1、1第 22 讲 万有引力定律及其应用研读考纲明方向重读教材定方法(对应人教版必修 2 的页码及相关问题)1P 31哪位科学家把天空中的现象与地面上的现象统一起来，成功解释了天体运行的规律？提示：牛顿。2P 32开普勒行星运动定律的表述。提示：(1)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上。(2)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积。(3)所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。3P 33对行星运动轨道简化为圆周后的开普勒三个定律的表述。提示：(1)行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心。(2)对某一行星来说，它绕太阳做
2、圆周运动的角速度(或线速度)大小不变，即行星做匀速圆周运动。(3)所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即 k。r3T24P 36问题与练习T 2。提示：近地点的速度较大。5P 37“太阳对行星的引力”一段，太阳对行星的引力公式依据什么推导出来的？提示：依据开普勒行星运动定律和圆周运动向心力公式推导出来。6P 39问题与练习T 2。提示：通过开普勒第三定律得到的。7P 40万有引力定律的适用范围是什么？提示：自然界中的任何两个物体。8P 41万有引力理论的成就有哪些？提示：计算天体的质量、发现未知天体。9P 42笔尖下发现的是哪一颗行星？提示：海王星。10P 43问题与练
3、习T 3。提示：由 m 2r， ，得 M ，代入数据得： M5.9310 24 kg。GMmr2 2T 4 2r3GT211P 44“宇宙速度”一段，发射地球卫星的最小速度是多少？提示：7.9 km/ s。212P 46科学漫步黑洞的特点是什么？提示：黑洞是引力非常大的天体，光以 3108 m/s 的速度都不能从其表面逃逸。第 22 讲 万有引力定律及其应用考点一 开普勒行星运动定律开普勒行星运动三大定律火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( )A太阳位于木星运行轨道的中心B火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等C火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的
4、立方D相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积解析 本题考查开普勒行星运动定律，意在考查考生对开普勒三大定律的理解。由于火星和木星在椭圆轨道上运行，太阳位于椭圆轨道的一个焦点上，A 错误；由于火星和木3星在不同的轨道上运行，且是椭圆轨道，速度大小变化，火星和木星的运行速度大小不一定相等，B 错误；由开普勒第三定律可知， k，得 ，C 正确；由于火星R3火T2火 R3木T2木 T2火T2木 R3火R3木和木星在不同的轨道上，因此 D 错误。答案 C方法感悟1 行星或卫星绕中心天体的运动轨道通常近似按圆轨道处理。2 开普勒行星运动定律也适用于其他天体，如嫦娥绕月、卫星绕地球
5、的运动。(3)开普勒第三定律 k 中， k 值只与中心天体的质量有关，与行星质量无关；对于a3T2不同的中心天体， k 值一般不同。对于圆轨道，轨道半长轴 a，就是圆轨道半径 R。1(2016全国卷)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( )A开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律B开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律C开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因D开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律答案 B解析 开普勒在前人观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，与牛顿定律无联系，A 错误，B 正确；开普勒总结出了行星运动的规律，但
6、没有找出行星按照这些规律运动的原因，C 错误；牛顿发现了万有引力定律，D 错误。2. (2017全国卷)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动， P 为近日点， Q 为远日点， M、 N 为轨道短轴的两个端点，运行的周期为 T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从 P 经 M、 Q 到 N 的运动过程中( )A从 P 到 M 所用的时间等于T04B从 Q 到 N 阶段，机械能逐渐变大C从 P 到 Q 阶段，速率逐渐变小D从 M 到 N 阶段，万有引力对它先做负功后做正功答案 CD解析 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，4A 错误；从 Q 到 N
7、 阶段，机械能守恒，B 错误；从 P 到 Q 阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C 正确；从 M 到 N 阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D 正确。3(人教版必修 2 P36T4改编)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆。天文学家哈雷曾经在 1682 年跟踪过一颗彗星，他算出这颗彗星轨道的半长轴等于地球公转半径的 18 倍，并预言这颗彗星将每隔一定时间就会出现。哈雷的预言得到证实，该彗星被命名为哈雷彗星。哈雷彗星最近出现的时间是 1986 年，请你根据开普勒行星运动第三定律估算，该星下次飞经地球是哪一年？答案 206
