1、1第 26讲 机械能守恒定律及其应用考点一 机械能守恒的判断与应用1重力做功的特点(1)重力做功与 路径无关，只与初末位置的 高度差有关。01 02 (2)重力做功不引起物体 机械能的变化。03 2重力势能(1)定义：物体由于 被举高而具有的能。04 (2)表达式： Ep mgh。(其中 h是相对于零势能面的高度)05 (3)矢标性：重力势能是 标量，正负表示其 大小。06 07 3重力做功与重力势能变化的关系(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就 减少；重力对物体做负功，重力势能08 就 增加。09 (2)定量关系：重力对物体做的功 等于物体重力势能的减少量。即 WG( Ep2 Ep1
2、)10 Ep。11 4重力势能的特点(1)系统性：重力势能是 物体和地球所共有的。12 (2)相对性：重力势能的大小与参考平面的选取 有关，但重力势能的变化与参考平面13 的选取 无关。14 5弹性势能(1)定义：物体由于发生 弹性形变而具有的能。15 (2)大小：弹簧的弹性势能的大小与弹簧的形变量及弹簧的劲度系数有关，弹簧的形变量 越大，劲度系数 越大，弹簧的弹性势能越大。16 17 (3)弹力做功与弹性势能变化的关系类似于重力做功与重力势能变化的关系，用公式表示： W Ep。18 6机械能守恒定律(1)机械能： 动能和 势能统称为机械能，其中势能包括 重力势能和 弹性势能。19 20 21
3、 22 (2)机械能守恒定律：在只有 重力或 弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互23 24 转化，而总的机械能 保持不变。25 (3)常用的三种表达式27机械能守恒条件(1)只有重力做功，只发生动能和重力势能的相互转化。如自由落体运动、抛体运动等。(2)只有系统内弹力做功，只发生动能和弹性势能的相互转化。如在光滑水平面上运动的物体碰到一个弹簧，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。(3)只有重力和系统内弹力做功，只发生动能、弹性势能、重力势能的相互转化。如自由下落的物体落到竖直的弹簧上，和弹簧相互作用的过程中，对物体和弹簧组成的系统来说，机械能守恒。3(4)除受
4、重力或系统内弹力外，还受其他力，但其他力不做功，或其他力做功的代数和为零。如物体在沿斜面向下的拉力 F的作用下沿斜面向下运动，其拉力的大小与摩擦力的大小相等，在此运动过程中，其机械能守恒。8机械能是否守恒的三种判断方法(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，机械能守恒。(2)利用守恒条件判断。(3)利用能量转化判断：若物体系统与外界没有能量交换，物体系统内也没有机械能与其他形式能的转化，则物体系统机械能守恒。9含弹簧类机械能守恒问题两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统相互作用的过程，具有以下特点：(1)若只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒。(2)如果系统内每个物体除弹簧弹力
5、外所受合力为零，则当弹簧伸长至最长或压缩至最短时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大；当弹簧为自然长度时，系统内弹簧某一端的物体具有最大速度，例如弹簧振子振动过程中的情形。10机械能守恒定律应用注意(1)机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力等于零，而是看是否只有重力或弹力做功。(2)机械能守恒时，物体的运动轨迹可以是曲线也可以是直线，力可以是恒力也可以是变力。(3)在研究单个物体与地球构成的系统时，通常用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。1教材母题 (人教版必修 2 P67T4)以下说法是否正确？如果正确，说出一种可能的实际情况；如果不正确，说明这种说法为什么错
