1、1单元检测九(A) 直线与圆(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知直线 l： ax y2 a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( )A1 B1C2 或1 D2 或 1答案 D解析 当 a0 时， y2 不合题意当 a0 时，令
2、 x0，得 y2 a，令 y0，得 x ，则 a2，得 a1 或a 2a a 2aa2.2已知直线 l 的倾斜角为 ，直线 l1经过点 A(3,2)， B( a，1)，且 l1与 l 垂直，直线 4l2：2 x by10 与直线 l1平行，则 a b 等于( )A4B2C0D2答案 B解析 由题知，直线 l 的斜率为 1，则直线 l1的斜率为1，所以 1，所以 a4.又2 13 al1 l2，所以 1， b2，所以 a b422.故选 B.2b3坐标原点(0,0)关于直线 x2 y20 对称的点的坐标是( )A. B.(45， 85) ( 45， 85)C. D.(45， 85) (45， 8
3、5)答案 A2解析 直线 x2 y20 的斜率 k ，设坐标原点(0,0)关于直线 x2 y20 对称的点12的坐标是( x0， y0)，依题意可得Error!解得Error!即所求点的坐标是 .故选 A.(45， 85)4过点 A(2019， a)和 B(2020， b)的直线与直线 l： x y m0 垂直，则| AB|的值为( )A4 B2C. D与 m 的取值有关2答案 C解析 由题意得 kAB 1，所以 b a1，所以b a2020 2019|AB| .故选 C.2020 20192 b a2 25若直线 ax by10 平分圆 C： x2 y22 x4 y10 的周长，则 ab 的
4、取值范围是( )A. B.(0，14 (0， 18C. D.( ，14 ( ， 18答案 D解析 把圆的方程化为标准方程得( x1) 2( y2) 24，圆心坐标为(1,2)，根据题意可知，圆心在直线 ax by10 上， a2 b10，即 a12 b， ab(12 b)b2 b2 b2 2 ，当 b 时， ab 取得最大值 .(b14) 18 18 14 186已知点 A(3，4)， B(6,3)到直线 l： ax y10 的距离相等，则实数 a 的值等于( )A. B79 13C 或 D 或79 13 79 13答案 C解 析 由 已 知 可 得 ， 化 简 得 |3a 3| |6a 4|
5、， 解 得 a 或| 3a 4 1|a2 1 |6a 3 1|a2 1 79a .137已知圆 O1的方程为 x2 y21，圆 O2的方程为( x a)2 y24，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数 a 的所有取值构成的集合是( )A1，1,3，3 B5，5,3，3C1，1 D3，3答案 A解析 由题意得两圆心之间的距离 d| a|213 或 d| a|211，所以3a1，1,3，3.故选 A.8在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2 y28 x150，若直线 l： y kx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最小值是( )A
6、B C D43 54 25 53答案 A解析 由圆 C 的方程知其圆心为(4,0)，半径为 1，圆心到直线 l 的距离 d ，由题|4k 2|k2 1意知，当距离 d2 时，满足条件， 2，解得 k0，直线 l 的斜率 k 的|4k 2|k2 1 43最小值为 .439已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4) 29， M， N 分别是圆 C1，圆C2上的动点， P 为 x 轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为( )A5 4 B. 12 17C62 D.2 17答案 A解析 圆 C1关于 x 轴的对称圆的圆心坐标为 A(2，3)，半径为 1，圆 C2
7、的圆心坐标为(3,4)，半径为 3，| PM| PN|的最小值为圆 A 与圆 C2的圆心距减去两个圆的半径，即135 4.3 22 4 32 210已知圆 C： x2 y22 x4 y a0，圆 C 与直线 x2 y40 相交于 A， B 两点，且OA OB(O 为坐标原点)，则实数 a 的值为( )A B. C. D.45 12 85 15答案 C解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由于 OA OB，所以 x1x2 y1y2 x1x2( x1 x2)40.(*)54联立直线和圆的方程，消去 y 得 5x28 x4 a160，x1 x2 ， x1x2 ，85 4a 165代入(