8、2 年解析 将地球的公转轨道看成圆轨道，其周期 T11 年，半径为 r1；设哈雷彗星的周期为 T2，轨道半长轴为 a2，则根据开普勒第三定律 k，有： 。因为 a218 r1，a3T2 r31T21 a32T2所以可知哈雷彗星的周期为 T2 76.4 年，则下次为 2062 年。a32T1r31考点二 万有引力定律的理解和应用1万有引力定律(1)内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成 正比，与它们之间距离 r 的平方成 反比。01 02 (2)表达式： F G ，其中 G 为引力常量， G6.6710 11 Nm2/kg2。
9、 卡文迪03 m1m2r2 04 许第一个通过实验精确测量出 G 值。(3)适用条件：严格地说，公式只适用于 质点间的相互作用，当两个物体间的距离05 远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。质量分布均匀的球体可视为质点，其中 r06 是 两球心间的距离。对于一个质量分布均匀的球体与球外一个质点间的万有引力， r 为07 球心到质点的距离。08 2万有引力理论的主要成就(1)发现未知天体。(2)计算天体质量。理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的实心球体， O 为球心，以 O 为原点建立坐标轴 Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假
10、设它能够在地球内部移动)在 x 轴上各位置受到的引力大小用 F 表示，则 F 随 x 的变化关系图正确的是( )5解析 根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的球内离球心 x 处时，受到地球的万有引力即为半径等于 x 的球体对质点的万有引力，所以 F G G x。当质点在地球球面或球面以外，离球心 x 处时，受到地球的万 4 x33 mx2 4 m3有引力，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力 F G 。当 xR 时， FMmx2与 x 成正比，当 x R 后， F 与 x 的平方成反比。所以 A 正确。答案 A方法感悟(1)在匀质球层的空腔内任意位置处，
11、质点受到球壳万有引力的合力为零。(2)在匀质球体内部距球心 r 外，质点受到的万有引力等于半径为 r 的球体对它的引力。(3)万有引力定律的表达式 F G 适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物m1m2r2体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。这是“分割求和”的思想方法，此处的“和”是矢量和。61对于万有引力定律的数学表达式 F G ，下列说法中正确的是( )m1m2r2A牛顿发现了万有引力定律， 并第一个通过实验精确测量出引力常量 G 的大小B r 趋近于 0 时，万有引力趋于无穷大C质量为 m1、 m2的物
12、体受到的万有引力总是大小相等D质量为 m1、 m2的物体受到的万有引力总是大小相等，方向相反，是一对平衡力答案 C解析 牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许第一个通过实验精确测量出引力常量 G 的大小，A 错误；万有引力定律的表达式 F G ，适用于两个质点之间的计算，当 r0 时，m1m2r2两个物体都不能看成质点，上式不再成立，B 错误；两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，作用在两个物体上，C 正确、D 错误。2假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(
13、)A1 B1dR dRC. 2 D. 2(R dR ) ( RR d)答案 A解析 如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零。设地面处的重力加速度为 g，地球质量为 M，地球表面的物体 m 受到的重力近似等于万有引力，故 mg G ；设矿井底部处的重力加速度为 g，等效“地球”的质量为MmR2M，其半径 r R d，则矿井底部处的物体 m 受到的重力 mg G ，又 M V M mr2 R3， M V ( R d)3，联立解得 1 ，A 正确。43 43 gg dR3. 如图所示，有一个质量为 M，半径为 R，密度均匀的大球体。从中挖去一个半径为7的小球体，
14、并在空腔中心 O 处放置一质量为 m 的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万R2有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)( )A G B0 C4 G D GMmR2 MmR2 Mm2R2答案 D解析 若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对 O 处质点的吸引力等于完整大球体对 O 处质点的吸引力与挖去小球体对 O 处质点的吸引力之差，挖去的小球体球心与O 处质点重合，对 O 处质点的万有引力为零，则剩余部分对 O 处质点的万有引力等于完整大球体对 O 处质点的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为 的球，易知其质量为R2M，剩余均匀球壳对 O 处质点的万有引力为零，故剩