6、。A物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是 1 J，但物体重力势能的增加量不是 1 J。B物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是 1 J，但物体重力势能的增加量不是1 J。C物体运动，重力做的功是1 J，但物体重力势能的增加量不是 1 J。D没有摩擦时物体由 A沿直线运动到 B，克服重力做的功是 1 J，有摩擦时物体由 A沿曲线运动到 B，克服重力做的功大于 1 J。变式子题 (多选)下列说法正确的是( )A物体受拉力作用向上运动，拉力做的功是 1 J，但物体重力势能的增加量可能不是1 JB物体受拉力作用向上匀速运动，拉力做的功是 1 J，但物体重力势能的增加量可能不是 1 JC物体运动，重力
7、做的功是1 J，物体重力势能的增加量一定是 1 J4D没有摩擦时物体由 A沿直线运动到 B，克服重力做的功是 1 J，有摩擦时物体由 A沿曲线运动到 B，克服重力做的功大于 1 J答案 ABC解析 重力势能的变化只与重力做功有关，与其他力做功无关，重力做了多少正功，重力势能就减少多少，重力做了多少负功，重力势能就增加多少，故 A、B、C 正确；重力对物体做功，与物体运动的初末位置有关，与物体运动路径和其他力做功无关，故有摩擦时物体由 A沿曲线运动到 B，克服重力做的功还是 1 J，D 错误。2下列几种运动过程中物体的机械能守恒的是( )A匀速下落的雨滴B在水中下沉的铁块C “神舟十号”飞船穿过
8、大气层返回地面D用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动答案 D解析 雨滴匀速下落时，必受竖直向上的阻力，且阻力做功，故雨滴机械能不守恒；在水中下沉的铁块，水的浮力做功，铁块机械能不守恒；“神舟十号”飞船穿过大气层时，由于速度很大，空气阻力不可忽略，克服阻力做功，所以机械能不守恒，A、B、C 错误。用细线拴一个小球，使小球在竖直面内做圆周运动，虽然细线对小球有作用力，但作用力方向始终和小球速度方向垂直，故只有重力对小球做功，所以机械能守恒，D 正确。3. 如图所示，在地面上以速度 v0抛出质量为 m的物体，抛出后物体落到比地面低 h的海平面上。若以海平面为零势能面，不计空气阻力，则下列说法
9、中正确的是( )A物体到达海平面时的重力势能为 mghB重力对物体做的功为 mghC物体在海平面上的动能为 mv mgh12 20D物体在海平面上的机械能为 mv12 20答案 C解析 物体到达海平面时位于参考平面上，重力势能为零，A 错误；物体运动过程下落了 h高度，重力做功 mgh，B 错误；根据机械能守恒定律 mgh mv mv2，即物体在海12 20 12平面上的机械能 E2 mv2 mgh mv ，C 正确，D 错误。12 12 204如图所示， P、 Q两球质量相等，开始两球静止，将 P上方的细绳烧断，在 Q落地5之前，下列说法正确的是(不计空气阻力)( )A在任一时刻，两球动能相
10、等B在任一时刻，两球加速度相等C在任一时刻，系统动能和重力势能之和保持不变D在任一时刻，系统机械能是不变的答案 D解析 细绳烧断后，由于弹簧处于伸长状态，通过对 P、 Q两球受力分析可知 aPaQ，在任一时刻，两球的动能不一定相等，A、B 错误；系统内有弹力做功，弹性势能发生变化，系统的动能和重力势能之和发生变化，C 错误； Q落地前，两球及弹簧组成的系统只有重力和弹簧的弹力做功，整个系统的机械能守恒，D 正确。考点二 多物体的机械能守恒问题1常见多个物体的机械能守恒模型两个由轻绳或轻杆连接在一起的物体所组成的连接体系统，是机械能守恒定律应用的常考形式，求解的关键是寻找两物体的速度关系。按两物
11、体连接方式和速度关系一般可分为如下三种：模型一：速率相等的连接体模型(1)如图甲所示的两物体组成的系统，在释放 B而使 A、 B运动的过程中， A、 B的速度均沿绳子方向，在相等的时间内 A、 B运动的路程相等，则 A、 B的速率相等。(2)判断系统的机械能是否守恒不从做功角度判断，而从能量转化的角度判断，即：如果系统中只有动能和势能相互转化，系统的机械能守恒。这类题目的典型特点是系统不受摩擦力和空气阻力作用。6(3)根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。模型二：角速度相等的连接体模型(1)如图乙所示的两物体组成的系统，当释放后 A、 B在竖直平面内绕 O点的轴转动，在转动的过程
