1、1单元检测八 立体几何与空间向量(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1(2018广东省广州市培正中学模拟)下列命题中，错误的是( )A平行于同一平面的两个平面平行B平行于同一直线的两个平面平行C一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另
2、一个平面相交D一条直线与两个平行平面所成的角相等答案 B解析 选项 A 正确，是面面平行的传递性选项 B 错误，比如正方体的两相邻侧面与一侧棱都平行，但两侧面所在平面相交选项 C 正确，由反证法，若直线与另一平面不相交，则直线在平面内或直线与平面平行，与直线与第一个平面相交矛盾选项 D 正确，由线面角定义可知正确2长方体的一个顶点上三条棱长分别是 3,4,5，且它的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是( )A25B50C125D都不对答案 B解析 长方体的 8 个顶点都在同一球面上，则这个球是长方体的外接球，所以球的直径等于长方体的体对角线长，即 R ，所以球的表面积为32 42 5
3、22 5224 R24 250，故选 B.(522)3.如图，在多面体 ABCDEF 中，已知平面 ABCD 是边长为 3 的正方形， EF AB， EF ，且32EF 与平面 ABCD 的距离为 2，则该多面体的体积为( )2A. B5C6D.92 152答案 D解析 分别取 AB， CD 的中点 G， H，连接 EG， GH， EH，把该多面体分割成一个四棱锥与一个三棱柱，可求得四棱锥的体积为 3，三棱柱的体积为 ，进而整个多面体的体积为 .92 1524如图，一个空间几何体的正视图，侧视图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边的长为 1，那么这个几何体的体积为( )A.
4、B. C. D116 12 13答案 A解析 由三视图还原可知原图形是底面是直角边为 1 的等腰直角三角形，两侧面也是直角边为 1 的等腰直角三角形，另一侧面是边长为 的等边三角形的三棱锥2所以体积为 V 1 ，选 A.13 (1211) 165(2018西安模拟)若平面 与 的法向量分别是 a(2,4，3)， b(1,2,2)，则平面 与 的位置关系是( )A平行 B垂直C相交但不垂直 D无法确定答案 B解析 因为 ab(2,4，3)(1,2,2)0，所以 a b，所以两平面垂直6.如图，长方体 ABCDA1B1C1D1中， DAD145， CDC130，那么异面直线 AD1与DC1所成角的
5、余弦值是( )3A. B.28 38C. D.24 34答案 C解析 由长方体 DAD145， CDC130，设 AD DD11， CD .连接 BC1， BD.3由 AD1 BC1，所以异面直线 AD1与 DC1所成角，即 BC1D.在 BDC1中， BC1 ， BD2， C1D2，由余弦定理可得 cos BC1D 2C1D2 BC21 BD22C1DBC1 ，22 2 22222 24所以异面直线 AD1与 DC1所成角的余弦值是 ，选 C.247 ABC 所在的平面为 ，直线 l AB， l AC，直线 m BC， m AC，则直线 l， m 的位置关系是( )A相交 B平行 C异面 D
6、不确定答案 B解析 l AB， l AC， AB AC A， AB， AC平面 ABC， l平面 ABC. m BC， m AC， BC AC C， BC， AC平面 ABC， m平面 ABC， l m，故选 B.8已知向量 a(2,4,5)， b(3， x， y)分别是直线 l1， l2的方向向量，若 l1 l2，则( )A x6， y15 B x3， y152C x3， y15 D x6， y152答案 D解析 l1 l2，存在实数 k 使得 b ka，即(3， x， y) k(2,4,5)，Error! 解得 x6， y ，故选 D.1529(2018湖南省长沙市周南中学模拟)如图，在所
7、有棱长均为 a 的直三棱柱 ABCA1B1C1中， D， E 分别为 BB1， A1C1的中点，则异面直线 AD， CE 所成角的余弦值为( )4A. B.12 32C. D.15 45答案 C解析 设 AC 的中点为 O，以 ， ， 为 x， y， z 轴建立坐标系(图略)，OB OC OE 则 A ， D ， C ， E(0,0， a)，(0， a2， 0) (32a， 0， a2) (0， a2， 0)则 ， ，AD (32a， a2， a2) CE (0， a2， a)设 AD 与 CE 所成的角为 ，则 cos ，故选 C.032a a2a2 a2a34a2 a24 a24a24 a
8、2 1510已知 ， 是两个平面，直线 l ， l ，若以 l ； l ； 中两个为条件，另一个为结论构成三个命题，则其中正确的命题有( )A； B； C； D； ； 答案 A解析 因为 ，所以在 内找到一条直线 m，使 m ，又因为 l ，所以 l m.又因为 l ，所以 l ，即 ；因为 l ，所以过 l 可作一平面 n，所以 l n，又因为 l ，所以 n ，又因为 n ，所以 ，即.故选 A.11.如图，空间四边形 OABC 中， M， N 分别是 OA， BC 的中点，点 G 在线段 MN 上，且MG2 GN，若 x y z ，则( ) OG OA OB OC 5A x ， y ，