15、余部分对 O 处质点的万有引力等于分18离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律， F G G ，故 D 正确。18Mm(R2)2 Mm2R24两艘轮船，质量都是 1.0104 t，相距 10 km 时它们之间的引力是多大，这个力与轮船所受重力的比值是多少？( g 取值为 10 N/kg)答案 6.6710 5 N 6.6710 13解析 轮船之间的引力 F G 6.6710 11 m1m2r2 1.01071.0107 10103 2N6.6710 5 N轮船重力 G mg1.010 8 N引力与重力的比值 6.6710 13 。FG考点三 计算天体质量与密度1万有引力定律从动力学角度解决了
16、天体运动问题。天体运动与地面上物体的运动遵循相同的动力学规律。行星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力。运用万有引力定律不仅可以计算太阳和地球的质量，还8可以计算其他天体的质量，根据不同的已知条件可以选用不同的公式计算中心天体的质量。2根据质量与密度的关系 M R3可知，在已知天体半径 R 和天体质量 M 的条43件下，可以计算天体的密度。3下表列出了我们常见的计算天体质量和密度的方法9“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为 200 km 的圆形轨道上运行，运行周期为 127 min。已知引力常量 G6.6710 11 N
17、m2/kg2，月球半径约为1.74103 km。利用以上数据估算月球的质量约为( )A8.110 10 kg B7.410 13 kgC5.410 19 kg D7.410 22 kg解析 由 G m r 得 M ，又 r R 月 h，代入数据得月球质量Mmr2 4 2T2 4 2r3GT2M7.410 22 kg，D 正确。答案 D方法感悟1天体半径和卫星的轨道半径通常把天体看成一个球体，天体的半径指的是球体的半径。卫星的轨道半径指的是卫星围绕天体做圆周运动的圆的半径。卫星的轨道半径大于等于天体的半径。2自转周期和公转周期自转周期是指天体绕自身某轴线运动一周所用的时间，公转周期是指卫星(或行
18、星)绕中心天体做圆周运动一周所用的时间。自转周期与公转周期一般不相等。(人教版必修 2 P43T3改编)经测定月地距离为 3.84108 m，月球绕地球运动的周期为 2.36106 s，试计算地球质量。( G6.6710 11 Nm2/kg2)答案 6.0110 24 kg解析 月球与地球间的万有引力提供月球绕地球运动的向心力F G ， F m 2rM地 mr2 (2T)G m 2r， M 地 6.0110 24 kg。M地 mr2 (2T) 4 2r3GT2考点四 天体表面的重力加速度问题1物体的重力是地球对物体万有引力的一个分力在地球表面上的物体所受的万有引力 F 可以分解成物体所受的重力
19、 G 和随地球自转而做圆周运动的向心力 F，如图所示。其中 F G ，而 F m 2r。除赤道和两极点外，MmR2重力与万有引力的大小、方向皆不同。10(1)物体在赤道上时， F、 G、 F三力同向，此时 F达最大值，重力达最小值，则：Gmin F F G m 2R。MmR2(2)物体在两极的极点时， F0， F G，此时重力等于万有引力，重力达到最大值，此最大值为 Gmax G 。MmR22不考虑地球自转时，重力等于万有引力(1)设在地球表面附近的重力加速度为 g，则mg G ，得 g 。MmR2 GMR2(2)设在地球上空距离地面高度为 h 处的重力加速度为 g，则mg ，得 gGMm R
20、 h 2 GM R h 2所以 。gg R h 2R2据美国宇航局消息，在距离地球 40 光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星，假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度 10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有 1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(取 g10 m/ s2)( )A52 B25 C110 D101解析 根据 h 和 g 可得， M ，即 R3 ，行星平均密度v202g GMR2 R2v202Gh 43 R2v202Gh ，在地球表面以初速度 10 m/s 竖直上抛一个小球可到达的最大高度 h 地 3v208 G
21、Rh 1Rh5 m。据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为 101，D 正确。v202g地答案 D方法感悟(1)重力是万有引力的一个分力，另一个分力则是提供物体随地球自转做圆周运动的向11心力，由于向心力很小(可忽略)，一般认为重力等于万有引力，即 mg 。这样重力加GMmR2速度就与星体质量、半径联系在一起了。密度公式： 在这部分经常用到。MV(2)在地球上所有只在重力作用下的运动形式，例如：自由落体运动、竖直上抛运动、平抛、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适合于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度的取值不同而已。1(多选)假如地球自转角速度增大，关于物体所受的重力，下