8、*)式得 a .8511已知直线 x y k0( k0)与圆 x2 y24 交于不同的两点 A， B， O 是坐标原点，且| | | |，则实数 k 的取值范围是( )OA OB 33 AB A( ，) B ，)3 24C ，2 ) D ，2 )2 2 3 2答案 C解析 设 AB 的中点为 D，则 OD AB.因为| | | |，所以|2 | | |，所以|OA OB 33 AB OD 33 AB |2 | |.因为| |2 | |24，所以| |21.因为直线 x y k0( k0)与圆AB 3OD OD 14AB OD x2 y24 交于不同的两点，所以| |24，所以 1| |24，即
9、 1 24，解得OD OD (| k|2 ) k2 ，故选 C.2 212对于函数 y f(x)， y g(x)，若存在 x0，使 f(x0) g( x0)，则称 M(x0， f(x0)，N( x0， g( x0)是函数 f(x)与 g(x)的一对“雷点” 已知 f(x) ， g(x) x2 4x 3 kx1，若函数 f(x)与 g(x)恰有一对“雷点” ，则实数 k 的取值范围为( )A. B.( 1， 13 1， 13C. D. 43 ( 1， 13 43 1， 13答案 C解析 令 y ，整理得( x2) 2 y21( y0)，它表示圆心为(2,0)，半径 x2 4x 3为 1 的半圆(
10、 x 轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示由 g(x) kx1 知， g(x)的图象为过定点 P(0,1)的直线 l，易求得直线 l 与 y 轴右侧半圆相切时的斜率 k ，直线 PA， PB 的斜率分别为1， ，故实数 k 的取值范围为43 13 .故选 C.43 ( 1， 13第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知 a0，直线 ax( b2) y40 与直线 ax( b2) y30 互相垂直，则 ab 的最大值为_答案 2解析 由两直线垂直可得 a2( b2)( b2)0，即 a2 b24， a
11、b 2，a2 b22当且仅当 a b 时，( ab)max2.514当点 P(3,2)到直线 mx y12 m0 的距离最大时，实数 m 的值为_答案 1解析 直线 mx y12 m0 过定点 Q(2,1)，所以当 PQ 与直线垂直时，点 P(3,2)到直线mx y12 m0 的距离最大，即 m 1，所以 m1.2 13 215已知点 Q(1， m)， P 是圆 C：( x a)2( y2 a4) 24 上任意一点，若线段 PQ 的中点 M 的轨迹方程为 x2( y1) 21，则实数 m 的值为_答案 4解析 设 P(x， y)，线段 PQ 的中点为 M(x0， y0)，则Error!因为点
12、M(x0， y0)在圆 x2( y1)21 上，所以 2 21，即( x1) 2( y m2) 24.将此方程与方程( x a)(x 12 ) (y m2 1)2( y2 a4) 24 比较，可得Error!解得 m4.16已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O1： x2 y29，圆 O2： x2( y6) 216，若在圆O2内存在一定点 M，过点 M 的直线 l 被圆 O1， O2截得的弦分别为 AB， CD，且 ，则|AB|CD| 34定点 M 的坐标为_答案 (0，187)解析 因为 总成立，且知过两圆的圆心的直线截两圆弦长之比是 ，所以点 M 在|AB|CD| 34 68 34两圆圆
13、心的连线上因为圆心连线的方程为 x0，所以可设 M(0， y0)，当直线 l 的斜率不存在时，显然满足题意，当直线 l 的斜率存在时，设其斜率为 k，直线 l 的方程为y kx y0，因为 ，所以 ，解得 y0 或 y018(此时点 M 在|AB|CD| 349 (|y0|1 k2)216 (|y0 6|1 k2)2 916 187圆 O2外，舍去)，故定点 M 的坐标为 .(0，187)三、解答题(本题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)已知直线 l 的方程为(2 m)x(2 m1) y3 m40，其中 mR.(1)求证：直线 l 过定点；(2)
