1、1第 20 讲 水平面内的圆周运动考点一 圆锥摆类圆周运动1向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力。2几种典型运动模型运动模型 向心力的来源图示飞机水平转弯火车转弯圆锥摆飞车走壁2汽车在倾斜路面转弯3 “一、二、三、四”求解圆周运动问题如图所示，用一根长为 l1 m 的细线，一端系一质量为 m1 kg 的小球(可视为质点)，另一端固定在一光滑锥体顶端，锥面与竖直方向的夹角 37，当小球在水平面内绕锥体的轴做匀速圆周运动的角速度为 时，细线的张力为 FT(sin370.6，co s
2、370.8, g 取 10 m/s2，结果可用根式表示)。求：3(1)若要小球离开锥面，则小球的角速度 0至少为多大？(2)若细线与竖直方向的夹角为 60，则小球的角速度 为多大？解析 (1)若要小球刚好离开锥面，则小球受到重力和细线拉力，如图所示。小球做匀速圆周运动的轨迹圆在水平面上，故向心力水平，在水平方向运用牛顿第二定律及向心力公式得 mgtan m lsin20解得 20glcos即 0 rad/s。glcos 522(2)同理，当细线与竖直方向成 60角时，由牛顿第二定律及向心力公式得mgtan m 2lsin解得 2glcos即 2 rad/s。glcos 5答案 (1) rad/
3、s (2)2 rad/s522 5方法感悟(1)圆锥摆类圆周运动问题，关键是确定轨道圆心、半径及有关物理量，然后再对物体进行受力分析求解。(2)当转速变化时，往往会出现一些临界状况，如绳子松弛或拉紧，绳子突然断裂，物体脱离接触面，摩擦力方向改变、达到极值，弹簧的弹力大小或方向发生变化等，要仔细分析。41. (多选)如图所示，在固定的圆锥形漏斗的光滑内壁上，有两个小球 A 和 B，质量分别为 mA和 mB，它们分别紧贴漏斗的内壁在不同的水平面上做匀速圆周运动。则以下叙述正确的是( )A只有当 mAmB时，小球 A 的角速度才会大于小球 B 的角速度B不论 A、B 的质量关系如何，小球 A 的线速
4、度始终大于小球 B 的线速度C不论 A、B 的质量关系如何，小球 A 对漏斗内壁的压力始终大于小球 B 对漏斗内壁的压力D不论 A、B 质量关系如何，小球 A 的周期始终大于小球 B 的周期答案 BD解析 对 A、B 两球中任意一球进行受力分析，小球只受重力和漏斗给的支持力 FN。如图所示，设内壁与水平面的夹角为 。根据牛顿第二定律有： mgtan m 2r m mv2rr，则得 ， v ， T2 。可知，小球的轨道半径越大4 2T2 gtanr grtan rgtan角速度越小，线速度越大，周期越大，与两球质量大小无关。所以 A 的角速度小于 B 的角速度，A 的线速度大于 B 的线速度，A
5、 的周期始终大于 B 的周期，故 A 错误，B、D 正确；支持力 FN ， 相同，知两球所受的支持力与质量成正比，故 C 错误。mgcos52铁路转弯处的弯道半径 r 是根据地形确定的，弯道处要求外轨比内轨高，内外轨的高度差 h 的设计不仅与 r 有关，还与火车在弯道上的行驶速率有关。下表是铁路设计人员技术手册中弯道半径 r 及与之对应的内外轨的高度差 h 的部分数据关系：( g 取 10 m/s2)弯道半径 r/m 660 330 220 165 132 110内外轨的高度差 h/mm 50 100 150 200 250 300(1)根据表中数据，推导出 h 和 r 关系的表达式，并求出
6、r550 m 时 h 的值；(2)铁路建成后，火车通过弯道时，为保证绝对安全，要求内外轨均不向车轮施加侧向压力。已知我国铁路内外轨的间距设计值 L1435 mm，结合表中的数据，算出我国火车的转弯速率 v(以 km/h 为单位，结果取整数。当 很小时 tan sin )；(3)为了提高运输能力，国家不断对火车进行提速，这就要求火车转弯速率也提高。请根据上述计算原理和表格中的数据分析提速时应采取怎样的有效措施。答案 (1) hr33 m 2 60 mm (2)55 km/h(3)见解析解析 (1)由题表中数据可知，每组的 h 与 r 之积为常数，即 hr6605010 3 m233 m 2所以当
