1、1课时跟踪检测(四) 基本不等式一、题点全面练1已知 f(x) ，则 f(x)在 上的最小值为( )x2 2x 1x 12， 3A. B.12 43C1 D0解析：选 D f(x) x 2220，x2 2x 1x 1x当且仅当 x ，即 x1 时取等号又 1 ，1x 12， 3所以 f(x)在 上的最小值是 0.12， 32(2018哈尔滨二模)若 2x2 y1，则 x y 的取值范围是( )A0,2 B2,0C2，) D(，2解析：选 D 由 12 x2 y2 ，变形为 2x y ，即 x y2，当且仅当2x2y14x y 时取等号则 x y 的取值范围是(，23若实数 a， b 满足 ，则
2、 ab 的最小值为( )1a 2b abA. B22C2 D42解析：选 C 因为 ，所以 a0， b0，1a 2b ab由 2 2 ，ab1a 2b 1a2b 2ab所以 ab2 (当且仅当 b2 a 时取等号)，2所以 ab 的最小值为 2 .24已知函数 f(x) x 2 的值域为(，04，)，则 a 的值是( )axA. B.12 32C1 D2解析：选 C 由题意可得 a0，当 x0 时， f(x) x 22 2，ax a2当且仅当 x 时取等号；a当 x0， y0，(lg 2)x(lg 8)ylg 2，则 的最小值是1x 13y_解析：因为(lg 2)x(lg 8)ylg 2，所以
3、 x3 y1，则 (x3 y)1x 13y (1x 13y)2 4，当且仅当 ，即 x ， y 时取等号，故 的最小值为 4.3yx x3y 3yx x3y 12 16 1x 13y答案：46规定：“”表示一种运算，即 ab a b(a， b 为正实数)若 1k3，ab则 k 的值为_，此时函数 f(x) 的最小值为_kxx解析：由题意得 1k 1 k3，即 k 20，k k解得 1 或 2(舍去)，所以 k1，故 k 的值为 1.k k又 f(x) 1 123，1xx x x 1x x 1x当且仅当 ，即 x1 时取等号，x1x故函数 f(x)的最小值为 3.答案：1 37(1)当 x0，3
4、2 2 4，3 2x2 83 2x 3 2x2 83 2x当且仅当 ，即 x 时取等号3 2x2 83 2x 123于是 y4 ，故函数的最大值为 .32 52 52(2)00， y ，x 4 2x 2 x 2 x 2x 2 x2 2当且仅当 x2 x，即 x1 时取等号，当 x1 时，函数 y 的最大值为 .x 4 2x 2二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1，若 a， bR，则下列恒成立的不等式是( )A. B. 2|a b|2 |ab| ba abC. 2 D( a b) 4a2 b22 (a b2 ) (1a 1b)解析：选 C 由于 a， bR，所以 A、B、D 项不能直接运用基
5、本不等式考察，先考虑 C项 2 0，a2 b22 (a b2 ) 2 a2 b2 a2 2ab b24 a2 2ab b24 a b 24 2.a2 b22 (a b2 )2函数 y12 x (x0)的值域为_3x解析： x0， y12 x 1(2 x) 12 12 ，3x ( 3x) 2x 3 x 6当且仅当 x 时取等号，故函数 y12 x (x0)的值域为12 ，)62 3x 6答案：12 ，)6(二)素养专练学会更学通3数学建模高三学生在新的学期里，刚刚搬入新教室，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当教室在第 n 层楼时，上下楼造成的不满意度为 n，但高处空气清新
6、，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随教室所在楼层升高，环境不满意度降低设教室在第 n 层楼时，环境不满意度为 ，则同学们认为最适宜的教室应在( )8nA2 楼 B3 楼C4 楼 D8 楼4解析：选 B 由题意知，同学们总的不满意度 y n 2 4 ，当且仅当 n8n n8n 2，即 n2 3 时，不满意度最小，所以同学们认为最适宜的教室应在 3 楼8n 24数学运算已知 x0， y0，且 2x8 y xy0，求：(1)xy 的最小值；(2)x y 的最小值解：(1)由 2x8 y xy0，得 1.8x 2y又 x0， y0，则 1 2 ，得 xy64，8x 2y 8x2y 8xy当且仅当 ，即 x16 且 y4 时，等号成立8x 2y所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8 y xy0，得 1，8x 2y则 x y (x y)(8x 2y)10 102 18.2xy 8yx 2xy8yx当且仅当 ，即 x12 且 y6 时等号成立，2xy 8yx所以 x y 的最小值为 18.5