14、当 m 变化时，求点 Q(3,4)到直线 l 的距离的最大值；(3)若直线 l 分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于 A， B 两点，求 AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程(1)证明 直线 l 的方程可化为(2 x y4) m( x2 y3)0，由题意知，其对任意 m 都成立，所以Error! 解得Error!6所以直线 l 过定点(1，2)(2)解 由题意可知，点 Q 与定点(1，2)的距离就是所求最大值，即2 .3 12 4 22 13(3)解 因为直线 l 分别与 x 轴、 y 轴的负半轴交于 A， B 两点，所以可设直线 l 的方程为y2 k(x1)， k0，则 A ， B(0，
15、 k2)，(2k 1， 0)S AOB |k2| (2 k)2 224，12|2k 1| 12(1 2k) 2 k k2当且仅当 ，即 k2 时取等号，故 AOB 面积的最小值为 4，此时直线 l 的方程2 k k2为 2x y40.18(12 分)一个圆和已知圆 x2 y22 x0 外切，并与直线 l： x y0 相切于点3M(3， )，求该圆的方程3解 已知圆方程化为( x1) 2 y21，其圆心 P(1,0)，半径为 1.设所求圆的圆心为 C(a， b)则半径为 ，a 32 b 32因为两圆外切，| PC|1 ，a 32 b 32从而 1 ，a 12 b2 a 32 b 32又所求圆与直
16、线 l： x y0 相切于 M(3， )，3 3所以直线 CM l， kCMkl1，于是 1，13 b 3a 3即 b a4 ，3 3将代入化简，得 a62| a3|0，解得 a0 或 a4.当 a0 时， b4 ，3所求圆方程为 x2( y4 )236，3当 a4 时， b0，所求圆方程为( x4) 2 y24.19(13 分)已知曲线 C 上任意一点到原点的距离与到 E(3，6)的距离之比均为 12.(1)求曲线 C 的方程；(2)设点 P(1，2)，过点 P 作两条相异直线分别与曲线 C 相交于 A， B 两点，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，求证：直线 AB 的斜率为定值(1
17、)解 设曲线 C 上的任意一点为 Q(x， y)，7由题意得 ，x2 y2x 32 y 62 12所以曲线 C 的方程为( x1) 2( y2) 220.(2)证明 由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在，且互为相反数，点 P(1，2)在曲线C 上，故可设 PA： y2 k(x1)，由Error!得(1 k2)x22(1 k24 k)x k28 k30，因为点 P 的横坐标 1 一定是该方程的解，故可得 xA ，k2 8k 31 k2同理可得， xB ，k2 8k 31 k2所以 kAB yB yAxB xA kxB 1 kxA 1xB xA ，2k kxB xAxB xA 12故直线
18、 AB 的斜率为定值 .1220(13 分)已知圆 O： x2 y24，直线 l： y kx4.(1)若直线 l 与圆 O 交于不同的两点 A， B，当 AOB 时，求 k 的值； 2(2)若 k1， P 是直线 l 上的动点，过 P 作圆 O 的两条切线 PC， PD，切点为 C， D，问：直线 CD 是否过定点？若过定点，则求出定点坐标；若不过定点，请说明理由；(3)若 EF， GH 为圆 O： x2 y24 的两条相互垂直的弦，垂足为 M(1， )，求四边形 EGFH2的面积 S 的最大值解 (1)设圆 O 的半径为 r， AOB ， 2点 O 到直线 l 的距离 d r，22 2，解得
19、 k .4k2 1 22 7(2)由题意可知 O， P， C， D 四点在以 OP 为直径的圆上，设 P(t， t4)，则该圆的方程为x(x t) yy( t4)0，即 x2 tx y2( t4) y0. C， D 在圆 O： x2 y24 上，直线 CD 的方程为 tx( t4) y40，即( x y)t4 y40.由Error! 得Error!8直线 CD 过定点(1，1)(3)设圆心 O 到直线 EF， GH 的距离分别为 d1， d2，则d d | OM|23，| EF|2 ，| GH|2 ，21 2 4 d21 4 d2 S |EF|GH|2 4 d 4 d 835，当且仅当12 4 d214 d2 21 24 d 4 d ， d d 3，即 d1 d2 时取等号，21 2 21 262四边形 EGFH 的面积 S 的最大值为 5.9