9、z13 13 13B x ， y ， z13 13 16C x ， y ， z16 16 13D x ， y ， z16 13 13答案 D解析 由向量的运算法则有 ，OG OM MG 12OA MG ，OG OC CN NG ，OG OB BN NG 又 ， 2 ，BN CN MG NG 得 3 ，OG 12OA OB OC 据此可知 x ， y ， z .16 13 1312.点 P 在正方体侧面 BCC1B1及其边界上运动，并且保持 AP BD1，则点 P 的轨迹为( )A线段 B1CB BB1的中点与 CC1的中点连成的线段C线段 BC1D BC 的中点与 B1C1的中点连成的线段答案
10、 A解析 AP BD1恒成立，6要保证 AP 所在的平面始终垂直于 BD1. AC BD1， AB1 BD1， AC AB1 A， AB1， AC平面 AB1C， BD1平面 AB1C， P 点在线段 B1C 上运动故选 A.第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13正四面体 ABCD 的棱长为 2，半径为 的球 O 过点 D, MN 为球 O 的一条直径，2则 的最小值是_AM AN 答案 44 2解析 很明显当 O， D， M， N 四点共面时数量积能取得最值，由题意可知 OD OM ON，则 MDN 是以点 D 为顶
11、点的直角三角形，且 ( )( )AM AN AD DM AD DN 2 ( ) AD AD DM DN DM DN 42 0，AD DO 当向量 ， 反向时， 取得最小值 422 44 .AD DO AM AN 2 214.如图所示，在正方体 ABCD A1B1C1D1中， M， N 分别是棱 AA1和 AB 上的点，若 B1MN 是直角，则 C1MN_.答案 90解析 因为 C1B1平面 ABB1A1， MN平面 ABB1A1，所以 C1B1 MN.又因为 MN MB1， MB1， C1B1平面 C1MB1， MB1 C1B1 B1，所以 MN平面 C1MB1，所以 MN C1M，所以 C1
12、MN90.15.如图， BAC90， PC平面 ABC，则在 ABC 和 PAC 的边所在的直线中，与 PC 垂直的直线有_；与 AP 垂直的直线有_答案 AB， BC， AC AB解析 PC平面 ABC， PC 垂直于直线 AB， BC， AC； AB AC， AB PC， AC PC C，7 AB平面 PAC，与 AP 垂直的直线是 AB.16.如图，在平行六面体 ABCD A1B1C1D1中， AB1， AD2， AA13， BAD90， BAA1 DAA160，则 AC1_.答案 23解析 BAA1 DAA160， A1在平面 ABCD 上的射影必落在直线 AC 上，平面 ACC1A1
13、平面 ABCD， AB1， AD2， AA13， ，AC1 AC CC1 AB AD AA1 | |2( )2AC1 AB AD AA1 | |2| |2| |22 2 2 AB AD AA1 AB AD AB AA1 AD AA1 1490213 223 23，12 12| | ，AC1 23 AC1 .23三、解答题(本题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)如图，在直三棱柱(侧棱垂直于底面) ABC A1B1C1中，AC9， BC12， AB15， AA112，点 D 是 AB 的中点(1)求证： AC B1C；(2)求证： AC1平面 CDB
14、1.证明 (1)三棱柱 ABC A1B1C1为直三棱柱， CC1平面 ABC，又 AC平面 ABC， CC1 AC.又 AC9， BC12， AB15， AC2 BC2 AB2， AC BC.8 CC1， BC平面 BB1C1C， CC1 BC C， AC平面 BB1C1C，又 B1C平面 BB1C1C， AC B1C.(2)取 A1B1的中点 D1，连接 C1D1， D1D 和 AD1. AD D1B1，且 AD D1B1，四边形 ADB1D1为平行四边形， AD1 DB1，又 AD1平面 CDB1， DB1平面 CDB1， AD1平面 CDB1. CC1 DD1，且 CC1 DD1，四边形
15、 CC1D1D 为平行四边形， C1D1 CD，又 CD平面 CDB1， C1D1平面 CDB1， C1D1平面 CDB1. AD1 C1D1 D1， AD1， C1D1平面 AC1D1，平面 AC1D1平面 CDB1，又 AC1平面 AC1D1， AC1平面 CDB1.18(12 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中， AD平面PDC， AD BC， PD PB， AD1， BC3， CD4， PD2.(1)求异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值；(2)求证： PD平面 PBC；(3)求直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值(1)解 由已知 AD BC，得 DAP 或其补角即为异面直
