(3，0)，且 N(3，8)，| AC| BC| PN|12 37故选 A62
3、824已知点 F ，直线 l： x ，点 B 是 l 上的动点若过 B 垂直于 y 轴的直线(14， 0) 14与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨迹是( )2A双曲线 B椭圆 C圆 D抛物线答案 D解析 由已知得| MF| MB|由抛物线定义知点 M 的轨迹是以 F 为焦点， l 为准线的抛物线故选 D5与圆 x2 y21 及 x2 y28 x120 都外切的动圆的圆心在( )A一个椭圆上 B双曲线的一支上C一条抛物线上 D一个圆上答案 B解析 圆 x2 y28 x120 的圆心为(4，0)，半径为 2，动圆的圆心到(4，0)的距离减去到(0，0)的距离等于 1，由此可知动圆
4、的圆心在双曲线的一支上故选 B6已知圆 M：( x1) 2 y21，圆 N：( x1) 2 y29，动圆 P 与圆 M 外切并且与圆 N内切，则圆心 P 的轨迹方程为_答案 1( x2)x24 y23解析 设圆 M，圆 N 与动圆 P 的半径分别为 r1， r2， R，因为圆 P 与圆 M 外切且与圆 N内切，所以| PM| PN|( R r1)( r2 R) r1 r24，由椭圆的定义可知，曲线 C 是以M， N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 的椭圆(左顶点除外)，其方程为3 1( x2)x24 y237设 F1， F2为椭圆 1 的左、右焦点， A 为椭圆上任意一点，过焦点 F
5、1向x24 y23 F1AF2的外角平分线作垂线，垂足为 D，则点 D 的轨迹方程是_答案 x2 y24解析 由题意，延长 F1D， F2A 并交于点 B，易证 Rt ABDRt AF1D，则|F1D| BD|，| F1A| AB|，又 O 为 F1F2的中点，连接 OD，则 OD F2B，从而可知|DO| |F2B| (|AF1| AF2|)2，设点 D 的坐标为( x， y)，则 x2 y2412 128点 P(3，0)是圆 C： x2 y26 x550 内一定点，动圆 M 与已知圆 C 相内切且过P 点，则圆心 M 的轨迹方程为_3答案 1x216 y27解析 已知圆为( x3) 2 y
6、264，其圆心 C(3，0)，半径为 8，由于动圆 M 过 P 点，所以| MP|等于动圆的半径 r，即| MP| r又圆 M 与已知圆 C 相内切，所以圆心距等于半径之差，即| MC|8 r，从而有| MC|8| MP|，即| MC| MP|8根据椭圆的定义，动点 M 到两定点 C， P 的距离之和为定值 86| CP|，所以动点 M 的轨迹是椭圆，并且 2a8， a4；2 c6， c3； b21697，因此 M 点的轨迹方程为 1x216 y27二、高考小题9(2015广东高考)已知双曲线 C： 1 的离心率 e ，且其右焦点为x2a2 y2b2 54F2(5，0)，则双曲线 C 的方程为
7、( )A 1 B 1x24 y23 x29 y216C 1 D 1x216 y29 x23 y24答案 C解析 由已知得Error!解得Error!故 b3，从而所求的双曲线方程为 1故选 Cx216 y2910(2015安徽高考)下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y2 x 的是( )A x2 1 B y21y24 x24C x21 D y2 1y24 x24答案 C解析 由于焦点在 y 轴上，故排除 A，B由于渐近线方程为 y2 x，故排除 D故选 C11(2015天津高考)已知双曲线 1( a0， b0)的一条渐近线过点(2， )，x2a2 y2b2 3且双曲线的一个焦点在抛物
8、线 y24 x 的准线上，则双曲线的方程为( )7A 1 B 1x221 y228 x228 y221C 1 D 1x23 y24 x24 y23答案 D4解析 由题意知点(2， )在渐近线 y x 上，所以 ，又因为抛物线的准线为3ba ba 32x ，所以 c ，故 a2 b27，所以 a2， b 故双曲线的方程为7 7 3 1选 Dx24 y23三、模拟小题12(2019福建漳州八校联考)已知圆 M：( x )2 y236，定点 N( ，0)，点 P5 5为圆 M 上的动点，点 Q 在 NP 上，点 G 在线段 MP 上，且满足 2 ， 0，则点 GNP NQ GQ NP 的轨迹方程是(