7、 r550 m 时 h60 mm。(2)当内外轨对车轮都没有侧向压力时，对火车的受力分析如图所示。则 F mgtan mv2r因为 很小， tan sin hL所以 v m/sghrL 1033143510 315.2 m/ s55 km/h。(3)由前面的计算可知，可采取的有效措施有：适当增大内外轨的高度差 h；适当增大铁路弯道的轨道半径 r。考点二 水平转盘上物体的圆周运动61在水平面上物体做圆周运动时，提供向心力的力可能是摩擦力、绳子的拉力、弹簧的弹力、杆的拉力(支持力)等，根据题意找出条件去判定。2临界极值分析物体间恰好不发生相对滑动的临界条件是物体间恰好达到最大静摩擦力，如果只是摩擦
8、力提供向心力，则有 Fm ，静摩擦力的方向一定指向圆心；如果除摩擦力以外还有mv2r其他力，具体问题再具体分析。(2014全国卷)(多选)如图，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b(可视为质点)放在水平圆盘上， a 与转轴 OO的距离为 l， b 与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍，重力加速度大小为 g。若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法正确的是( )A b 一定比 a 先开始滑动B a、 b 所受的摩擦力始终相等C 是 b 开始滑动的临界角速度kg2lD当 时， a 所受摩擦力的大小为 kmg2kg3l解析 因圆盘从
9、静止开始绕转轴缓慢加速转动，在某一时刻可认为，小木块随圆盘转动时，其受到的静摩擦力的方向指向转轴，充当向心力，两木块转动过程中角速度相等，则根据牛顿第二定律可得 f m 2R，由于小木块 b 的轨道半径大于小木块 a 的轨道半径，故小木块 b 做圆周运动需要的向心力较大，先达到最大静摩擦力而滑动，B 错误，A 正确；当 b 将要滑动时，由牛顿第二定律可得 kmg m 2l，可得 b ，C 正确；当 a 开2bkg2l始滑动时，由牛顿第二定律可得 kmg m l，可得 a ，而转盘的角速度 2akgl 2kg3l，小木块 a 未发生滑动，其所需的向心力由静摩擦力来提供，由牛顿第二定律可得kglf
10、 m 2l kmg，D 错误。237答案 AC方法感悟1物体随水平转盘做圆周运动，通常是静摩擦力提供向心力，静摩擦力随转速的增大而增大，当静摩擦力增大到最大静摩擦力时，物体达到保持圆周运动的最大速度。若转速继续增大，物体将做离心运动。2水平面内圆周运动临界问题的分析技巧(1)在水平面内做圆周运动的物体，当角速度 变化时，物体有远离或向着圆心运动的趋势。这时要根据物体的受力情况，判断某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪(特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等)。(2)三种临界情况接触与脱离的临界条件：两物体相接触或脱离，临界条件是：弹力 FN0。相对滑动的临界条件：两物体相接触且处于相对静止
11、时，常存在着静摩擦力，则相对滑动的临界条件是：静摩擦力达到最大值。绳子断裂与松弛的临界条件：绳子所能承受的张力是有限度的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是： FT0。(多选)如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体 A 和 B，它们与盘间的动摩擦因数相同，当圆盘转动到两个物体刚好还未发生滑动时，烧断细线，两个物体的运动情况是( )A物体 B 仍随圆盘一起做匀速圆周运动B物体 A 发生滑动，离圆盘圆心越来越远C两物体仍随圆盘一起做圆周运动，不发生滑动D两物体均沿半径方向滑动，离圆盘圆心越来越远答案 AB解析 当圆