22、列说法正确的是( )A放在赤道地面上物体的万有引力不变B放在两极地面上的物体的重力不变C放在赤道地面上物体的重力减小D放在两极地面上物体的重力增加答案 ABC解析 地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，A 正确；在两极，物体受到的万有引力等于其重力，则其重力不变，B 正确、D 错误；而对于放在赤道地面上的物体，F 万 G 重 m 2R，由于 增大，则 G 重 减小，C 正确。2宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一些完全失重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则飞船所在处的重力加速度大小为( )A
23、0 B.GM R h 2C. D.GMm R h 2 GMh2答案 B解析 飞船受到的万有引力等于在该处所受的重力，即 G mg，得 gMm R h 2，B 正确。GM R h 23若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处，以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为 2 。已知该行星质量约为地球的 7 倍，地7球的半径为 R。由此可知，该行星的半径约为( )A. R B. R C2 R D. R12 72 72答案 C解析 平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，即 x v0t，在竖直方向上做自由落体运动，即 h gt2，所以 x v0 ，两种情况下，抛出的速度相同，高度
24、相同，所以 12 2hg g行g地12 ，根据公式 G mg 可得 g ，故 ，解得 R 行 2 R，故 C 正确。x2地x2行 74 MmR2 GMR2 g行g地M行R2行M地R2地 74课后作业巩固强化练1(多选)下列说法正确的是( )A关于公式 k 中的常量 k，它是一个与中心天体有关的常量r3T2B开普勒定律只适用于太阳系，对其他恒星系不适用C已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，则可判定金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离D发现万有引力定律和测出引力常量的科学家分别是开普勒、伽利略答案 AC解析 公式 k 中的 k 是一个与中心天体有关的常量，A 正确；开普勒定律不仅适用
25、r3T2于太阳系，对其他恒星系也适用，B 错误；已知金星绕太阳公转的周期小于地球绕太阳公转的周期，由 k 可知金星到太阳的距离小于地球到太阳的距离，C 正确；发现万有引力r3T2定律和测出引力常量的科学家分别是牛顿和卡文迪许，D 错误。2设宇宙中某一小行星自转较快，但仍可近似看成质量分布均匀的球体，半径为 R。宇航员用弹簧测力计称量一个相对自己静止的小物体的重量，第一次在极点处，弹簧测力计的读数为 F1 F0；第二次在赤道处，弹簧测力计的读数为 F2 。假设第三次在赤道平F02面内深度为 的隧道底部，示数为 F3；第四次在距行星表面高度为 R 处绕行星做匀速圆周R2运动的人造卫星中，示数为 F
26、4。已知均匀球壳对壳内物体的引力为零，则以下判断正确的是( )A F3 、 F4 B F3 、 F40F04 F04 F04C F3 、 F40 D F34 F0、 F415F04 F04答案 B解析 设该行星的质量为 M，则质量为 m 的物体在极点处受到的万有引力：F1 F0。GMmR2在赤道处，弹簧测力计的读数为 F2 ，则向心力：F02Fn2 F1 F2 F0 m 2R。12由于球体的体积公式为： V4 r3313所以半径 以内的部分的质量为： M M MR2 (R2)3R3 18物体在 处受到的万有引力： F3 F1 F0R2 GM m(R2)2 12 12物体需要的向心力： Fn3
27、m 2 m 2R F0，R2 12 14所以在赤道平面内深度为 的隧道底部，示数为：R2F3 F3 Fn3 F0 F0 F0。12 14 14第四次在距行星表面高度为 R 处绕行星做匀速圆周运动的人造卫星中时，物体受到的万有引力恰好提供向心力，所以弹簧测力计的示数为 0，故 B 正确。3一卫星沿某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为 v。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为 m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N。已知引力常量为 G，则这颗行星的质量为( )A. B. C. D.mv2GN mv4GN Nv2Gm Nv4Gm答案 B解析 设行星的质量为 M、半径为
28、 R，行星表面的重力加速度为 g，卫星的质量为m，由万有引力提供向心力，得 G m ；MmR2 v2R在行星表面万有引力等于重力，即 G m g；MmR2由已知条件 N mg 得 g ；Nm联立以上三式可得 R ， M ，故 B 正确。mv2N mv4GN4. 如图所示，在半径为 R 的铅球中挖出一个球形空穴，空穴直径为 R 且与铅球相切，并通过铅球的球心。在未挖出空穴前铅球质量为 M。求挖出空穴后的铅球与距铅球球心距离为 d、质量为 m 的小球(可视为质点)间的万有引力。14答案 GMm 7d2 8dR 2R28d2(d R2)2解析 可以用“补偿法”进行等效计算。设挖出空穴前铅球与小球间的
