1、1综合检测一(标准卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 120 分钟，满分 150 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知集合 M2,3,4,5， N x|x25 x40，| | 0)的焦点为 F，已知点 A 和 B 分别为抛物线上的两个动点且满足 AFB120，过弦 AB 的中点 M 作抛物线准线的垂线 MN，垂
2、足为 N，则 的最大值为( )|MN|AB|A. B1C. D.3233 33答案 D解析 如图所示，过 A， B 分别作准线的垂线 AQ， BP，垂足分别为 Q， P，设|AF| a，| BF| b，由抛物线的定义，得| AF| AQ|，| BF| BP|，在梯形 ABPQ 中，2|MN| AQ| BP| a b，由余弦定理得：| AB|2 a2 b22 abcos120 a2 b2 ab，整理得| AB|2( a b)2 ab，因为 ab 2，则( a b)2 ab( a b)2 2 (a b)(a b2 ) (a b2 ) 3452，即| AB|2 (a b)2，所以 3， 所 以 ，
3、即 ， 当 且 仅 当34 |AB|2|MN|234a b214a b2 |AB|MN| 3 |MN|AB| 33a b， 即 |AF| |BF|时 取 等 号 ， 故 选 D.12已知函数 f(x) ， tR，若对任意的 x1,2， f(x) xf( x)恒成lnx x t2x立，则实数 t 的取值范围是( )A(， ) B.2 ( ，32)C(，3) D.( ，94)答案 B解析 f( x) ，x2 lnx 1 t2x2对任意的 x1,2， f( x)x f(x)0 恒成立对任意的 x1,2，0 恒成立2x2 2tx 1x对 任 意 的 x 1,2， 2x2 2tx 1 0 恒 成 立 t
4、 x x 恒 成 立 ， 令 g(x)2x2 12x 12x 12x x ，12x又 g(x) x 在1,2上单调递增， g(x)min g(1) ，12x 32 t .32第卷(非选择题 共 90 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知向量 a(1， )， b(3， m)，且 b 在 a 上的投影为 3，则 a 与 b 的夹角为3_答案 66解析 b 在 a 上的投影为 3，| b|cos a， b| b| 3， m ，cos a， bba|b|a| 3 3m2 3 ，0 a， b，向量 a 与 b 的夹角为 .ab|a|b| 6223
5、32 614定义在 R 上函数 f(x)Error!则不等式 f(x)1 时， f(x)12 12| x3|10)，若函数 f(x)在1,2上为单调函数，则 a 的取值3xa范围是_答案 1，)(0，25解析 f( x) 4 x ，3a 1x若函数 f(x)在1,2上为单调函数，即 f( x) 4 x 0 或 f( x) 4 x 03a 1x 3a 1x在1,2上恒成立，即 4 x 或 4 x 在1,2上恒成立3a 1x 3a 1x令 h(x)4 x ，则 h(x)在1,2上单调递增，1x所以 h(2)或 h(1)，3a 3a7即 或 3，3a 152 3a又 a0，所以 0 a 或 a1.2
6、5三、解答题(本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)在 ABC 中，角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足 b2 c2 bc a2.(1)求角 A 的大小；(2)若等差数列 an的公差不为零， a1cosA1，且 a2， a4， a8成等比数列，求 的前4anan 1n 项和 Sn.解 (1) b2 c2 bc a2，cos A ，b2 c2 a22bc bc2bc 12又 A(0，)， A . 3(2)设 an的公差为 d，由已知得 a1 2，且 a a2a8，1cosA 24(23 d)2(2 d)(27 d)又 d 不为零
7、， d2， an2 n， ，4anan 1 1nn 1 1n 1n 1 Sn (112) (12 13) (1n 1n 1)1 .1n 1 nn 118(12 分)为选拔选手参加“全市高中数学竞赛” ，某中学举行了一次“数学竞赛”活动，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数，满分为100 分)作为样本(样本容量为 n)进行统计按照50,60)，60,70)，70,80)，80,90)，90,100的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在50,60)，90,100的数据)(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x， y 的值；(2)
8、在选取的样本中，从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“全市高中数学竞赛” ，求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率8解 (1)由题意可知，样本容量 n 50，80.01610y 0.004， x0.1000.0040.0100.0160.0400.030.25010(2)由题意可知，分数在80,90)内的学生有 5 人，记这 5 人分别为 a1， a2， a3， a4， a5，分数在 90,100内 的 学 生 有 2 人 ， 记 这 2 人 分 别 为 b1， b2.抽 取 的 2 名 学 生 的 所 有 情 况 有 21 种 ，分