9、 )A 1 B 1x29 y24 x236 y231C 1 D 1x29 y24 x236 y231答案 A解析 由 2 ， 0 知 所在直线是线段 NP 的垂直平分线，连接NP NQ GQ NP GQ GN，| GN| GP|，| GM| GN| MP|62 ，点 G 的轨迹是以 M， N 为焦点的椭圆，5其中 2a6，2 c2 ， b2 4，点 G 的轨迹方程为 1，故选 A5x29 y2413(2018深圳调研)如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB4， AD2， E， F 分别为边CD， AD 的中点， M 为 AE 和 BF 的交点，则以 A， B 为长轴端点，且经过 M 的椭圆的标
10、准方程为( )A 1 B 1x24 y25 x24 y23C 1 D y21x24 y22 x24答案 D解析 以 AB 的中点为坐标原点， AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，则BF： x4 y2， AE： y x2，联立两直线方程可得 M ，显然在椭圆 y21 上，6545 x24故选 D514(2018长沙统考)设点 A(1，0)， B(1，0)， M 为动点，已知直线 AM 与直线 BM的斜率之积为定值 m(m0)，若点 M 的轨迹是焦距为 4 的双曲线(除去点 A， B)，则 m( )A15 B3 C D15 3答案 B解析 设动点 M(x， y)，则直线 AM 的斜率 k
11、AM ，直线 BM 的斜率 kBM ，所yx 1 yx 1以 m，即 x2 1因为点 M 的轨迹是焦距为 4 的双曲线(除去点yx 1 yx 1 y2x2 1 y2mA， B)，所以 1 m4，所以 m3故选 B15(2018江西九江联考)设 F(1，0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且 2 ，MN MP ，当点 P 在 y 轴上运动时，则点 N 的轨迹方程为_PM PF 答案 y24 x解析 设 M(x0， 0)， P(0， y0)， N(x， y)，由 2 ，得Error!即Error! 因为 ，MN MP PM PF ( x0， y0)， (1， y0)，所以( x0，
12、y0)(1， y0)0，所以 x0 y 0，即PM PF 20 x y20，所以点 N 的轨迹方程为 y24 x1416(2018中原名校联考)已知双曲线 y21 的左、右顶点分别为 A1， A2，点x22P(x1， y1)， Q(x1， y1)是双曲线上不同于 A1， A2的两个不同的动点，则直线 A1P 与 A2Q 交点的轨迹方程为_答案 y21( x0，且 x )x22 2解析 由题设知| x1| ， A1( ，0)， A2( ，0)，则有：直线 A1P 的方程为 y2 2 2(x )， y1x1 2 2直线 A2Q 的方程为 y (x )， y1x1 2 2联立，解得Error!得Er
13、ror! 所以 x0，且| x| 时， S OPQ8 8 8；14 4k2 14k2 1 (1 24k2 1)当 0 k2 时， S OPQ8 8 14 4k2 11 4k2 ( 1 21 4k2)因 0 k20，所以| MN| 1 k2x1 x22 1 k2x1 x22 4x1x22 21 k21 2k2 m21 2k22又定圆 x2 y2 的圆心到直线 l： y kx m 的距离为 d ，32 |m|1 k2所以| GH|2 2 r2 d232 m21 k2因为 2 为定值，|MN|GH| 1 k221 2k2 m21 2k223 3k2 2m2所以设 ( 为定值)，1 k221 2k2 m21 2k223 3k2 2m2化简得2 (12 k2)2(1 k2)2m2(1 k2)2(12 k2)3 (12 k2)2(1 k2)0，所以 2 (12 k2)2(1 k2)20 且(1 k2)2(12 k2)3 (12 k2)2(1 k2)0，解得k113