12、中相等时间内 A、 B转过的角度相等，则 A、 B转动的角速度相等，其线速度的大小与转动半径成正比。(2)系统机械能守恒的特点一个物体的机械能增加，另一个物体的机械能必然减少，机械能通过内力做功实现物体间的转移。内力对一个物体做正功，必然对另外一个物体做负功，且二者代数和为零。(3)解决角速度相等的连接体问题的三点提醒要注意判断系统的机械能是否守恒。注意寻找物体间的速度关系和位移关系。列机械能守恒方程时，一般选用 Ek Ep的形式，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。(4)对于轻杆两端(或两处)各固定一个物体，整个系统绕杆上某点转动的轻杆模型，题设中一般忽略空气阻力和各种摩擦，
13、转动时两物体角速度相等，根据轻杆转轴的位置，可以确定两物体的线速度是否相等。轻杆对物体的作用力并不总是指向轻杆的方向，轻杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。轻杆对物体做正功，使其机械能增加，同时轻杆对另一物体做负功，使其机械能减少，对于轻杆和物体组成的系统，没有外力对系统做功，系统的总机械能守恒。模型三：某一方向分速度相等的连接体模型(1)如图丙所示， A放在光滑斜面上， B穿过竖直光滑杆 PQ下滑，将 B的速度 v沿绳子和垂直绳子方向分解，如图丁所示，其中沿绳子的分速度 vx与 A的速度大小相等。(2)根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。72多个物体组成的系统机械能守恒问题
14、的解题思路(1)首先分析多个物体组成的系统是否只有重力或弹簧弹力做功，内力是否造成了机械能与其他形式能的转化，从而判断系统机械能是否守恒。(2)若系统机械能守恒，则机械能从一个物体转移到另一个物体，一个物体机械能增加，则一定有另一个物体机械能减少，且 E1 E2。或系统的动能增加量等于系统势能减少量，即 Ek1 Ek2( Ep1 Ep2)。(2015全国卷)(多选)如图，滑块 a、 b的质量均为 m， a套在固定直杆上，与光滑水平地面相距 h， b放在地面上， a、 b通过铰链用刚性轻杆连接。不计摩擦， a、 b可视为质点，重力加速度大小为 g。则( )A a落地前，轻杆对 b一直做正功B a
15、落地时速度大小为 2ghC a下落过程中，其加速度大小始终不大于 gD a落地前，当 a的机械能最小时， b对地面的压力大小为 mg解析 当 a刚释放时，两者的速度都为 0，当 a落地时， a沿杆的分速度为 0，即 b最终速度为零，对系统由机械能守恒定律可知 mgh mv ，可得 a落地时速度大小为 va12 2a，B 正确；分析可得滑块 b的速度先增加后减小且 b的最终速度为 0，即轻杆对 b先是2gh推力后是拉力，所以轻杆对 b先做正功，后做负功，A 错误；当轻杆对 b是拉力时，对 a的拉力斜向下，分析可得此时 a的加速度大于 g，C 错误； a落地前，当 a的机械能最小时，b的速度最大，
16、此时杆对 b作用力为 0，这时 b对地面的压力大小为 mg，D 正确。答案 BD8方法感悟(1)对多个物体组成的系统要注意判断物体运动过程中，系统的机械能是否守恒。(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。(3)列机械能守恒方程时，一般选用 Ek Ep或 EA EB的形式，且不用选取零势能面。列方程时，选取的表达角度不同，表达式也不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。应用机械能守恒能解决的问题，应用动能定理同样能解决，但其解题思路和表达式有所不同。1如图所示，可视为质点的小球 A、 B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为 R的光滑圆柱， A的质量为 B的 2倍。当