9、 别 为 ：(a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a1， b1)， (a1， b2)， (a2， a3)， (a2， a4)， (a2， a5)，(a2， b1)， (a2， b2)， (a3， a4)， (a3， a5)， (a3， b1)， (a3， b2)， (a4， a5)， (a4， b1)， (a4， b2)，(a5， b1)， (a5， b2)， (b1， b2)其中 2 名同学的分数都不在90,100内的情况有 10 种，分别为：(a1， a2)， (a1， a3)， (a1， a4)， (a1， a5)， (a2， a3)， (a2
10、， a4)， (a2， a5)， (a3， a4)， (a3， a5)，(a4， a5)所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率 P1 .1021 112119(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， AB2 AD2， PD BDAD，且 PD底面 ABCD.3(1)证明： BC平面 PBD；(2)若 Q 为 PC 的中点，求三棱锥 A PBQ 的体积(1)证明 AD2 BD2 AB2， AD BD， AD BC， BC BD.又 PD底面 ABCD， PD BC. PD BD D， PD， BD平面 PBD， BC平面 PBD.9(2)解
11、 三棱锥 A PBQ 的体积 VA PBQ与三棱锥 A QBC 的体积相等，而 VA QBC VQ ABC VP ABC VP ABCD 1 .12 14 14 13 3 3 14三棱锥 A PBQ 的体积 VA PBQ .1420(1 2 分 )已 知 椭 圆 C1： 1(ab0)和 椭 圆 C2： y2 1 的 离 心 率 相 同 ， 且 点x2a2 y2b2 x22( ， 1)在椭圆 C1上2(1)求椭圆 C1的方程；(2)设 P 为椭圆 C2上一点，过点 P 作直线交椭圆 C1于 A， C 两点，且 P 恰为弦 AC 的中点，则当 点 P 变 化 时 ， 试 问 AOC 的 面 积 是
12、 否 为 常 数 ， 若 是 ， 请 求 出 此 常 数 ， 若 不 是 ， 请 说 明 理 由 解 (1)由题知， 1，且 ，即 a24， b22，2a2 1b2 ca 22椭圆 C1的方程为 1.x24 y22(2)是 当直线 AC 的斜率不存在时，必有 P( ，0)，此时| AC|2， S AOC .2 2当直线 AC 的斜率存在时，设其斜率为 k，点 P(x0， y0)，则 AC： y y0 k(x x0)，直线AC 与椭圆 C1联立，得(12 k2)x24 k(y0 kx0)x2( y0 kx0)240，设 A(x1， y1)，C(x2， y2)，则 x0 ，即 x02 ky0，x1
13、 x22 2ky0 kx01 2k2又 x 2 y 2， y ，20 20 2011 2k2S AOC 12 |y0 kx0|1 k2 1 k216k2y0 kx02 41 2k22y0 kx02 41 2k2 2|y0 kx0|21 2k2 y0 kx021 2k2 21 2k2|y0|21 2k2 1 2k22y201 2k2 |y0| .2 1 2k2 2综上， AOC 的面积为常数 .221(12 分)已知函数 f(x)ln x ax， aR.(1)讨论函数 f(x)的单调性；(2)若函数 f(x)的两个零点为 x1， x2，且 e 2，求证：( x1 x2)f( x1 x2) .x2
14、x1 6510(1)解 函数 f(x)ln x ax， aR 的定义域为 x|x0， f( x) a，1x当 a0 时， f( x)0， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0,0 ， f(x)在 上单调递减1x 1a ( 1a， )(2)证明 ln x1 ax10，ln x2 ax20，ln x2ln x1 a(x1 x2)，(x1 x2)f( x1 x2)( x1 x2) a(x1 x2)(1x1 x2 a) x1 x2x1 x2 ln ln ，x1 x2x1 x2 x2x11 x2x11 x2x1 x2x1令 t(te 2)，令 (t) ln t，则 ( t) 0，x2x1 1 t1 t
15、 t2 11 t2t (t)在e 2，)上单调递增， (t) (e2)1 1 .2e2 1 232 1 65请在第 2223 题中任选一题作答22(10 分)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ，直线 l 的参数方程是Error!( t 为参数，4cos1 cos20 0)，且 f(x2)0 的解集为3，1(1)求 m 的值；(2)若 a， b， c 都是正实数，且 m，求证： a2 b3 c9.1a 12b 13c(1)解 依题意 f(x2) m| x2|0，即| x2| m m2 x2 m， m1.(2)证明 1( a， b， c0)，1a 12b 13c a2 b3 c( a2 b3 c)(1a 12b 13c)3 9，(a2b 2ba) (a3c 3ca) (2b3c 3c2b)当且仅当 a2 b3 c，即 a3， b ， c1 时取等号3212
