1、1课时跟踪检测(四) 基本不等式一、题点全面练1已知 f(x) ,则 f(x)在 上的最小值为( )x2 2x 1x 12, 3A. B.12 43C1 D0解析:选 D f(x) x 2220,x2 2x 1x 1x当且仅当 x ,即 x1 时取等号又 1 ,1x 12, 3所以 f(x)在 上的最小值是 0.12, 32(2018哈尔滨二模)若 2x2 y1,则 x y 的取值范围是( )A0,2 B2,0C2,) D(,2解析:选 D 由 12 x2 y2 ,变形为 2x y ,即 x y2,当且仅当2x2y14x y 时取等号则 x y 的取值范围是(,23若实数 a, b 满足 ,则
2、 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B22C2 D42解析:选 C 因为 ,所以 a0, b0,1a 2b ab由 2 2 ,ab1a 2b 1a2b 2ab所以 ab2 (当且仅当 b2 a 时取等号),2所以 ab 的最小值为 2 .24已知函数 f(x) x 2 的值域为(,04,),则 a 的值是( )axA. B.12 32C1 D2解析:选 C 由题意可得 a0,当 x0 时, f(x) x 22 2,ax a2当且仅当 x 时取等号;a当 x0, y0,(lg 2)x(lg 8)ylg 2,则 的最小值是1x 13y_解析:因为(lg 2)x(lg 8)ylg 2,所以
3、 x3 y1,则 (x3 y)1x 13y (1x 13y)2 4,当且仅当 ,即 x , y 时取等号,故 的最小值为 4.3yx x3y 3yx x3y 12 16 1x 13y答案:46规定:“”表示一种运算,即 ab a b(a, b 为正实数)若 1k3,ab则 k 的值为_,此时函数 f(x) 的最小值为_kxx解析:由题意得 1k 1 k3,即 k 20,k k解得 1 或 2(舍去),所以 k1,故 k 的值为 1.k k又 f(x) 1 123,1xx x x 1x x 1x当且仅当 ,即 x1 时取等号,x1x故函数 f(x)的最小值为 3.答案:1 37(1)当 x0,3
4、2 2 4,3 2x2 83 2x 3 2x2 83 2x当且仅当 ,即 x 时取等号3 2x2 83 2x 123于是 y4 ,故函数的最大值为 .32 52 52(2)00, y ,x 4 2x 2 x 2 x 2x 2 x2 2当且仅当 x2 x,即 x1 时取等号,当 x1 时,函数 y 的最大值为 .x 4 2x 2二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1,若 a, bR,则下列恒成立的不等式是( )A. B. 2|a b|2 |ab| ba abC. 2 D( a b) 4a2 b22 (a b2 ) (1a 1b)解析:选 C 由于 a, bR,所以 A、B、D 项不能直接运用基
5、本不等式考察,先考虑 C项 2 0,a2 b22 (a b2 ) 2 a2 b2 a2 2ab b24 a2 2ab b24 a b 24 2.a2 b22 (a b2 )2函数 y12 x (x0)的值域为_3x解析: x0, y12 x 1(2 x) 12 12 ,3x ( 3x) 2x 3 x 6当且仅当 x 时取等号,故函数 y12 x (x0)的值域为12 ,)62 3x 6答案:12 ,)6(二)素养专练学会更学通3数学建模高三学生在新的学期里,刚刚搬入新教室,随着楼层的升高,上下楼耗费的精力增多,因此不满意度升高,当教室在第 n 层楼时,上下楼造成的不满意度为 n,但高处空气清新
6、,嘈杂音较小,环境较为安静,因此随教室所在楼层升高,环境不满意度降低设教室在第 n 层楼时,环境不满意度为 ,则同学们认为最适宜的教室应在( )8nA2 楼 B3 楼C4 楼 D8 楼4解析:选 B 由题意知,同学们总的不满意度 y n 2 4 ,当且仅当 n8n n8n 2,即 n2 3 时,不满意度最小,所以同学们认为最适宜的教室应在 3 楼8n 24数学运算已知 x0, y0,且 2x8 y xy0,求:(1)xy 的最小值;(2)x y 的最小值解:(1)由 2x8 y xy0,得 1.8x 2y又 x0, y0,则 1 2 ,得 xy64,8x 2y 8x2y 8xy当且仅当 ,即 x16 且 y4 时,等号成立8x 2y所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8 y xy0,得 1,8x 2y则 x y (x y)(8x 2y)10 102 18.2xy 8yx 2xy8yx当且仅当 ,即 x12 且 y6 时等号成立,2xy 8yx所以 x y 的最小值为 18.5