17、 B位于地面时， A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放， B上升的最大高度是( )A2 R B. C. D.5R3 4R3 2R3答案 C解析 A落地前， A、 B两球构成的系统机械能守恒。如图所示，设 A质量为 2m， B质量为 m，根据机械能守恒定律有 2mgR mgR 3mv2， A落地后 B将以速度 v做竖直上抛12运动，即有 mv2 mgh，解得 h R。故 B上升的最大高度为 R，C 正确。12 13 (R 13R) 4392. (多选)如图所示，物体 A、 B通过细绳及轻质弹簧连接在轻滑轮两侧，物体 A、 B的质量分别为 2m、 m。开始时细绳伸直，用手托着物体 A使弹簧处于原长且
18、 A与地面的距离为 h，物体 B静止在地面上。放手后物体 A下落，与地面即将接触时速度大小为 v，此时物体 B对地面恰好无压力，不计一切摩擦及空气阻力，重力加速度大小为 g，则下列说法中正确的是( )A物体 A下落过程中，物体 A和弹簧组成的系统机械能守恒B弹簧的劲度系数为2mghC物体 A着地时的加速度大小为g2D物体 A着地时弹簧的弹性势能为 mgh mv212答案 AC解析 由题意知，物体 A下落过程中， B一直静止不动，对于物体 A和弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，则物体 A和弹簧组成的系统机械能守恒，故 A正确；物体 B对地面的压力恰好为零，故弹簧的弹力为 T mg，开始时
19、弹簧处于原长，由胡克定律知 T kh，则弹簧的劲度系数为 k ，故 B错误；物体 A着地时，细绳对 A的拉力也等于mghmg，对 A，根据牛顿第二定律得 2mg mg2 ma，则 a ，故 C正确；物体 A与弹簧组成的g2系统机械能守恒，有 2mgh Ep弹 2mv2，则 Ep弹 2 mgh mv2，故 D错误。123. 有一竖直放置的“T”形架，表面光滑，滑块 A、 B分别套在水平杆与竖直杆上，A、 B用一根不可伸长的轻细绳相连， A、 B质量相等，且可看做质点，如图所示，开始时细绳水平伸直， A、 B静止。由静止释放 B后，已知当细绳与竖直方向的夹角为 60时，滑块B沿着竖直杆下滑的速度为
20、 v，则连接 A、 B的绳长为( )10A. B. C. D.4v2g 3v2g 2v23g 4v23g答案 D解析 由运动的合成与分解可知滑块 A和 B沿绳方向的速度大小相等，有 vAsin60 vcos60，解得 vA v，滑块 A、 B组成的系统机械能守恒，设滑块 B下滑的高度为33h，有 mgh mv mv2，解得 h ，由几何关系可知绳长 L2 h ，故 D正确。12 2A 12 2v23g 4v23g4. 质量分别为 m和 2m的两个小球 P和 Q中间用轻质杆固定连接，杆长为 L，在离 P球 处有一个光滑固定轴 O，如图所示。现在把杆置于水平位置后自由释放，在 Q球顺时针L3摆动到
21、最低位置时，求：(1)小球 P的速度大小；(2)在此过程中，杆对小球 P做的功。答案 (1) (2) mgL2gL3 49解析 (1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球 Q摆到最低位置时 P球的速度为v，由于 P、 Q两球的角速度相等， Q球的运动半径是 P球运动半径的两倍，故 Q球的速度为 2v。由机械能守恒定律得 Ep减 Ek增 即2mg L mg L mv2 2m(2v)223 13 12 12解得 v 。2gL3(2)杆对 P球做的功等于小球 P机械能的增加量 E，则11W E mg L mv2 mgL。13 12 49考点三 非质点类物体的机械能守恒问题所谓非质点类物体就是像“液柱
22、” “绳(考虑重力)” “链条” “过山车”等类物体，在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再视为质点来处理。物体虽然不能看成质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。如图所示，一条长为 L的柔软匀质链条，开始时静止在光滑梯形平台上，斜面上的链条长为 x0，已知重力加速度为 g， Lx0)。解析 链条各部分和地球组成的系统机械能守恒，设链条的总质量为 m，以平台所在位置为零势能面，当斜面上链条长为 x时，链条的速度为 v，则在此过程对链条整