12、盘转速加快到两物体刚要发生滑动时，A 物体靠细线的拉力与圆盘的最大静摩擦力的合力提供向心力做匀速圆周运动，所以烧断细线后，A 所受最大静摩擦力不足以提供其做圆周运动所需要的向心力，A 要发生相对滑动，离圆盘圆心越来越远，但是 B所需要的向心力小于 B 的最大静摩擦力，所以 B 仍保持相对圆盘静止状态，故 C、D 错误，A、B 正确。8课后作业巩固强化练1. 山城重庆的轻轨交通颇有山城特色，由于地域限制，弯道半径很小，在某些弯道上行驶时列车的车身严重倾斜。每到这样的弯道乘客都有一种坐过山车的感觉，很是惊险刺激。假设某弯道铁轨是圆弧的一部分，转弯半径为 R，重力加速度为 g，列车转弯过程中倾角(车
13、厢地面与水平面夹角)为 ，则列车在这样的轨道上转弯行驶的安全速度(轨道不受侧向挤压)为( )A. B.gRsin gRcosC. D.gRtan gRcot答案 C解析 由题意画出受力分析图，可知合外力提供向心力，指向水平方向： mgtan m，解得 v ，故 C 正确。v2R gRtan2. (多选)如图所示，在水平转台上放一个质量 M2.0 kg 的木块，它与台面间的最大静摩擦力 fm6.0 N，绳的一端系住木块，另一端穿过转台的光滑中心孔 O 悬吊一质量m1.0 kg 的小球，当转台以 5.0 rad/s 的角速度匀速转动时，欲使木块相对转台静止，则木块到 O 孔的距离可能是(重力加速度
14、 g10 m/ s2，木块、小球均视为质点)( )9A6 cm B15 cm C30 cm D34 cm答案 BC解析 转台以一定的角速度 匀速转动，木块所需的向心力与做圆周运动的轨道半径r 成正比，在离 O 点最近处 r r1时，木块有靠近 O 点的运动趋势，这时摩擦力沿半径向外，刚好达到最大静摩擦力 fm，即 mg fm M 2r1，得 r1 8 cm，同理，木块在mg fmM 2离 O 点最远处 r r2时，有远离 O 点的运动趋势，这时摩擦力的方向指向 O 点，且达到最大静摩擦力 fm，即 mg fm M 2r2，得 r2 32 cm，则木块能够相对转台静止，半mg fmM 2径应满足
15、关系式 r1 r r2。B、C 正确。3. (多选)如图所示，两个质量不同的小球用长度不等的细线拴在同一点，并在同一水平面内做匀速圆周运动，则它们的( )A周期相同B线速度的大小相等C角速度的大小相等D向心加速度的大小相等答案 AC解析 对其中一个小球受力分析，如图所示，受重力、绳子的拉力，由于小球做匀速圆周运动，故合力提供向心力，将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得，合力：F mgtan ；由向心力公式得到， F m 2r ；设绳子与悬挂点间的高度差为 h，由几何关系，得： r htan 。由三式得： ，与绳子的长度和转动半径无gh10关，故 C 正确；又由 T ，周期相同，故 A
16、正确；由 v r ，两球转动半径不等，线速2度的大小不相等，故 B 错误；由 a 2r，两球转动半径不等，向心加速度的大小不相等，故 D 错误。4. 如图所示，水平杆固定在竖直杆上，两者互相垂直，水平杆上 O、A 两点连接有两轻绳，两绳的另一端都系在质量为 m 的小球上， OA OBAB。现通过转动竖直杆，使水平杆在水平面内做匀速圆周运动，三角形 OAB 始终在竖直平面内，若转动过程 OB、AB 两绳始终处于拉直状态，则下列说法正确的是( )A OB 绳的拉力范围为 0 mg33B OB 绳的拉力范围为 mg mg33 233CAB 绳的拉力范围为 mg mg33 233DAB 绳的拉力范围为
17、 0 mg233答案 B解析 当转动的角速度为零时， OB 绳的拉力最小，AB 绳的拉力最大，这时两者的值相同，设为 F1，则 2F1cos30 mg， F1 mg，增大转动的角速度，当 AB 绳的拉力刚好等于3311零时， OB 绳的拉力最大，设这时 OB 绳的拉力为 F2，则 F2cos30 mg， F2 mg，因此233OB 绳的拉力范围为 mg mg，AB 绳的拉力范围为 0 mg，B 正确。33 233 335. 如图所示， “旋转秋千”中的两个座椅 A、B 质量相等，通过相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下列说法正确的是( )
