1、1单元质量测试(三)时间：120分钟 满分：150分第卷 (选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1函数 f(x)12sin 2 的最小正周期为( )xA2 B C D4 2答案 A解析 f(x)12sin 2 cos x，最小正周期 T2，故选Ax2已知sin 0，则 化简的结果为( )1 sin2Acos Bcos Ccos D以上都不对答案 B解析 由已知可判断出 是第三象限角，所以 |cos |cos 故选B1 sin23(2018福建4月质检)已知向量 (1,1)， (2,3)，则下列向量与 垂直的是( AB AC BC )A a(3,6) B b(8
2、，6)C c(6,8) D d(6,3)答案 D解析 (1,2)，因为(1,2)(6,3)1(6)230故选DBC AC AB 4(2018长沙统考)已知 a， b为单位向量，且 a( a2 b)，则向量 a与 b的夹角为( )A30 B60 C120 D150答案 C解析 由题意， a(a2 b) a22 ab| a|22| a|b|cos a， b12cos a， b0，所以cos a， b ，又0 a， b180，所以 a， b120故选C125(2018长春调研)在 ABC中，角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，若2 bcosC2 ccosB a，且 B2 C，则 ABC的
3、形状是( )A等腰直角三角形 B直角三角形2C等腰三角形 D等边三角形答案 B解析 2 bcosC2 ccosB a，2sin BcosC2sin CcosBsin Asin( B C)，即sin BcosC3cos BsinC，tan B3tan C，又 B2 C， 3tan C，得tan C ， C ， B2 C ，2tanC1 tan2C 33 6 3A ，故 ABC为直角三角形故选B 26(2018广东广州调研)如图所示，在 ABC中， ， P是 BN上的一点，若 mAN 13AC AP ，则实数 m的值为( )AB 211AC A B911 511C D311 211答案 B解析 因
4、为 N， P， B三点共线，所以 m m ，从而 m 1 mAP AB 211AC AB 611AN 611故选B5117(2018湖南长郡中学调研)若 ABC的内角 A， B， C所对的边分别为 a， b， c，已知2bsin2A asinB，且 c2 b，则 等于( )abA2 B3 C D2 3答案 A解析 由2 bsin2A asinB，得4 bsinAcosA asinB，由正弦定理得4sin BsinAcosAsin AsinB，sinA0，且sin B0，cos A ，由余弦定理，得 a2 b24 b2 b2， a24 b2， 214 ab3故选A8(2018江西九校联考)已知5
5、sin2 6cos ， ，则tan ( )(0， 2) 2A B C D23 13 35 23答案 B解析 由题意知10sin cos 6cos ，又 ，sin ，cos ，tan (0， 2) 35 45 2sin 2cos 2 2sin2 22sin 2cos 2 1 cossin1 4535 139(2018东北三省四市二联)将函数 f(x)sin(2 x )| | 的图象向右平移 2 12个单位，所得到的图象关于 y轴对称，则函数 f(x)在0， 上的最小值为( ) 2A B C D32 12 12 32答案 D解析 f(x)sin(2 x )向右平移 个单位得到函数 g(x)sin2
6、 x sin2 x12 12 ，此函数图象关于 y轴对称，即函数 g(x)为偶函数，则 k， kZ， 6 6 2由| | ，可得 ，所以 f(x)sin2 x ，因为0 x ，所以 2 x 2 3 3 2 3 3，所以 f(x)的最小值为sin 故选D23 3 3210(2018湖北宜昌二模)已知 ABC中， A120，且 AB3， AC4，若 AP AB ，且 ，则实数 的值为( )AC AP BC A B C6 D2215 103 127答案 A解析 因为 ，且 ，所以有 ( )( ) 2AP AB AC AP BC AP BC AB AC AC AB AB AC AB 4 2 ( 1)
7、2 20，整理可得( 1)34cos1209AC AB AC AB AC AB AC 160，解得 ，故选A221511(2018河北石家庄一模)已知三个向量 a， b， c共面，且均为单位向量， ab0，则| a b c|的取值范围是( )A 1， 1 B1， 2 2 2C ， D 1,12 3 2答案 A解析 由题意不妨设 a(1,0)， b(0,1)，c(cos ，sin )(0 0，| |12 320)的最小正周期为(1)求 的值，并在下面提供的直角坐标系中画出函数 y f(x)在区间0，上的图象；(2)函数 y f(x)的图象可由函数 ysin x的图象经过怎样的变换得到？解 (1)