23、体由机械能守恒 mg x0sin mv2 mg xsinx0L 12 12 xL 12解得 v 。gL x2 x20 sin答案 gL x2 x20 sin方法感悟(1)物体虽然不能看做质点，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒。(2)在确定物体重力势能的变化量时，要根据情况，将物体分段处理，确定好各部分的重心及重心高度的变化量。寻找重力势能发生变化的那部分物体的等效长度，如本例中等12效长度由 x0 x，可以快速准确的解决非质点问题。(3)非质点类物体各部分是否都在运动，运动的速度大小是否相同，若相同，则物体的动能才可表示为 mv2。12(4)重力势能的变化或重力做功利用等效长度来表示，但动
24、能的表达式一般要针对整体。(5)分段看成两个物体或多个物体，利用系统机械能守恒去分析解决问题也是一种方法。1如图所示，粗细均匀，两端开口的 U形管内装有同种液体，管中液柱总长度为4h，开始时使两边液面高度差为 h，后来让液体自由流动，当两液面高度相等时，右侧液面下降的速度为( )A. B. 18gh 16ghC. D. 14gh 12gh答案 A解析 液柱移动时，除了重力做功以外，没有其他力做功，故机械能守恒。此题等效为原右侧的 高的液柱移到左侧(如图所示)，其重心高度下降了 ，减少的重力势能转化为h2 h2整柱液体的动能，设液体的总质量为 4m，则有 mg (4m)v2，得 v ，A 正确。
25、12 h2 12 gh82如图所示，露天娱乐场空中列车是由许多节完全相同的车厢组成，列车先沿光滑水平轨道行驶，然后滑上一固定的半径为 R的空中圆形光滑轨道，若列车全长为 L(L2 R)，13R远大于一节车厢的长度和高度，那么列车在运行到圆形光滑轨道前的速度至少要多大，才能使整个列车安全通过固定的圆形轨道(车厢间的距离不计)。答案 gR(1 4 RL )解析 当列车进入轨道后，动能逐渐向势能转化，车速逐渐减小，当车厢占满圆形轨道时的速度最小，设此时的速度为 v，列车的质量为 M，圆轨道上那部分列车的质量 M 2 RML由机械能守恒定律可得： Mv Mv2 M gR12 20 12又因列车运行速度
26、最小时，圆形轨道顶部车厢应满足： mg m ，v2R可求得： v0 。gR(1 4 RL )课后作业巩固强化练1(多选)如图所示，斜面体置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止沿斜面下滑，在物体下滑过程中，下列说法正确的是( )A物体的重力势能减少，动能增加B斜面体的机械能不变C斜面体对物体的弹力垂直于接触面，不对物体做功D物体和斜面体组成的系统机械能守恒14答案 AD解析 物体下滑过程中重力势能减少，动能增加，A 正确；地面光滑，斜面体会向右运动，动能增加，机械能增加，B 错误；斜面体对物体的弹力垂直于接触面，与物体的位移并不垂直，弹力对物体做负功，C 错误；物体与斜面体组成的系统，只
27、有重力做功，系统的机械能守恒，D 正确。2. 如图所示，固定的竖直光滑长杆上套有质量为 m的小圆环，圆环与水平状态的轻质弹簧一端连接，弹簧的另一端连接在墙上，且处于原长状态。现让圆环由静止开始下滑，已知弹簧原长为 L，圆环下滑到最大距离时弹簧的长度变为 2L(未超过弹性限度)，则在圆环下滑到最大距离的过程中( )A圆环的机械能守恒B弹簧弹性势能变化了 mgL3C圆环下滑到最大距离时，所受合力为零D圆环重力势能与弹簧弹性势能之和保持不变答案 B解析 在圆环下滑到最大距离的过程中，弹簧弹力对圆环做功，圆环的机械能不守恒，A错误；利用几何关系可知圆环下落的距离为 L，此时圆环的重力势能的减少量为3
28、Ep mg L mgL，根据系统机械能守恒，弹簧弹性势能的增加量等于圆环重力势能3 3的减少量，即 Ep弹 mgL，B 正确；圆环下滑到最大距离时速度为零，所受合力不为零，3C错误；把圆环和弹簧看成一个系统，系统的机械能守恒，即圆环的重力势能、弹簧的弹性势能与圆环的动能之和保持不变，D 错误。3如图所示，在倾角 30的光滑固定斜面上，放有两个质量分别为 1 kg和 2 kg的可视为质点的小球 A和 B，两球之间用一根长 L0.2 m的轻杆相连，小球 B距水平面的高度 h0.1 m，两球由静止开始下滑到光滑地面上，不计球与地面碰撞时的机械能损失，g取 10 m/s2，则下列说法中正确的是( )1