18、AA 的速度比 B 的大BA 与 B 的向心加速度大小相等C悬挂 A、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等D悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小答案 D解析 设转动时，座椅悬点到转轴距离为 d，绳长为 l，与竖直方向的夹角为 ，则mgtan m(d lsin ) 2，整理得 d tan lsin ，由此可知 d 越大， 越大，g 2C 错误； v r ( d lsin ) ， d 越大， 越大，则 v 越大，A 错误；向心加速度a gtan ，B 错误；绳的拉力 T ，故悬挂 A 的缆绳所受拉力较小，D 正确。mgcos真题模拟练6. (2016浙江高考)(多选)如图所示为赛车场的一个水平“梨
19、形”赛道，两个弯道分别为半径 R90 m 的大圆弧和 r40 m 的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心O、 O距离 L100 m。赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重12力的 2.25 倍。假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动。要使赛车不打滑且绕赛道一圈时间最短(发动机功率足够大，重力加速度 g10 m/s2，3.14)，则赛车( )A在绕过小圆弧弯道后加速B在大圆弧弯道上的速率为 45 m/sC在直道上的加速度大小为 5.63 m/s2D通过小圆弧弯道的时间为 5.58 s答案 AB解析 赛车做圆周运动时，由 F 知，在小圆弧上的速度小，故赛车绕
20、过小圆弧后mv2R加速，A 正确；在大圆弧弯道上时，根据 F m 知，其速率 v 45 v2R FRm 2.25mgRmm/s，B 正确；同理可得在小圆弧弯道上的速率 v30 m/s。如图所示，由边角关系可得 60，直道的长度 x Lsin6050 m，据 v2 v 22 ax 知在直道上的加速度3a6.50 m/s2， C 错误；小弯道对应的圆心角为 120，弧长为 s ，对应的运动时间2 r3t 2.79 s，D 错误。sv7(2018兰化一中模拟) 如图所示， “旋转秋千”中座椅(可视为质点)通过轻质缆绳悬挂在旋转圆盘上。当旋转圆盘以角速度 匀速转动时，不计空气阻力，缆绳延长线与竖直中心
21、轴相交于 O 点，夹角为 ， O 点到座椅的竖直高度为 h，则当 增大时( )13A h 不变 B 减小C 2h 不变 D 2h 增大答案 C解析 对座椅受力分析如图所示，根据牛顿第二定律可得 mgtan m 2htan ，解得： g 2h，则当 增大时， h 减小， 变大， 2h 不变，故选 C。8. (2018三门峡陕州中学专训)在玻璃管中放一个乒乓球后注满水，然后用软木塞封住管口，将此玻璃管固定在转盘上，管口置于转盘转轴处，处于静止状态。当转盘在水平面内转动时，如图所示，则乒乓球会(球直径比管直径略小)( )A向管底运动 B向管口运动C保持不动 D无法判断答案 B14解析 开始时，玻璃管
22、壁的摩擦力不足以提供水做圆周运动时所需要的向心力，所以水被“甩”到外侧管底才能随转盘进行圆周运动，则乒乓球在水的作用下向管口运动，故B 正确。9. (2018宝鸡一模)(多选)如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒固定在地面上，圆锥筒的轴线竖直。一个小球贴着筒的内壁在水平面内做圆周运动，由于微弱的空气阻力作用，小球的运动轨迹由 A 轨道缓慢下降到 B 轨道，则在此过程中( )A小球的向心加速度逐渐减小B小球运动的角速度逐渐减小C小球运动的线速度逐渐减小D小球运动的周期逐渐减小答案 CD解析 以小球为研究对象，对小球受力分析，小球受力如图所示。由牛顿第二定律得： ma m mr 2，可知在 A、B 轨道
