1、1单元检测八 立体几何(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A25B50C125D都不对答案 B解析 长方体的 8 个顶点都在同一球面上，则这个
2、球是长方体的外接球，所以球直径等于长方体的体对角线长，即 R ，所以球的表面积为32 42 522 5224 R24 250，故选 B.(522)2.如图所示的正方形 O A B C的边长为 1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A6cmB8cmC(23 ) cmD(22 ) cm2 3答案 B解 析 由 斜 二 测 画 法 知 ， 原 图 四 边 形 OABC 为 平 行 四 边 形 ， OB OA， OA 1 cm， OB 2 cm，2所以 AB3cm，因此其周长为(31)28cm.3(2018广东省广州市培正中学模拟)下列命题中，错误的是( )2A平行于同一平
3、面的两个平面平行B平行于同一直线的两个平面平行C一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交D一条直线与两个平行平面所成的角相等答案 B解析 选项 A 正确，是面面平行的传递性选项 B 错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交选项 C 正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾选项 D 正确，由线面角定义可知正确4.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF AB， EF ，且 EF32与面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )A. B5C6
4、D.92 152答案 D解析 分别取 AB， CD 的中点 G， H，连接 EG， GH， EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为 3，三棱柱的体积为 ，所以整个多面体的体积为 .92 1525如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为 1，那么这个几何体的体积为( )A. B. C. D116 12 13答案 A解析 由三视图还原可知，原图形是底面是直角边为 1 的等腰直角三角形，两侧面也是直角边为 1 的等腰直角三角形，另一侧面是边长为 的等边三角形的三棱锥2所以体积为 V 1 ，选 A.13 (1211)
5、1636设 a， b 是异面直线，则以下四个命题：存在分别经过直线 a 和 b 的两个互相垂直的平面；存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面；经过直线 a 有且只有一个平面垂直于直线 b；经过直线 a 有且只有一个平面平行于直线 b，其中正确的个数为( )A1B2C3D4答案 C解析 对于，可以在两个互相垂直的平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，可在两个平行平面中，分别画一条直线，当这两条直线异面时，可判断正确；对于，当这两条直线不垂直时，不存在这样的平面满足题意，可判断错误；对于，假设过直线 a 有两个平面 ， 与直线 b 平行，则平面 ， 相交于直线 a，过
6、直线 b 作一平面 与平面 ， 相交于两条直线 m， n 都与直线 b 平行，可得 a与 b 平行，所以假设不成立，所以正确，故选 C.7(2018广东省广州市培正中学模拟)如图，长方体 ABCDA1B1C1D1 中， DAD145， CDC130，那么异面直线 AD1 与 DC1 所成角的余弦值是( )A. B. C. D.28 38 24 34答案 C解析 由 DAD145， CDC130，可设 AD DD11， CD .连接 BC1， BD.3由 AD1 BC1，所以异面直线 AD1与 DC1所成的角，即 BC1D.在 BDC1中， BC1 ， BD2， C1D2，由余弦定理可得 cos
7、 BC1D 2C1D2 BC21 BD22C1DBC1 ，22 2 22222 24所以异面直线 AD1与 DC1所成角的余弦值是 ，选 C.248 ABC 所在的平面为 ，直线 l AB， l AC，直线 m BC， m AC，则直线 l， m 的位置关系是( )A相交 B平行 C异面 D不确定答案 B解析 l AB， l AC， AB AC A， AB， AC平面 ABC， l平面 ABC. m BC， m AC， BC AC C， BC， AC平面 ABC， m平面 ABC，4 l m，故选 B.9已知 ， 是两个平面，直线 l ， l ，若以 l ； l ； 中两个为条件，另一个为结论
8、构成三个命题，则其中正确的命题有( )A； B； C； D； ； 答案 A解析 因为 ，所以在 内找到一条直线 m，使 m ，又因为 l ，所以 l m.又因为 l ，所以 l ，即 ；因为 l ，所以过 l 可作一平面 n，所以 l n，又因为 l ，所以 n ，又因为 n ，所以 ，即.故选 A.10已知互相垂直的平面 ， 交于直线 l.若直线 m， n 满足 m ， n ，则( )A m lB m nC n lD m n答案 C解析 互相垂直的平面 ， 交于直线 l，直线 m, n 满足 m ， m 或 m 或m 与 相交， n ， l ， n l.故选 C.11.如图，在正方体 ABC
9、D A1B1C1D1 中， M， N 分别为棱 BC 和棱 CC1 的中点，则异面直线AC 与 MN 所成的角为( )A30 B45C60 D90答案 C解析 连接 BC1， AD1， D1C. M， N 分别为 BC， CC1的中点， MN BC1.又易证得 BC1 AD1， MN AD1. D1AC 即为异面直线 AC 和 MN 所成的角 ABCD A1B1C1D1为正方体， AC AD1 D1C.即 D1AC 为正三角形， D1AC60.故 C 正确12.点 P 在正方体侧面 BCC1B1 及其边界上运动，并且保持 AP BD1，则点 P 的轨迹为( )5A线段 B1CB BB1的中点与
10、 CC1的中点连成的线段C线段 BC1D BC 的中点与 B1C1的中点连成的线段答案 A解析 AP BD1恒成立，要保证 AP 所在的平面始终垂直于 BD1. AC BD1， AB1 BD1， AC AB1 A， AC， AB1平面 AB1C， BD1平面 AB1C， P 点在线段 B1C 上运动故选 A.第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13 往 一 个 直 径 为 32 厘 米 的 圆 柱 形 水 桶 中 放 入 一 个 铁 球 ， 球 全 部 没 入 水 中 后 ， 水 面 升 高9 厘米，则此球的半径为_厘米
