1、1数形结合思想专练一、选择题1若 f(x)是偶函数,且在(0,)上是增函数,又 f(3)0,则 xf(x)3B x|x3D x|30)型函数,作出其简图如图所2xx 1 2x 1 ax示从图象可以看出 f(x)的图象关于点(1,2)成中心对称;其在区间(,1)和(1,)上均是减函数;没有能使 AB x 轴的点存在即只有 A 正确故选 A5定义在实数集 R 上的函数 f(x),满足 f(x) f(4 x) f(x4),当 x0,2时,f(x)3 x x1,则函数 g(x) f(x)|log 2(x1)|的零点个数为( )A31 B32 C63 D64答案 B解析 由题意知, f(x)是偶函数,图
2、象关于直线 x2 对称,周期是 4当 x0,2时, f(x)3 x x1, f( x)3 xln 31,则 f( x)0 在0,2上恒成立,由此作出函数 f(x)的图象在同一坐标系中作出函数 y|log 2(x1)|的图象,由图象知,两函数图象共有 32 个交点,则函数 g(x) f(x)|log 2(x1)|共有 32 个零点,故选 B二、填空题6当 x(1,2)时,( x1) 20)若圆 C 上存在点 P,使得 APB90,求 m 的最大值解 根据题意,画出示意图,如图所示,则圆心 C 的坐标为(3,4),半径 r1,且|AB|2 m因为 APB90,连接 OP,易知| OP| |AB|
3、m要求 m 的最大值,即求圆 C 上的12点 P 到原点 O 的最大距离因为| OC| 5,所以| OP|max| OC| r6,32 426即 m 的最大值为 611已知 a0,函数 f(x) x|x a|1( xR)(1)当 a1 时,求所有使 f(x) x 成立的 x 的值;(2)当 a(0,3)时,求函数 y f(x)在闭区间1,2上的最小值解 (1)当 a1 时,因为 x|x1|1 x,所以 x1 或 x1(2)f(x)Error!(其示意图如图所示)当 00,所以当1x 1xx1 时, g(x)取极小值 g(1) 12(1)当 a0 时,方程 F(x) a2不可能有 4 个解;(2
4、)当 a0,当 x(,1)时, f( x)0 时,当 x(,1)时, f( x)0,当 x(1,0时, f( x) ,所以实数 a 的取值范围是12 12(22, 2)分类讨论思想专练一、选择题1已知二次函数 f(x) ax22 ax1 在区间3,2上的最大值为 4,则 a 等于( )A3 B C3 D 或338 38答案 D解析 当 a0 时, f(x)在3,1上单调递减,在1,2上单调递增,可知当x2 时, f(x)取得最大值,即 8a14,解得 a 当 a0 且 a1)有两个不等实根,则 a 的取值范围是( )A(0,1)(1,) B(0,1)C(1,) D0,12答案 D解析 方程|
5、ax1|2 a(a0 且 a1)有两个不同实数根转化为函数 y| ax1|与y2 a 有两个交点当 01 时,如图 2,而 y2 a1 不符合要求综上 00 且 a1,函数 f(x)Error!存在最小值,则 f(2a)的取值范围为( )A3,) B2,) C(1,2 D(1,3答案 A解析 当 a1 时, f(x)的值域为2,)(1log a2,);当 0 a1 时, f(x)的值域为2,)(,1log a2)由 f(x)存在最小值知 a1 且 1log a22,所以a(1,2,因而 f(2a)1log a(2a)1log a2log aa3故选 A5(2018福建质检)已知 A, B 分别
6、为椭圆 C 的长轴端点和短轴端点, F 是 C 的焦9点若 ABF 为等腰三角形,则 C 的离心率为( )A B C D3 12 2 32 12 32答案 A解析 设椭圆 C 的方程为 1( a b0),则x2a2 y2b2|BF|2| OF|2| OB|2 c2 b2 a2,| AB|2| OA|2| OB|2 a2 b2,所以| AB| BF|如图,点 F 与 A, B 同侧时| AF| a c,| BF| a,所以| AF| BF|,所以|AB| BF| AF|,所以 ABF 不能构成等腰三角形如图,点 F 与 A, B 异侧时| AB| ,| AF| a c,| BF| a,所以a2