23、的向心力大小相等， a ，向心加速度不mgtan v2r gtan变，故 A 错误。角速度 ，由于半径减小，则角速度变大，故 B 错误。线速度grtanv ，由于半径减小，线速度减小，故 C 正确。周期 T ，角速度增大，则周期grtan 2减小，故 D 正确。10. (2018武汉华中师大附中模拟)如图所示，一根细线下端拴一个金属小球 A，细15线的上端固定在金属块 B 上，B 放在带小孔的水平桌面上，小球 A 在某一水平面内做匀速圆周运动。现使小球 A 改到一个更低一些的水平面上做匀速圆周运动(图上未画出)，金属块 B 在桌面上始终保持静止，则后一种情况与原来相比较，下面的判断中正确的是(
24、 )A金属块 B 受到桌面的静摩擦力变大B金属块 B 受到桌面的支持力变小C细线的张力变大D小球 A 运动的角速度减小答案 D解析 设 A、B 质量分别为 m、 M，A 做匀速圆周运动的向心加速度为 a，细线与竖直方向的夹角为 ，对 B 研究，B 受到的摩擦力 f Tsin ，对 A，有Tsin ma， Tcos mg，解得 a gtan ， 变小， a 减小，则静摩擦力变小，故 A 错误；以整体为研究对象知，B 受到桌面的支持力大小不变，应等于( M m)g，故 B 错误；细线的拉力 T ， 变小， T 变小，故 C 错误；设细线长为 l，则mgcosa gtan 2lsin ， ， 变小，
25、 变小，故 D 正确。glcos11. (2018晋江月考)如图所示，AB 为竖直转轴，细绳 AC 和 BC 的结点 C 系一质量为m 的小球，两绳能承受的最大拉力均为 2mg。当细绳 AC 和 BC 均拉直时ABC90，ACB53，BC1 m。细绳 AC 和 BC 能绕竖直轴 AB 匀速转动，因而小球在水平面内做匀速圆周运动。当小球的线速度增大时，两绳均会被拉断，则最先被拉断的那根绳及另一根绳被拉断时的速度分别为(重力加速度 g10 m/ s2， sin530.8，co s530.6)( )16AAC 5 m/ s BBC 5 m/ sCAC 5.24 m/ s DBC 5.24 m/ s答
26、案 B解析 当小球线速度增至 BC 被拉直后，由牛顿第二定律可得，竖直方向上：TAsinACB mg ，水平方向上： TAcosACB TB m ，由式可得： TA mg，小v2r 54球线速度增大时， TA不变， TB增大，当 BC 绳刚要被拉断时， TB2 mg，由可解得此时，v5.24 m/s； BC 绳断后，随小球线速度增大，AC 绳与竖直方向间夹角增大，设 AC 绳被拉断时与竖直方向的夹角为 ，由 TACcos mg， TACsin m ， r LACsin ，可v 2r解得， 60， LAC m， v5 m/ s，故 B 正确。5312(2018衡水一模)某高速公路的一个出口路段如
27、图所示，情景简化：轿车从出口A 进入匝道，先匀减速直线通过下坡路段至 B 点(通过 B 点前后速率不变)，再匀速率通过水平圆弧路段至 C 点，最后从 C 点沿平直路段匀减速到 D 点停下。已知轿车在 A 点的速度v072 km/h， AB 长 L1150 m；BC 为四分之一水平圆弧段，限速(允许通过的最大速度)v36 km/h，轮胎与 BC 段路面间的动摩擦因数 0.5 ，最大静摩擦力可认为等于滑动摩擦力，CD 段为平直路段长 L250 m，重力加速度 g 取 10 m/s2。(1)若轿车到达 B 点时速度刚好为 v36 km/h，求轿车在 AB 下坡段加速度的大小；(2)为保证行车安全，车
28、轮不打滑，求水平圆弧段 BC 半径 R 的最小值；(3)求轿车从 A 点到 D 点全程的最短时间。答案 (1)1 m/ s2 (2)20 m (3)23.14 s解析 (1) v072 km/h20 m/ s，17AB 长 L1150 m， v36 km/h10 m/ s，对 AB 段匀减速直线运动有 v2 v 2 aL120代入数据解得 a1 m/ s2。(2)汽车在 BC 段做匀速圆周运动，静摩擦力提供向心力， Ff mv2R为了确保安全，则须满足 Ff mg联立解得： R20 m，即： Rmin20 m。(3)设 AB 段时间为 t1，BC 段时间为 t2，CD 段时间为 t3，全程所用最短时间为 t。由运动学规律得 L1 t1v0 v2 Rmin vt212L2 t3v2t t1 t2 t3联立以上各式，代入数据解得： t23.14 s。18
