1、1单元检测五 平面向量与复数(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1若复数 z 满足 iz34i，则| z|等于( )A1B2C. D55答案 D解析 因为 z (34i)i43i，3 4ii所以| z| 5.42 322若 z1(1i) 2， z2
2、1i，则 等于( )z1z2A1iB1iC1iD1i答案 B解析 z1(1i) 22i， z21i， 1i.z1z2 2i1 i 2i1 i1 i1 i 2 2i23设平面向量 m(1,2)， n(2， b)，若 m n，则| m n|等于( )A. B. C. D35 10 2 5答案 A解析 由 m n， m(1,2)， n(2， b)，得 b4，故 n(2，4)，所以 m n(1，2)，故| m n| ，故选 A.54.如图所示，向量 a， b， c，点 A， B， C 在一条直线上，且 4 ，则( )OA OB OC AC CB 2A c a b B c a b12 32 32 12C
3、 c a2 b D c a b13 43答案 D解析 c ( ) b a.故选 D.OB BC OB 13AB OB 13OB OA 43OB 13OA 43 135设向量 a( x,1)， b(1， )，且 a b，则向量 a b 与 b 的夹角为( )3 3A. B. C. D. 6 3 23 56答案 D解 析 因 为 a b， 所 以 x 0， 解 得 x ， 所 以 a ( ， 1)， a b (0,4)， 则3 3 3 3cos a b， b ，所以向量 a b 与 b 的夹角为 ，3a 3bb|a 3b|b| 4342 32 3 56故选 D.6已知等差数列 an的前 n 项和为
4、 Sn，若 a1 a2019 ，且 A， B， C 三点共线( O 为该OB OA OC 直线外一点)，则 S2019等于( )A2019B2020C. D101020192答案 C解析 A， B， C 三点共线，且 a1 a2019 ，则 a1 a20191，所以OB OA OC S2019 (a1 a2019) ，故选 C.20192 201927设 a， b 是非零向量，则“ ab| a|b|”是“ a b”的( )A必要不充分条件 B充分不必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件答案 B解析 由 ab| a|b|，得 cos a， b1，所以 a b；反之， a b 不能推得cos
5、a， b1，所以“ ab| a|b|”是“ a b”的充分不必要条件，故选 B.8.如图，在 ABC 中， AB AC3，cos BAC ， 2 ，则 的值为( )13 DC BD AD BC A2B2C3D3答案 B3解析 ( ) ( AD BC AC CD BC (AC 23CB ) BC AC 23AB AC BC (23AB 13AC ) AC ) | |2 | |2AB 23AB 13AB AC 13AC 6132，故选 B.9已知 a(2，cos x)， b(sin x，1)，当 x 时，函数 f(x) ab 取得最大值，则sin 等于( )(2 4)A. B. C D7210 2
6、10 210 7210答案 D解析 f(x) ab2sin xcos x sin(x )，其中5sin ，cos ， 2 k ， kZ，解得 2 k ， kZ，所以15 25 2 2sin cos ，cos sin ，所以25 15sin2 2sin cos ，cos2 12sin 2 ，所以45 35sin (sin2 cos2 ) ，故选 D.(2 4) 22 721010.如图，在 ABC 中， D 是 BC 的中点， E， F 是 AD 上的两个三等分点， 2， 1，则 等于( )BE CE BF CF BA CA A5 B6C7 D8答案 C解析 2 24 2 22， 2 21，所以
7、 21， 22，BE CE ED BD FD BD BF CF FD BD FD BD 因此 2 29 2 27，故选 C.BA CA AD BD FD BD 11(2018西宁检测)定义：| ab| a|b|sin ，其中 为向量 a 与 b 的夹角，若|a|2，| b|5， ab6，则| ab|等于( )A6 B8 或 84C8 D8答案 D解析 cos ，且 0，则 sin ，则ab|a|b| 610 35 45|ab| a|b|sin 10 8，故选 D.4512在 ABC 中， 2 ，过点 M 的直线分别交射线 AB， AC 于不同的两点 P， Q，若 mCM MB AP ， n ，
8、则 mn m 的最小值为( )AB AQ AC A6 B2 C6D23 3答案 D解析 由已知易得， ，AM 23AB 13AC .AM 23mAP 13nAQ 又 M， P， Q 三点共线， 1，23m 13n m ，易知 3n10.2n3n 1mn m m(n1) (n1)2n3n 1 2，293n 1 43n 1 5当且仅当 m n1 时取等号 mn m 的最小值为 2.第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13若复数( ai) 2在复平面内对应的点在 y 轴负半轴上，则实数 a 的值是_答案 1解析 因为复数( a
