1、1单元检测九(B) 解析几何(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知过点 P(2， m)， Q(m,6)的直线的倾斜角为 45，则 m 的值为( )A1B2C3D4答案 B解析 由题意可知：tan45 ，即 1，故 m62 m，解得 m2.m 6
2、 2 m m 6 2 m2直线 kx y3 k30 过定点( )A(3,0) B(3,3)C(1,3) D(0,3)答案 B解析 kx y3 k30 可化为 y3 k(x3)，所以过定点(3,3)故选 B.3直线( a1) x y a30( a1)，当此直线在 x， y 轴的截距和最小时，实数 a 的值是( )A1B. C2D32答案 D解析 当 x0 时， y a3，当 y0 时， x ，令 t a3 ，因为 a1，所以a 3a 1 a 3a 1t5，且 a2(3 t)a t0，则 (3 t)24 t0，解得 t9 或 t1(舍去)，所以 t的最小值为 9，把 t9 代入上述方程解得 a3.
3、4由直线 y x1 上的一点向圆( x3) 2 y21 引切线，则切线长的最小值为( )A. B2 C1D37 2答案 A解析 圆的圆心为(3,0)， r1，圆心到直线 x y10 的距离为 d 2 ，所以|3 1|2 2由勾股定理可知切线长的最小值为 .222 12 725一束光线从点 A(1,1)发出，并经过 x 轴反射，到达圆( x2) 2( y3) 21 上一点的最短路程是( )A4B5C3 1D22 6答案 A解析 依题意可得，点 A 关于 x 轴的对称点 A1(1，1)，圆心 C(2,3)， A1C 的距离为5，所以到圆上的最短距离为 514，故选 A.2 12 3 126已知直线
4、 x y a 与圆 x2 y24 交于 A， B 两点，且| | |，其中 O 为OA OB OA OB 原点，则实数 a 的值为( )A2B2C2 或2D. 或6 6答案 C解析 由| | |得| |2| |2，化简得 0，即 ，三OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB 角形 AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为 ，即 ， a2.2|a|2 27点 P(2，1)为圆( x3) 2 y225 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是( )A x y10 B x y10C x y10 D x y10答案 B解析 点 P(2，1)为圆( x3) 2 y225 的弦
5、的中点，设圆心为 C(3,0)，则该弦所在直线与 PC 垂直，故弦的斜率为 k 1，则由直线的点斜式可得弦所在直1kPC 3 20 1线的方程为 y(1)1( x2)，即 x y10.8已知直线 y ax 与圆 C：( x a)2( y1) 2 a21 交于 A， B 两点，且 ACB60，则圆的面积为( )A6B36C7D49答案 A解析 由题意可得圆心 C(a,1)，半径 R (a1)，a2 1直线 y ax 和圆 C 相交， ABC 为等边三角形，圆心 C 到直线 ax y0 的距离为Rsin60 ，32 a2 1即 d ，解得 a27，|a2 1|a2 1 3a2 12圆 C 的面积为
6、 R2(71)6.故选 A.39已知椭圆 1 的离心率 e ，则 m 的值为( )x25 y2m 105A3 B. 或 3253C. D. 或55153 15答案 B解析 当 m5 时， a2 m， b25， c2 m5， e2 ，解得 m ；c2a2 25 253当 0 m5 时， a25， b2 m， c25 m， e2 ，解得 m3.c2a2 25故选 B.10(2018哈尔滨师范大学附属中学模拟)已知点 F1， F2分别是双曲线 C： 1 x2a2 y2b2(a0， b0 )的左、右焦点， O 为坐标原点，点 P 在双曲线 C 的右支上，| F1F2|2| OP|，PF1F2的面积为
7、4，且该双曲线的两条渐近线互相垂直，则双曲线 C 的方程为( )A. 1 B. 1x22 y22 x24 y24C. 1 D. 1x28 y24 x22 y24答案 B解析 根据题意，| F1F2|2| OP|，得 F1PF2 ， 2根据焦点三角形面积公式可得 S F1PF2 4，b2tan 4解得 b24，又因为该双曲线的两条渐近线互相垂直，可知该双曲线是等轴双曲线，所以双曲线的方程为 1，故选 B.x24 y2411已知直线 l： kx y2 k10 与椭圆 C1： 1( ab0)交于 A， B 两点，与圆x2a2 y2b2C2：( x2) 2( y1) 21 交于 C， D 两点若存在
8、k2，1，使得 ，则椭圆AC DB C1的离心率的取值范围是( )A. B.(0，12 12， 1)C. D.(0，22 22， 1)4答案 C解析 直线 l 过圆 C2的圆心， ，AC DB | | |，AC2 C2B C2的圆心为 A， B 两点的中点设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error! 两式相减得， ，x1 x2x1 x2a2 y1 y2y1 y2b2化简可得2 k，又 ab， ，b2a2 b2a2 k2 12， 1)所以 e .1 b2a2 (0， 2212已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 F1， F2，且两条曲线在第一象限的交点为 P，
9、 PF1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若| PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1， e2，则 e1与 e2满足的关系是( )A. 2 B. 21e1 1e2 1e1 1e2C e1 e22 D e2 e12答案 B解析 由椭圆与双曲线的定义得 e1 ， e2 ，所以 2，故选 B.2c10 2c 2c10 2c 1e1 1e2 4c2c第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点，| AF|2，则|BF|_.答案 2解析 设 A(x0，