8、函数可化为 f(x)sin ，( x 3)因为 T，所以 ，即 2，2所以 f(x)sin (2x 3)列表如下：x 0 12 3 712 56 y 32 1 0 1 0 32画出图象如图所示：8(2)将函数 ysin x(xR)图象上的所有点向左平移 个单位长度，得到函数 ysin 3(xR) 的图象，再将所得图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)，(x 3) 12可得函数 f(x)sin (xR)的图象(2x 3)19(2018河南洛阳二模)(本小题满分12分)如图，已知扇形的圆心角 AOB ，23半径为4 ，若点 C是 上的一动点(不与点 A， B重合)2 AB(1)若弦 B
9、C4( 1)，求 的长；3 BC(2)求四边形 OACB面积的最大值解 (1)在 OBC中， BC4( 1)， OB OC4 ，3 2所以由余弦定理得cos BOC ，OB2 OC2 BC22OBOC 32所以 BOC ，于是 的长为 4 6 BC 6 2 223(2)设 AOC ， 0， ，则 BOC ，23 23S四边形 OACB S AOC S BOC 4 4 sin 4 4 sin 24sin 8 cos 16 sin 12 2 2 12 2 2 23 3 3， 69由于 0， ，所以 ， ，23 6 6 56当 时，四边形 OACB的面积取得最大值16 3 320(2018河南濮阳三
10、模)(本小题满分12分) ABC内接于半径为 R的圆， a， b， c分别是内角 A， B， C的对边，且2 R(sin2Bsin 2A)( b c)sinC， c3(1)求角 A的大小；(2)若 AD是 BC边上的中线， AD ，求 ABC的面积192解 (1)因为2 R(sin2Bsin 2A)( b c)sinC，所以2 RsinBsinB2 RsinAsinA( b c)sinC，所以 bsinB asinA bsinC csinC，即 b2 a2 bc c2，即 b2 c2 a2 bc，所以cos A ， A60b2 c2 a22bc 12(2)以 AB， AC为邻边作平行四边形 A
11、BEC，在 ABE中， ABE120， AE ，19由余弦定理得 AE2 AB2 BE22 ABBEcos120，即199 BE223 BE ，12解得 BE2(负值舍去)，所以 AC2故 S ABC ABACsin BAC12 32 12 32 33221(2018荆门调研)(本小题满分12分)已知向量 m(3sin x，cos x)， n(cos x，cosx)， f(x) mn 332(1)求函数 f(x)的最大值及取得最大值时 x的值；(2)若方程 f(x) a在区间 上有两个不同的实数根，求实数 a的取值范围0， 2解 (1) f(x) mn 3sin xcosx cos2x sin
12、2x (1cos2 x)32 3 32 32 32 32 sin2x cos2x sin 32 32 3 (2x 56)当2 x 2 k ， kZ，即 x k ， kZ时，56 2 6函数 f(x)取得最大值 310(2)由于 x 时，2 x 0， 2 56 56， 116 而函数 g(x) sinx在区间 上单调递减，在区间 上单调递增3 56， 32 32， 116 又 g ， g ， g (116 ) 32 (32) 3 (56) 32结合图象(如图)，所以方程 f(x) a在区间 上有两个不同的实数根时， a0， 2( 3， 3222(2018广东茂名二模)(本小题满分12分)已知 A
13、BC的内角 A， B， C的对边分别为 a， b， c，sin A2sin C,2b3 c(1)求cos C；(2)若 ABC的平分线交 AC于点 D，且 ABC的面积为 ，求 BD的长3154解 (1)sin A2sin C， a2 c于是，cos C a2 b2 c22ab2c2 32c2 c222c32c 78(2)由(1)知cos C ，sin C 78 158 S ABC 2c c ，12 32 158 3154 c24， c2，则 a4， b3 BD为 ABC的平分线， 2， CD2 ADac CDAD又 CD AD3， CD2， AD1在 BCD中，由余弦定理可得 BD24 22 2242 6，78 BD 61112