11、答案 12解析 V Sh r2h R3，43R 12.334r2h 3642714.如图， E， F 分别为正方体的平面 ADD1A1、平面 BCC1B1 的中心，则四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可能是_(填序号)答案 解析 因为正方体是对称的几何体，所以四边形 BFD1E 在该正方体的面上的射影可分为：自上而下、自左至右、由前及后三个方向的射影，6也就是在平面 ABCD、平面 CDD1C1、平面 BCC1B1上的射影四边形 BFD1E 在平面 ABCD 和平面 CDD1C1上的射影相同，如图所示；四边形 BFD1E 在该正方体对角面的 ABC1D1内，它在平面 BCC1B1上的射
12、影显然是一条线段，如图所示故正确15.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN_.答案 90解析 因为 C1B1平面 ABB1A1， MN平面 ABB1A1，所以 C1B1 MN.又因为 MN MB1， MB1， C1B1平面 C1MB1， MB1 C1B1 B1，所以 MN平面 C1MB1，所以 MN C1M，所以 C1MN90.16.如图， BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC 和 PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_答案 AB， BC， AC AB解析
13、 PC平面 ABC， PC 垂直于直线 AB， BC， AC； AB AC， AB PC， AC PC C， AB平面 PAC，与 AP 垂直的直线是 AB.三、解答题(本题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面) ABC A1B1C1中，AC9， BC12， AB15， AA112，点 D 是 AB 的中点(1)求证： AC B1C；(2)求证： AC1平面 CDB1.证明 (1)三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱，7 CC1平面 ABC，又 AC平面 ABC， CC1 AC.又 AC9， BC12， AB15，
14、 AC2 BC2 AB2， AC BC. CC1， BC平面 BB1C1C， CC1 BC C， AC平面 BB1C1C，又 B1C平面 BB1C1C， AC B1C.(2)取 A1B1的中点 D1，连接 C1D1， D1D 和 AD1， AD D1B1，且 AD D1B1，四边形 ADB1D1为平行四边形， AD1 DB1，又 AD1平面 CDB1， DB1平面 CDB1， AD1平面 CDB1. CC1 DD1，且 CC1 DD1，四边形 CC1D1D 为平行四边形， C1D1 CD，又 CD平面 CDB1， C1D1平面 CDB1， C1D1平面 CDB1， AD1 C1D1 D1， A
15、D1， C1D1平面 AC1D1，平面 AC1D1平面 CDB1，又 AC1平面 AC1D1， AC1平面 CDB1.18(12 分)如图，四棱锥 P ABCD 的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且侧面 PAD底面 ABCD， E 为侧棱 PD 的中点(1)求证： PB平面 EAC；(2)求证： AE平面 PCD；(3)当 为何值时， PB AC?ADAB8(1)证明 连接 BD 交 AC 于 O，连接 EO，因为 O， E 分别为 BD， PD 的中点，所以 EO PB，因为 EO平面 EAC， PB平面 EAC，所以 PB平面 EAC.(2)证明 Error!Error!平面 PDC
16、平面 PAD，正三角形 PAD 中， E 为 PD 的中点，所以 AE PD，又平面 PDC平面 PAD PD，所以 AE平面 PCD.(3)解 设 N 为 AD 中点，连接 PN，则 PN AD.又平面 PAD底面 ABCD，所以 PN底面 ABCD.所以， NB 为 PB 在平面 ABCD 上的射影要使 PB AC，只需 NB AC，在矩形 ABCD 中，设 AD BC1， AB x， AN ，由12 ANB BAC，得 Rt NABRt ABC， AB2 ANBCx2 ，解得 x ，ANAB ABBC 12 22所以，当 时， PB AC.ADAB 219(13 分)如图，已知四棱锥 P
17、 ABCD，底面四边形 ABCD 为菱形，AB2， BD2 ， M， N 分别是线段 PA， PC 的中点3(1)求证： MN平面 ABCD；(2)求异面直线 MN 与 BC 所成角的大小(1)证明 连接 AC 交 BD 于点 O，9 M， N 分别是线段 PA， PC 的中点， MN AC， MN平面 ABCD， AC平面 ABCD， MN平面 ABCD.(2)解 由(1)知， ACB 就是异面直线 MN 与 BC 所成的角或其补角四边形 ABCD 为菱形， AB2， BD2 ，3在 Rt BOC 中， BC2， BO ， OCB60，3异面直线 MN 与 BC 所成的角为 60.20(13
18、 分)(2017北京)如图，在三棱锥 P ABC 中，PA AB， PA BC， AB BC， PA AB BC2， D 为线段 AC 的中点， E 为线段 PC 上一点(1)求证： PA BD；(2)求证：平面 BDE平面 PAC；(3)当 PA平面 BDE 时，求三棱锥 E BCD 的体积(1)证明 因为 PA AB， PA BC， AB， BC平面 ABC， AB BC B，所以 PA平面 ABC，又因为 BD平面 ABC，所以 PA BD.(2)证明 因为 AB BC， D 为 AC 中点，所以 BD AC，由(1)知， PA BD， AC PA A， AC， PA平面 PAC，所以 BD平面 PAC.又因为 BD平面 BDE，所以平面 BDE平面 PAC.(3)解 因为 PA平面 BDE， PA平面 PAC，平面 PAC平面 BDE DE，所以 PA DE.因为 D 为 AC 的中点，所以 DE PA1， BD DC .12 2由(1)知， PA平面 ABC，所以 DE平面 ABC.所以三棱锥 E BCD 的体积 V BDDCDE .16 1310