10、y0)，由抛物线定义知 x012， x01，则直线 AB x 轴，| BF| AF|2.14已知平面直角坐标系内定点 A(1,0)， B(1,0)， M(4,0)， N(0,4)和动点 P(x1， y1)，Q(x2， y2)，若 1， ，其中 O 为坐标原点，则| |的最小值AP BP OQ (12 t)OM (12 t)ON QP 是_答案 2解析 定点 A(1,0)， B(1,0)，动点 P(x1， y1)， 1，AP BP 5( x11， y1)(x11， y1)1， x y 2，21 21 P 的轨迹是个半径为 、圆心在原点的圆2 ，OQ (12 t)OM (12 t)ON Q， M，
11、 N 三点共线， M(4,0)， N(0,4)， Q 的轨迹方程为直线 MN： x y40，| |的最小值是圆心到直线的距离减去半径，QP 即 .42 2 215(2018河南新乡高三模拟)已知抛物线 C： x22 py(p0)的焦点为 F， O 为坐标原点，点 M ， N ，射线 MO， NO 分别交抛物线 C 于异于点 O 的点 A， B，若(4， p2) ( 1， p2)A， B， F 三点共线，则 p 的值为_答案 2解析 直线 OM 的方程为 y x，将其代入 x22 py，p8解方程可得Error!故 A .(p24， p332)直线 ON 的方程为 y x，将其代入 x22 py
12、，p2解方程可得Error!故 B .(p2，p32)又 F ，所以 kAB ， kBF ，(0，p2) 3p8 p2 12p因为 A， B， F 三点共线，所以 kAB kBF，即 ，解得 p2.3p8 p2 12p16已知 A， B 分别为椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点，两不同点 P， Q 在椭圆 Cx2a2 y2b2上，且关于 x 轴对称，设直线 AP， BQ 的斜率分别为 m， n，则当 ln| m|ln| n|取最小值时，椭圆 C 的离心率为_2ba ab 12mn6答案 22解析 设点 P(x0， y0)，则 1，所以 mn ，从而x20a2 y20b2 b2a2 ln|
13、m|ln| n| ln ，设 x，令 f(x) ln x(0b0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 32且过点 ，过椭圆 C 的左顶点 A 作直线交椭圆 C 于另一点 P，交直线 l： x m(ma)于(1，32)点 M，已知点 B(1,0)，直线 PB 交 l 于点 N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 MB 是线段 PN 的垂直平分线，求实数 m 的值解 (1)因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 a24 b2.32又因为椭圆 C 过点 ，(1，32)8所以 1，解得 a24， b21.1a2 34b2所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)方法一 设 P(x0， y0)，22，所以 m
14、 .5 133方法二 当 AP 的斜率不存在或为 0 时，不满足条件当 AP 的斜率存在且不为 0 时，设 AP 的斜率为 k，则 AP： y k(x2)，联立Error! 消去 y，得(4k21) x216 k2x16 k240，9且 (16 k2)24(16 k24)(4 k21)0.设 A(xA,0)， P(xP， yP)，因为 xA2，所以 xP ， 8k2 24k2 1所以 yP ，4k4k2 1所以 P .( 8k2 24k2 1， 4k4k2 1)因为 PN 的中点为 B，所以 m2 .(*) 8k2 24k2 1 16k24k2 1因为 AP 交直线 l 于点 M，所以 M(m
15、， k(m2)，因为直线 PB 与 x 轴不垂直，所以 1，即 k2 . 8k2 24k2 1 112设直线 PB， MB 的斜率分别为 kPB， kMB，则 kPB ，4k4k2 1 8k2 24k2 1 1 4k12k2 1kMB .km 2m 1因为 PB MB，所以 kPBkMB1，所以 1.(*) 4k12k2 1 km 2m 1将(*)代入(*)，化简得 48k432 k210，解得 k2 ，41312所以 m .16k24k2 1 5133又因为 m2，所以 m .5 13320(13 分)(2018吉林东北师范大学模拟)已知椭圆 C： 1( ab0)的离心率为 ，x2a2 y2
16、b2 32点 在 C 上(3，12)(1)求椭圆 C 的方程；10(2)过点 A(2,0)作直线 AQ 交椭圆 C 于另外一点 Q，交 y 轴于点 R， P 为椭圆 C 上一点，且AQ OP，求证： 为定值|AQ|AR|OP|2(1)解 由题意可得 e ， 1，ca 32 3a2 14b2所以 a2， c ， b1，3所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)证明 易知直线 AQ 的斜率存在，设直线 AQ： y k(x2)， R(0,2k)， P(xP， yP)，由Error! 得(14 k2)x216 k2x16 k240，由根与系数的关系可得Error!x12， x2 xQ ，2 8k21 4k2则| AQ| |xQ x1|1 k2 ，1 k2|2 8k21 4k2 2| 1 k2 41 4k2|AR|2 ，1 k2|OP| |xP|，1 k2令直线 OP 为 y kx 且令 yP0， xP0.由Error! 得(14 k2)x240，xP ，41 4k2所以| OP| ，21 k21 4k2 2，|AQ|AR|OP|241 4k2241 4k2所以定值为 2.11
