1、1课时跟踪检测(十三) 函数模型及其应用1某品牌电视新品投放市场后第一个月销售 100 台，第二个月销售 200 台，第三个月销售 400 台，第四个月销售 790 台，则下列函数模型中能较好地反映销售 y(单位：台)与投放市场的月数 x 之间关系的是( )A y100 x B y50 x250 x100C y502 x D y100log 2x100解析：选 C 根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可，故选 C.2某家具的标价为 132 元，若降价以九折出售(即优惠 10%)，仍可获利 10%(相对于进价)，则该家具的进价是( )A118 元 B105
2、 元C106 元 D108 元解析：选 D 设进价为 a 元，由题意知 132(110%) a10% a，解得 a108.故选 D.3(2018北京石景山联考)小明在如图 1 所示的跑道上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头方向经过点 B 跑到点 C，共用时 30 s，他的教练选择了一个固定的位置观察小明跑步的过程，设小明跑步的时间为 t(s)，他与教练间的距离为 y(m)，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定位置可能是图 1 中的( )A点 M B点 NC点 P D点 Q解析：选 D 假设这个位置在点 M，则从 A 至 B 这段时间， y 不随时间的变化改变，与函数
3、图象不符，故 A 选项错误；假设这个位置在点 N，则从 A 至 C 这段时间， A 点与 C 点对应 y 的大小应该相同，与函数图象不符，故 B 选项错误；假设这个位置在点 P，则由函数图象可得，从 A 到 C 的过程中，会有一个时刻，教练到小明的距离等于经过 30 s 时教练到小明的距离，而点 P 不符合这个条件，故 C 选项错误；经判断点 Q 符合函数图象，故 D 选项正确，选 D.4(2019洛阳模拟)某校为了规范教职工绩效考核制度，现准备拟定一函数用于根据当月评价分数 x(正常情况下 0 x100，且教职工平均月评价分数在 50 分左右，若有突出贡献可以高于 100 分)计算当月绩效工
4、资 y(元)要求绩效工资不低于 500 元，不设上限，2且让大部分教职工绩效工资在 600 元左右，另外绩效工资越低或越高时，人数要越少则下列函数最符合要求的是( )A y( x50) 2500 B y10 500x25C y (x50) 3625 D y5010lg(2 x1)11 000解析：选 C 由题意知，拟定函数应满足：是单调递增函数，且增长速度先快后慢再快；在 x50 左右增长速度较慢，最小值为 500.A 中，函数 y( x50) 2500 先减后增，不符合要求；B 中，函数 y10 500 是指数型函数，增长速度是越来越快，不符合x25要求；D 中，函数 y5010lg(2 x
5、1)是对数型函数，增长速度是越来越慢，不符合要求；而 C 中，函数 y (x50) 3625 是由函数 y x3经过平移和伸缩变换得到的，11 000符合要求故选 C.5(2019邯郸名校联考)某企业准备投入适当的广告费对甲产品进行促销宣传，在一年内预计销售量 y(万件)与广告费 x(万元)之间的函数关系为 y1 (x0)已知生3xx 2产此产品的年固定投入为 4 万元，每生产 1 万件此产品仍需再投入 30 万元，且能全部售完. 若每件甲产品售价(元)定为“平均每件甲产品所占生产成本的 150%”与“年平均每件甲产品所占广告费的 50%”之和，则当广告费为 1 万元时，该企业甲产品的年利润为
6、( )A30.5 万元 B31.5 万元C32.5 万元 D33.5 万元解析：选 B 由题意，产品的生产成本为(30 y4)万元，销售单价为150% 50%，故年销售收入为30y 4y xyz y45 y6 x.年利润 W z(30 y4)(30y 4y 150% xy50%) 12 x15 y2 17 (万元)当广告费为 1 万元时，即 x1，该企业甲产品x2 45xx 2 x2的年利润为 17 31.5(万元)故选 B.451 2 126拟定甲、乙两地通话 m 分钟的电话费(单位：元)由 f(m)1.06(0.5 m1)给出，其中 m0， m是不超过 m 的最大整数(如33，3.73，3
7、.13)，则甲、乙两地通话 6.5 分钟的电话费为_元解析： m6.5， m6，则 f(m)1.06(0.561)4.24.答案：4.247(2019唐山模拟)某人计划购买一辆 A 型轿车，售价为 14.4 万元，购买后轿车每3年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需 2.4 万元，同时汽车年折旧率约为 10%(即这辆车每年减少它的价值的 10%)，试问，大约使用_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到 14.4 万元解析：设使用 x 年后花费在该车上的费用达到 14.4 万元，依题意可得，14.4(10.9 x)2.4 x14.4.化简得 x60.9 x0.令 f(x) x60.9 x，易得