7、b2|AF| BF|,| AB| BF|所以| AF| AB|,故( a c)2 a2 b2,即( a c)22 a2 c2,整理得 2e22 e10, e 又 0 e1,所以离心率 e 故选 A 132 3 126在约束条件Error!下,当 3 s5 时, z3 x2 y 的最大值的变化范围是 ( )A6,15 B7,15 C6,8 D7,8答案 D解析 由Error!Error!取点 A(2,0), B(4 s,2 s4), C(0, s), C(0,4)当 3 s0,要使 Sn最小,其中 n 必然是奇数当 n 为奇数时,Sn n 12 29 n 302n 12 2 n 12 ,n2 2
8、9n 302且 y x229 x30 的图象的对称轴为 x 145,292 nN *,且 n 是奇数,当 n15 时, Smin S15 120152 2915 30211如图, A, B, C, D 为空间四点在 ABC 中, AB2, AC BC ,等边三角形2ADB 以 AB 所在直线为轴转动12(1)当平面 ADB平面 ABC 时,求 CD;(2)当 ADB 转动时,是否总有 AB CD?证明你的结论解 (1)取 AB 的中点 E,连接 DE, CE, ADB 是等边三角形, DE AB当平面 ADB平面 ABC 时,平面 ADB平面 ABC AB, DE平面 ABC,可得 DE CE
9、由已知可得 DE , EC1,3在 Rt DEC 中,CD 2DE2 EC2(2)当 ADB 以 AB 所在直线为轴转动时,总有 AB CD证明:当 D 在平面 ABC 内时, AC BC, AD BD, C, D 都在线段 AB 的垂直平分线上,则 AB CD当 D 不在平面 ABC 内时,由知 AB DE又 AC BC, AB CE又 DE, CE 为相交直线, AB平面 CDE,由 CD平面 CDE,得 AB CD综上所述,总有 AB CD12(2018湖南六校联考)已知抛物线 C: y22 px(p0)在第一象限内的点 P(t,2)到焦点 F 的距离为 ,且向量 在向量 上的投影为正数
10、( O 为坐标原点)52 FP OF (1)若 M ,0,过点 M, P 的直线 l1与抛物线相交于另一点 Q,求 的值;12 |QF|PF|13(2)若直线 l2与抛物线 C 相交于 A, B 两点,与圆 M:( x a)2 y21 相交于 D, E 两点,OA OB,试问:是否存在实数 a,使得| DE|的长为定值?若存在,求出 a 的值;若不存在,请说明理由解 (1)将点 P(t,2)代入 y22 px 得 t ,2p由点 P 到焦点 F 的距离为 及抛物线的定义,得 ,52 2p p2 52解得 p1 或 4当 p1 时, y22 x, F ,0, P(2,2)满足向量 在向量 上的投
11、影为正数;12 FP OF 当 p4 时, y28 x, F(2,0), P ,2,此时向量 在向量 上的投影为负数,舍去12 FP OF 故抛物线 C 的方程为 y22 x, F ,0, P(2,2)12直线 l1的方程为 y x ,45 25联立 y22 x,可得 xQ ,18又| QF| xQ ,| PF| xP ,12 12 |QF|PF|18 122 12 14(2)设直线 l2的方程为 x ty m(m0),代入抛物线方程可得 y22 ty2 m0,设 A(x1, y1), B(x2, y2),则 y1 y22 t, y1y22 m,由 OA OB 得 x1x2 y1y2( ty1
12、 m)(ty2 m) y1y20,整理得( t21) y1y2 tm(y1 y2) m20,将代入解得 m2,直线 l2: x ty2,圆心 M(a,0)到直线 l2的距离为 d ,|a 2|1 t2| DE|2 ,12 a 221 t2显然当 a2 时,| DE|2,| DE|的长为定值13(2018广东华师大附中测试二)已知函数 f(x)2( a1) x b14(1)讨论函数 g(x)e x f(x)在区间0,1上的单调性;(2)已知函数 h(x)e x xf 1,若 h(1)0,且函数 h(x)在区间(0,1)内有零点,x2求 a 的取值范围解 (1)由题意得 g(x)e x2( a1) x b,所以 g( x)e x2( a1)当 a 时, g( x)0,所以 g(x)在0,1上单调递增;32当 a 1 时, g( x)0,e2所以 g(x)在0,1上单调递减;当 0, g(1)e2 a2 b0,由 h(1)0,得 a be, g 1e0, g(1)2 a0,解得 e1 a2,所以 a 的取值范围是(e1,2)