29、万有引力为F1，挖出的球形实体质量为 M，与小球间的万有引力为 F2，铅球剩余部分与小球间的万有引力为 F，则有 F1 F F2。设挖出空穴前铅球的体积为 V，挖出的球形实体体积为V，则 M M M ，VV43 (R2)343 R3 M8根据万有引力定律可得F1 G ，Mmd2F2 G ，GM m(d R2)2Mm8(d R2)2故挖出空穴后的铅球与小球间的万有引力F F1 F2 G GMmd2 Mm8(d R2)2 。GMm 7d2 8dR 2R28d2(d R2)2真题模拟练5(2018全国卷)为了探测引力波， “天琴计划”预计发射地球卫星 P，其轨道半径约为地球半径的 16 倍；另一地球
30、卫星 Q 的轨道半径约为地球半径的 4 倍。 P 与 Q 的周期之比约为( )A21 B41 C81 D161答案 C解析 设地球半径为 R，根据题述，地球卫星 P 的轨道半径为 RP16 R，地球卫星 Q 的轨道半径为 RQ4 R，根据开普勒第三定律知， 64，所以 P 与 Q 的周期之比为T2PT2Q R3PR3QTP TQ81，C 正确。6(2015江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。 “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为 4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的 。该中心恒星与太阳
31、的质120量比约为( )A. B1 C5 D10110答案 B15解析 行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，故有 G m r 可Mmr2 4 2T2得 M ，则 3 2 3 21，B 正确。4 2r3GT2 M1M2 (r1r2) (T2T1) (120) (3654)7(2018全国卷)2018 年 2 月，我国 500 m 口径射电望远镜(天眼)发现毫秒脉冲星“J03180253” ，其自转周期 T5.19 ms，假设星体为质量均匀分布的球体，已知万有引力常量为 6.671011 Nm2/kg2。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为( )A510 9 kg/m3 B51
32、0 12 kg/m3C510 15 kg/m3 D510 18 kg/m3答案 C解析 设脉冲星质量为 M，密度为 ，星体表面一物块质量为 m，根据天体运动规律知： m 2R， ，代入可得： min 510 15 kg/m3，故 C 正确。GMmR2 (2T) MV M43 R3 3GT28(2018北京高考)若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”遵循同样的规律，在已知月地距离约为地球半径 60 倍的情况下，需要验证( )A地球吸引月球的力约为地球吸引苹果的力的1602B月球公转的加速度约为苹果落向地面加速度的1602C自由落体在月球表面的加速度约为地球表面的16D苹果在月球表面
33、受到的引力约为在地球表面的160答案 B解析 设月球质量为 M 月 ，地球质量为 M，苹果质量为 m，则月球受到的万有引力为 F月 ，苹果受到的万有引力为 F ，由于月球质量和苹果质量之间的关系未知，GMM月 60r 2 GMmr2故二者之间万有引力的关系无法确定，故 A 错误；根据牛顿第二定律 M 月 a 月 ，GMM月 60r 2 ma，整理可以得到 a 月 a，故 B 正确；在月球表面处GMmr2 1602G m g 月 ，由于月球本身的半径大小未知，故无法求出月球表面和地面表面重M月 mr2月力加速度的关系，故 C 错误；苹果在月球表面受到的引力为 F G ，由于月球本身的M月 mr2
34、月半径大小未知，故无法求出苹果在月球表面受到的引力与地球表面引力之间的关系，故 D错误。9(2017北京高考)利用引力常量 G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是( )A地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)B人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期C月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离16D地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离答案 D解析 A 能：根据 G mg 可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量。MmR2B 能：根据 G 及 v 可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度MmR2 mv2R 2 RT及周期可计算出地球的质量。C 能：
35、根据 G m r 可知，已知月球绕地球做圆周运动Mmr2 4 2T2的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量。D 不能：已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量。10. (2018武汉模拟)我国在 2018 年 12 月发射“嫦娥四号”月球探测器。探测器经过多次变轨，最终降落到月球表面上。如图所示，轨道为圆形轨道，其半径为 R；轨道为椭圆轨道，半长轴为 a，半短轴为 b。如果把探测器与月球的连线扫过的面积与其所用时间的比值定义为扫过的面积速率，则探测器绕月球运动过程中在轨道和轨道上扫过的面积速率之比是(已知椭圆的面积 S ab)( )A.