8、 f(x)为单调递增函数，又 f(3)1.3740， f(4)0.063 40，所以函数 f(x)在(3,4)上有一个零点故大约使用 4 年后，用在该车上的费用达到 14.4 万元答案：48.某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形 ABCD，腰与底边夹角为 60(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面面积为 9 平方米，且高度不低于 米记防洪堤横断面的腰长为 x 米，外周长(梯形的3 3上底线段 BC 与两腰长的和)为 y 米要使防洪堤横断面的外周长不超过 10.5 米，则其腰长x 的取值范围为_解析：根据题意知，9 (AD BC)h，其中 AD BC2 BC x， h x
9、，312 x2 32所以 9 (2BC x) x，得 BC ，312 32 18x x2由Error! 得 2 x6.所以 y BC2 x (2 x6)，18x 3x2由 y 10.5，解得 3 x4.18x 3x2因为3,4 2,6)，所以腰长 x 的取值范围为3,4答案：3,49.如图，已知边长为 8 米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE4 米， CD6 米为了合理利用这块钢板，在五边形 ABCDE 内截取一个矩形 BNPM，使点 P 在边 DE 上(1)设 MP x 米， PN y 米，将 y 表示成 x 的函数，并求该函数的解析式及定义域；(2)求矩形 BNPM 面积的最大值解：(1
10、)如图，作 PQ AF 于 Q，所以 PQ8 y， EQ x4，4在 EDF 中， ，EQPQ EFFD所以 ，x 48 y 42所以 y x10，12定义域为 x|4 x8(2)设矩形 BNPM 的面积为 S，则 S(x) xy x (x10) 250，(10x2) 12所以 S(x)是关于 x 的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线 x10，所以当x4,8时， S(x)单调递增，所以当 x8 时，矩形 BNPM 的面积取得最大值，最大值为 48 平方米10近年来，某企业平均每年缴纳的电费约 24 万元，为了节能减排，决定安装一个可使用 15 年的太阳能供电设备接入本企业电网，安装这种供
11、电设备的费用(单位：万元)与太阳能电池板的面积(单位：平方米)成正比，比例系数约为 0.5.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式假设在此模式下，安装后该企业平均每年缴纳的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积 x(单位：平方米)之间的函数关系是 C(x) (x0， k 为常数) .记 y 为该企业安装这种太阳能供电设备的费用与该企业今k20x 100后 15 年共将缴纳的电费之和(1)试解释 C(0)的实际意义，并建立 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 x 为多少时， y 取得最小值？最小值是多少万元？解：(1) C(0)的实际意义是安装这种太阳能电池板的面积
12、为 0 时该企业平均每年缴纳的电费，即未安装太阳能供电设备时，该企业平均每年缴纳的电费由 C(0) 24，得k100k2 400，所以 y15 0.5 x 0.5 x(x0)2 40020x 100 1 800x 5(2)因为 y 0.5( x5)2.52 2.557.5，1 800x 5 1 8000.5当且仅当 0.5( x5)，即 x55 时取等号，1 800x 5所以当 x 为 55 时， y 取得最小值，最小值为 57.5 万元11选做题某快递公司在某市的货物转运中心，拟引进智能机器人分拣系统，以提高分拣效率和降低物流成本，已知购买 x 台机器人的总成本 p(x) 万元(1600x2
13、 x 150)5(1)若使每台机器人的平均成本最低，问应买多少台？(2)现按(1)中的数量购买机器人，需要安排 m 人将邮件放在机器人上，机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣，经实验知，每台机器人的日平均分拣量 q(m)Error!(单位：件)，已知传统人工分拣每人每日的平均分拣量为 1 200 件，问引进机器人后，日平均分拣量达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几？解：(1)由总成本 p(x) 万元，可得每台机器人的平均成本 y(1600x2 x 150) x 12 12.当且仅当 x ，即p xx 1600x2 x 150x 1600 150x 1600x150x
14、1600 150xx300 时，上式等号成立若使每台机器人的平均成本最低，应买 300 台(2)引进机器人后，每台机器人的日平均分拣量q(m)Error! 当 1 m30 时，300 台机器人的日平均分拣量为 160m(60 m)160 m29 600m，当 m30 时，日平均分拣量有最大值 144 000 件当 m30 时，日平均分拣量为 480300144 000(件)300 台机器人的日平均分拣量的最大值为 144 000 件若传统人工分拣 144 000 件，则需要人数为 120(人)日平均分拣量144 0001 200达最大值时，用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少 100%75%.120 301206