29、5A整个下滑过程中 A球机械能守恒B整个下滑过程中 B球机械能守恒C整个下滑过程中 A球机械能的增加量为 J23D整个下滑过程中 B球机械能的增加量为 J23答案 D解析 在下滑的整个过程中，只有重力对系统做功，系统的机械能守恒，但在 B球沿水平面滑行，而 A球沿斜面滑行时，杆的弹力对 A、 B球做功，所以 A、 B球各自机械能不守恒，故 A、B 错误；根据系统机械能守恒得： mAg(h Lsin ) mBgh (mA mB)v2，解得：12v m/s，系统下滑的整个过程中 B球机械能的增加量为 mBv2 mBgh J，故 D正确；236 12 23A球机械能的减少量为 J，C 错误。234如
30、图所示，一长 L的均匀铁链对称挂在一轻质小滑轮上，由于某一微小的扰动使得链条向一侧滑动，滑轮离地面足够高，则铁链完全离开滑轮时的速度大小为( )A. B.2gL gLC. D.gL2 12gL答案 C解析 铁链向一侧滑动的过程受重力和滑轮弹力的作用，弹力始终与对应各节链条的运动方向垂直，故只有重力做功。设铁链刚好完全离开滑轮时的速度为 v，由机械能守恒定律有： mv2 Ep0，其中铁链重力势能的变化量相当于滑离时下半部分的重力势能减1216去滑动前左半部分的重力势能，如图所示，即 Ep mg ，解得 v ，故 C项正确。12 L2 gL25. (多选)如图所示，固定在水平面上的光滑斜面倾角为
31、30，质量分别为 M、 m的两个物体通过细绳及轻弹簧连接于光滑轻滑轮两侧，斜面底端有一与斜面垂直的挡板。开始时用手按住物体 M，此时 M距离挡板的距离为 s，滑轮两边的细绳恰好伸直，而没有力的作用。已知 M2 m，空气阻力不计。松开手后，关于二者的运动，下列说法中正确的是( )A M和 m组成的系统机械能守恒B当 M的速度最大时， m与地面间的作用力为零C若 M恰好能到达挡板处，则此时 m的速度为零D若 M恰好能到达挡板处，则此过程中重力对 M做的功等于弹簧弹性势能的增加量与物体 m的机械能增加量之和答案 BD解析 M在运动过程中， M、 m与弹簧组成的系统机械能守恒，A 错误；当 M速度最大
32、时，弹簧的弹力等于 Mgsin30 mg，此时 m对地面的压力恰好为零，B 正确；然后 M做减速运动，若恰好能到达挡板，也就是在挡板处速度刚好减小到零，之后 M会上升，所以此时弹簧弹力大于 mg，即此时 m受到的绳拉力大于自身重力， m还在加速上升，速度不为零，C错误；若 M恰能到达挡板处，根据系统机械能守恒， M减小的机械能，等于 m增加的机械能与弹簧增加的弹性势能之和，而 M恰好到达挡板时，动能恰好为零，因此减小的机械能等于减小的重力势能，即等于重力对 M做的功，D 正确。真题模拟练6(2017全国卷)如图，一质量为 m，长度为 l的均匀柔软细绳 PQ竖直悬挂。用17外力将绳的下端 Q缓慢
33、地竖直向上拉起至 M点， M点与绳的上端 P相距 l。重力加速度大13小为 g。在此过程中，外力做的功为( )A. mgl B. mgl C. mgl D. mgl19 16 13 12答案 A解析 以均匀柔软细绳 MQ段为研究对象，其质量为 m，取 M点所在的水平面为零势23能面，开始时，细绳 MQ段的重力势能 Ep1 mg mgl，用外力将绳的下端 Q缓慢23 l3 29地竖直向上拉起至 M点时，细绳 MQ段的重力势能 Ep2 mg mgl，则外力做的功23 l6 19即克服自身重力做的功等于细绳 MQ段的重力势能的变化，即W Ep2 Ep1 mgl mgl mgl，A 正确。19 29 197(2016全国卷)(多选)如图所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从 M点由静止释放，它在下降的过程中经过了 N点。已知在 M、 N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且 ONMMg 4l要使 P仍能沿圆轨道滑回， P在圆轨道的上升高度不能超过半圆轨道的中点 C。由机械能守恒定律有Mv Mgl12 2B联立式得 m M m。53 5223