9、i) 2( a21)2 ai，所以其在复平面内对应的点的坐标是( a21,2 a)又因为该点在 y 轴负半轴上，所以有Error! 解得 a1.14(2018石家庄检测)已知若对任意一个单位向量 e，满足( a b)e2 成立，则 ab的最大值是_答案 15解析 ( a b)e| a b|e|cos a b， e| a b|2，当且仅当 a b， e 同向共线时取等号，设 a( x1， y1)， b( x2， y2)，则( x1 x2)2( y1 y2)24， ab x1x2 y1y2 41，当且仅当 x1 x2， y1 y2时取等x1 x224 y1 y224 14号，故 ab 的最大值是
10、1.15欧拉在 1748 年给出了著名公式 ei cos isin (欧拉公式)是数学中最卓越的公式之一，其中，底数 e2.71828，根据欧拉公式 ei cos isin ，任何一个复数z r(cos isin )，都可以表示成 z rei 的形式，我们把这种形式叫做复数的指数形式，若复数 z1 ， z2 ，则复数 z 在复平面内对应的点在第_象限i3i z1z2答案 四解析 因为 z1 2i3e(cos 3 isin 3)1 i， z2 cos isin i，3 i 2 2所以 z i.z1z2 1 3ii 1 3i ii i 3复数 z 在复平面内对应的点为 Z( ，1)，点 Z 在第四
11、象限316已知点 O 为 ABC 内一点，且满足 4 0.设 OBC 与 ABC 的面积分别为OA OB OC S1， S2，则 _.S1S2答案 16解析 设 E 为 AB 的中点，连接 OE，延长 OC 到 D，使 OD4 OC，因为点 O 为 ABC 内一点，且满足 4 0，所以 0，则点 O 是 ABD 的重心，则 E， O， C， D 共线，OA OB OC OA OB OD OD OE21，所以 OC OE12，则 CE OE32，则 S1 S BCE S ABC，所以 .13 16 S1S2 16三、解答题(本题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)1
12、7(12 分)在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(1，2)， B(2,3)， C(2，1)(1)求以线段 AB， AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)在平面内一点 D 满足 t ，若 ACD 为直角三角形，且 A 为直角，试求实数 t 的OD AB OC 值解 (1)由题意得 (3,5)， (1,1)，AB AC 故 (2,6)， (4,4)，AB AC AB AC 6所以| |2 ，| |4 ，AB AC 10 AB AC 2故所求对角线的长分别为 2 ，4 .10 2(2)由题设知 t (32 t,5 t)，OD AB OC 故 D(32 t,5 t)，则 (2 t4， t7
13、)AD 由 ACD 为直角三角形，且 A ， 2得 0，AD AC 即(2 t4， t7)(1,1)0，解得 t3.所以满足题意的实数 t 的值为 3.18(12 分)已知 a(3，2)， b(2,1)， O 为坐标原点(1)若 ma b 与 a2 b 的夹角为钝角，求实数 m 的取值范围；(2)设 a， b，求 OAB 的面积OA OB 解 (1) a(3，2)， b(2,1)， ma b(3 m2，2 m1)， a2 b(1，4)，令( ma b)(a2 b)0)，OA OB OA OB AP PB ( )，(1 ) ，OP OA OB OP OP OA OB .OP 11 OA 1 OB
14、 ，AB OB OA ( )OP AB ( 11 OA 1 OB ) OB OA 2 2 11 OA 1 OB ( 11 1 )OA OB 3 . 16 9 6 61 3 101 131 0，3 (10,3)131 的取值范围是(10,3)OP AB 20(13 分)已知向量 m ， n ，记 f(x) mn.(3sin x4， 1) (cos x4， cos2x4)(1)若 f(x)1，求 cos 的值；(x 3)(2)在锐角三角形 ABC 中，内角 A， B， C 的对边分别是 a， b， c，且满足(2 a c)cosB bcosC，求 f(2A)的取值范围8解 (1) f(x) mn
15、sin cos cos 23x4 x4 x4 sin cos 32 x2 12 x2 12sin .(x2 6) 12由 f(x)1，得 sin ，(x2 6) 12所以 cos 12sin 2 .(x 3) (x2 6) 12(2)因为(2 a c)cosB bcosC，由正弦定理得(2sin Asin C)cosBsin BcosC，所以 2sinAcosBsin CcosBsin BcosC，所以 2sinAcosBsin( B C)因为 A B C，所以 sin(B C)sin A，且 sinA0，所以 cosB .12又 0B ，所以 B ，则 A C ， A C. 2 3 23 23又 0C ，则 A ，得 A ， 2 6 2 3 623所以 sin 1.32 (A 6)又因为 f(2A)sin ，(A 6) 12故函数 f(2A)的取值范围是 .(3 12 ， 329
