1、1课时跟踪检测(七) 函数的奇偶性与周期性一、题点全面练1(2018天水一模)下列函数中，既是奇函数，又是增函数的为( )A y x1 B y x2C y D y x|x|1x解析：选 D 对于 A， y x1 为非奇非偶函数，不满足条件对于 B， y x2是偶函数，不满足条件对于 C， y 是奇函数，但在定义域上不是增函数，不满足条件对于1xD，设 f(x) x|x|，则 f( x) x|x| f(x)，则函数为奇函数，当 x0时，y x|x| x2，此时为增函数，当 x0 时， y x|x| x2，此时为增函数，综上，y x|x|在 R上为增函数故选 D.2设函数 f(x)为偶函数，当 x
2、(0，)时， f(x)log 2x，则 f( )( )2A B.12 12C2 D2解析：选 B 由已知得 f( ) f( )log 2 .故选 B.2 2 2123函数 f(x)满足 f(x1) f(x)，且当 0 x1 时， f(x)2 x(1 x)，则 f 的(52)值为( )A. B.12 14C D14 12解析：选 A f(x1) f(x)， f(x2) f(x1) f(x)，即函数 f(x)的周期为 2. f f f 2 .(52) (12 2) (12) 12 (1 12) 124(2018佛山一模)已知 f(x)2 x 为奇函数， g(x) bxlog 2(4x1)为偶函数，
3、a2x则 f(ab)( )A. B.174 52C D154 32解析：选 D 根据题意， f(x)2 x 为奇函数，则 f( x) f(x)0，即a2x2 0，解得 a1.(2 xa2 x) (2x a2x)g(x) bxlog 2(4x1)为偶函数，则 g(x) g( x)，即 bxlog 2(4x1) b( x)log 2(4 x1)，解得 b1，则 ab1，所以 f(ab) f(1)2 1 .12 1 325定义在 R上的偶函数 f(x)满足：对任意的 x1， x20，)( x1 x2)，有f x2 f x1x2 x1f(2) f(2) f(3)，故选 A.6(2019荆州模拟)已知
4、f(x)是定义在 R上的周期为 2的奇函数，当 x(0,1)时，f(x)3 x1，则 f ( )(2 0192 )A. 1 B. 13 3C 1 D 13 3解析：选 D 因为 f(x)是周期为 2的奇函数，所以 f(x2) f(x) f( x)，所以 f f f f f .又当 x(0,1)时， f(x)3 x1，所以(2 0192 ) (1 008 32) (32) ( 32) (12)f 1， f 1.(12) 3 (2 0192 ) 37已知函数 f(x) asin x bln t，若 f f 6，则实数 t( )1 x1 x (12) ( 12)A2 B1C1 D3解析：选 D 令
5、g(x) asin x bln ，易知 g(x)为奇函数，所以1 x1 xg g 0，则由 f(x) g(x) t，得 f f g g 2 t2 t6，解得(12) ( 12) (12) ( 12) (12) ( 12)t3.故选 D.8已知 f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，而且 f(x)是减函数，如果 f(m2) f(2m3)0，那么实数 m的取值范围是( )3A. B.(1，53) ( ， 53)C(1,3) D.(53， )解析：选 A f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，10 可转化为 f(m2) f(2m3)，即 f(m2) f(2 m3) f(x)是减函数，Error!1f
6、(2x1)成立的 x的11 x2取值范围为_解析：由已知得函数 f(x)为偶函数，所以 f(x) f(|x|)，由 f(x)f(2x1)，可得 f(|x|)f(|2x1|)当 x0时， f(x)ln(1 x) ，因为 yln(1 x)与 y 在(0，)上11 x2 11 x2都单调递增，所以函数 f(x)在(0，)上单调递增由 f(|x|)f(|2x1|)，可得| x|2x1|，两边平方可得 x2(2x1) 2，整理得 3x24 x10，所以 f( x)( x)22( x) x22 x.又 f(x)为奇函数，所以 f( x) f(x)，于是 x0时， f(x) x22 x x2 mx，所以 m
7、2.5(2)要使 f(x)在1， a2上单调递增，作出 f(x)的图象如图所示，结合 f(x)的图象知Error!所以 1 a3，故实数 a的取值范围是(1,3(二)素养专练学会更学通4逻辑推理奇函数 f(x)的定义域为 R.若 f(x2)为偶函数，且 f(1)1，则 f(8) f(9)( )A2 B1C0 D1解析：选 D 由函数 f(x2)为偶函数可得， f(2 x) f(2 x)又 f( x) f(x)，故 f(2 x) f(x2)，所以 f(2 x) f(x2)，即 f(x4) f(x)所以 f(x8) f(x4) f(x)，故该函数是周期为 8的周期函数又函数 f(x)为奇函数，故
8、f(0)0.所以 f(8) f(9) f(0) f(1)011.5逻辑推理已知定义在 R上的奇函数 f(x)满足 f(x4) f(x)，且在区间0,2上是增函数，则( )A f(25) f(11) f(80)B f(80) f(11) f(25)C f(11) f(80) f(25)D f(25) f(80)f(11)解析：选 D f(x)满足 f(x4) f(x)， f(x8) f(x)，函数 f(x)是以 8为周期的周期函数，则 f(25) f(1)， f(80) f(0)， f(11) f(3)由 f(x)是定义在 R上的奇函数，且满足 f(x4) f(x)，得 f(11) f(3) f
9、(1) f(1) f(x)在区间0,2上是增函数， f(x)在 R上是奇函数， f(x)在区间2,2上是增函数， f(1) f(0) f(1)，即 f(25) f(80) f(11)6数学运算定义在 R上的函数 f(x)，满足 f(x5) f(x)，当 x(3,0时， f(x) x1，当 x(0,2时， f(x)log 2x，则 f(1) f(2) f(3) f(2 019)的值等于( )6A403 B405C806 D809解析：选 B 定义在 R上的函数 f(x)，满足 f(x5) f(x)，即函数 f(x)的周期为 5.当 x(0,2时， f(x)log 2x，所以 f(1)log 21
10、0， f(2)log 221.当 x(3,0时，f(x) x1，所以 f(3) f(2)1， f(4) f(1)0， f(5) f(0)1.所以 f(1) f(2) f(2 019)403 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(2 016) f(2 017) f(2 018) f(2 019)4031 f(1) f(2) f(3) f(4)4030110405.7数学运算设函数 f(x)是(，)上的奇函数， f(x2) f(x)，当0 x1 时， f(x) x.(1)求 f()的值；(2)当4 x4 时，求函数 f(x)的图象与 x轴所围成图形的面积解：(1)由 f(x2) f(x)得，f(x4) f(x2)2 f(x2) f(x)，所以 f(x)是以 4为周期的周期函数，所以 f() f(14) f(4) f(4)(4)4.(2)由 f(x)是奇函数且 f(x2) f(x)，得 f(x1)2 f(x1) f( x1)，即 f(1 x) f(1 x)故知函数 y f(x)的图象关于直线 x1 对称又当 0 x1 时， f(x) x，且 f(x)的图象关于原点成中心对称，则 f(x)的图象如图所示当4 x4 时，设 f(x)的图象与 x轴围成的图形面积为 S，则 S4 S OAB44.(1221)7