16、线 AP 与 BC 所成的角因为 AD平面 PDC，所以 AD PD.在 Rt PDA 中，由已知，得 AP ，故 cos DAP AD2 PD2 5ADAP.55所以异面直线 AP 与 BC 所成角的余弦值为 .559(2)证明 因为 AD平面 PDC，直线 PD平面 PDC，所以 AD PD.又因为 BC AD，所以 PD BC，又 PD PB， BC， PB平面 PBC， BC PB B，所以 PD平面 PBC.(3)解 过点 D 作 AB 的平行线交 BC 于点 F，连接 PF，则 DF 与平面 PBC 所成的角等于 AB 与平面 PBC 所成的角因为 PD平面 PBC，故 PF 为
17、DF 在平面 PBC 上的射影，所以 DFP 为直线 DF 和平面 PBC 所成的角由于 AD BC， DF AB，故 BF AD1，由已知，得 CF BC BF2.又 AD DC，故BC DC，在 Rt DCF 中，可得 DF 2 ，在 Rt DPF 中，可得 sin DFP CD2 CF2 5PDDF.55所以，直线 AB 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .5519(13 分)如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是边长为 4 的菱形， ABC60，PA平面 ABCD， PA4， F 是棱 PA 上一点，且 AF1， E 为 PD 的一个靠近 D 点的三等分点(1)求证： C
18、E平面 BDF；(2)求平面 BDF 与平面 PAD 所成的锐二面角的余弦值(1)证明 以点 A 为坐标原点，以 AD， AP 所在的直线分别为 y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系如图则 A(0,0,0)， D(0,4,0)， P(0,0,4)， F(0,0,1)， B(2 ，2,0)， C(2 ，2,0)3 310 ，CE CD 13DP ( 23， 23， 43)设平面 BDF 的法向量为 n( x， y， z)，又 (2 ，6,0)， (0，4,1)，BD 3 DF 所以Error! 取 y1，得 n( ，1,4)，3所以 n6 0，即 n.CE 23 163 CE 又 CE平面 BD
19、F，所以 CE平面 BDF.(2)解 由(1)知平面 BDF 的一个法向量为 n( ，1,4)，3又平面 PAD 的一个法向量可取 n1(1,0,0)，所以平面 BDF 与平面 PAD 所成锐二面角的余弦值为|cos n， n1| .33 1 161 151020(13 分)(2018北京市城六区模拟)如图 1，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， P 为 CD 中点，分别将 PAD, PBC 沿 PA， PB 所在直线折叠，使点 C 与点 D 重合于点 O，如图 2，在三棱锥 P OAB 中， E 为 PB 中点(1)求证： PO AB；(2)求直线 BP 与平面 POA 所成角的正弦值；
20、(3)求二面角 P AO E 的大小(1)证明 在正方形 ABCD 中， P 为 CD 中点， PD AD， PC BC，所以在三棱锥 P OAB 中， PO OA， PO OB.因为 OA OB O， OA， OB平面 OAB，所以 PO平面 OAB.因为 AB平面 OAB，所以 PO AB.(2)解 取 AB 中点 F，连接 OF，取 AO 中点 M，连接 BM.过点 O 作 AB 的平行线 OG.因为 PO平面 OAB，所以 PO OF， PO OG.因为 OA OB， F 为 AB 的中点，11所以 OF AB.所以 OF OG.如图所示，建立空间直角坐标系 Oxyz.A(1， ，0)
21、， B(1， ，0)， P(0,0,1)， M .3 3 (12， 32， 0)因为 BO BA， M 为 OA 的中点，所以 BM OA.因为 PO平面 OAB， PO平面 POA，所以平面 POA平面 OAB.因为平面 POA平面 OAB OA， BM平面 OAB，所以 BM平面 POA.因为 .所以平面 POA 的一个法向量 m( ，1,0). (1， ，1)BM (32， 32， 0) 3 BP 3设直线 BP 与平面 POA 所成角为 ，则 sin |cos m， | .BP |mBP |m|BP | 155所以直线 BP 与平面 POA 所成角的正弦值为 .155(3)由(2)知 E ， ，(12， 32， 12) OE ( 12， 32， 12)(1， ，0)OA 3设平面 OAE 的法向量为 n( x， y， z)，则有Error!即Error!令 y1，则 x ， z2 ，即 n( ，1,2 )3 3 3 3由(2)知平面 OAP 的一个法向量为 m( ，1,0)，3所以 cos m， n .mn|m|n| 3 124 12由题意知二面角 P AO E 为锐角，所以它的大小为 . 312