36、B. C. D.abR Ra aRb bRa答案 C解析 设探测器在轨道上运动的周期为 T1，在轨道上运动的周期为 T2，则在轨道上扫过的面积速率为： ，在轨道上扫过的面积速率为： ，由开普勒第三定律 R2T1 abT2可知： ，由以上三式联立解得， ，故 C 正确。R3T21 a3T2 R2T1 abT2 R2ab T2T1 R2ab a3R3 aRb11(2018高密模拟)据报道，科学家们在距离地球 20 万光年外发现了首颗系外“宜居”行星。假设该行星质量约为地球质量的 6.4 倍，半径约为地球半径的 2 倍。那么，一个在地球表面能举起 64 kg 物体的人，在这个行星表面能举起的物体的质
37、量约为多少(地球表面重力加速度 g10 m/ s2)( )A40 kg B50 kg C60 kg D30 kg答案 A17解析 在地球表面，万有引力等于重力 mg，得 g ，因为行星质量约为地球质GMmR2 GMR2量的 6.4 倍，其半径是地球半径的 2 倍，则行星表面重力加速度是地球表面重力加速度的1.6 倍，而人的举力认为是不变的，则人在行星表面所举起的重物质量为： m m01.6 641.6kg40 kg，故 A 正确。12(2018西安模拟)(多选)欧洲航天局的第一枚月球探测器“智能 1 号”环绕月球沿椭圆轨道运动，用 m 表示它的质量， h 表示它在近月点的高度， 表示它在近月点
38、的角速度， a 表示它在近月点的加速度， R 表示月球的半径， g 表示月球表面处的重力加速度。忽略其他星球对“智能 1 号”的影响，则它在近月点所受月球对它的万有引力的大小等于( )A ma B mR2g R h 2C m(R h) 2 D mR2 2R h答案 AB解析 “智能 1 号”在近月点所受月球对它的万有引力，即为它所受的合力，由牛顿第二定律得 F ma，A 正确；由万有引力定律得 F G ，又在月球表面上，Mm R h 2G mg，解得 F m ，B 正确；由于“智能 1 号”环绕月球沿椭圆轨道运动，曲MmR2 R2g R h 2率圆半径不是 R h，C、D 错误。13(2018
39、宝鸡一模)宇航员在某星球上为了探测其自转周期做了如下实验：在该星球两极点，用弹簧秤测得质量为 M 的砝码所受重力为 F，在赤道测得该砝码所受重力为F。他还发现探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为 T。假设该星球可视为质量分布均匀的球体，则其自转周期为( )A T B TFF FFC T D TF FF FF F答案 D解析 设星球和探测器质量分别为 m、 m，在两极点，有： G F，在赤道，有： GMmR2 F MR ，探测器绕该星球表面做匀速圆周运动的周期为 T，则有： G m RMmR2 4 2T2自 mmR2；联立以上三式解得 T 自 T 。故 D 正确，A、B、C 错误。4 2T2
40、 FF F14. (2018东北三省四市一模)开普勒第三定律指出：所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。该定律对一切具有中心天体的引力系统都成立。如图，嫦娥三号探月卫星在半径为 r 的圆形轨道上绕月球运行，周期为 T。月球的半径为 R，引力常量为 G。某时刻嫦娥三号卫星在 A 点变轨进入椭圆轨道，在月球表面的18B 点着陆。A、 O、B 三点在一条直线上。求：(1)月球的密度；(2)在轨道上运行的时间。答案 (1) (2) 3 r3GT2R3 R r T4r R r2r解析 (1)由万有引力充当向心力： m 2r，GMmr2 (2T)解得 M4 2r3GT2月球的密度： ，解得 。M43 R3 3 r3GT2R3(2)椭圆轨道的半长轴： a ，R r2设椭圆轨道上运行周期为 T1，由开普勒第三定律有： ，a3T21 r3T2在轨道上运行的时间为 t ，T12解得 t 。 R r T4r R r2r19
