1、1单元检测九 解析几何(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1直线 l 经过点( ，2)和(0,1)，则它的倾斜角是( )3A30B60C150D120答案 D解析 由斜率公式 k ，再由倾斜角的范围 0，180)知，y2 y1x2 x1 1 20
2、3 3tan120 ，故选 D.32直线 kx y3 k30 过定点( )A(3,0) B(3,3)C(1,3) D(0,3)答案 B解析 kx y3 k30 可化为 y3 k(x3)，所以过定点(3,3)故选 B.3直线( a1) x y a30( a1)，当此直线在 x， y 轴的截距和最小时，实数 a 的值是( )A1B. C2D32答案 D解析 当 x0 时， y a3，当 y0 时， x ，令 t a3 ，因为 a1，所以a 3a 1 a 3a 1t5，且 a2(3 t)a t0，则 (3 t)24 t0，解得 t9 或 t1(舍去)，所以 t 的最小值为 9，把 t9 代入上述方程
3、解得 a3.4由直线 y x1 上的一点向圆( x3) 2 y21 引切线，则切线长的最小值为( )A. B2 C1D37 2答案 A解析 圆的圆心为(3,0)， r1，圆心到直线 x y10 的距离为 d 2 ，所以|3 1|2 22由勾股定理可知切线长的最小值为 .222 12 75一束光线从点 A(1,1)发出，并经过 x 轴反射，到达圆( x2) 2( y3) 21 上一点的最短路程是( )A4B5C3 1D22 6答案 A解析 依题意可得，点 A 关于 x 轴的对称点 A1(1，1)，圆心 C(2,3)， A1C 的距离为5，所以到圆上的最短距离为 514，故选 A.2 12 3 1
4、26已知直线 x y a 与圆 x2 y24 交于 A， B 两点，且| | |，其中 O 为原OA OB OA OB 点，则实数 a 的值为( )A2B2C2 或2D. 或6 6答案 C解析 由| | |得| |2| |2，化简得 0，即 ，三OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB OA OB 角形 AOB 为等腰直角三角形，圆心到直线的距离为 ，即 ， a2.2|a|2 27点 P(2，1)为圆( x3) 2 y225 的弦的中点，则该弦所在直线的方程是( )A x y10 B x y10C x y10 D x y10答案 B解析 点 P(2，1)为圆( x3) 2 y
5、225 的弦的中点，设圆心为 C(3,0)，则该弦所在直线与 PC 垂直，故弦的斜率为 k 1，则由直线的点斜式可得弦所在直线1kPC 3 20 1的方程为 y(1)1( x2)，即 x y10.8已知直线 y ax 与圆 C：( x a)2( y1) 2 a21 交于 A， B 两点，且 ACB60，则圆的面积为( )A6B36C7D49答案 A解析 由题意可得圆心 C(a,1)，半径 R (a1)，a2 1直线 y ax 和圆 C 相交， ABC 为等边三角形，圆心 C 到直线 ax y0 的距离为Rsin60 ，32 a2 1即 d ，解得 a27，|a2 1|a2 1 3a2 12圆
6、C 的面积为 R2(71)6.3故选 A.9已知椭圆 1 的离心率 e ，则 m 的值为( )x25 y2m 105A3 B. 或 3253C. D. 或55153 15答案 B解析 当 m5 时， a2 m， b25， c2 m5， e2 ，解得 m ；c2a2 25 253当 0 m5 时， a25， b2 m， c25 m， e2 ，解得 m3.c2a2 25故选 B.10已知双曲线 E 的中心为原点， F(3,0)是 E 的焦点，过 F 的直线 l 与 E 相交于 A， B 两点，且 AB 的中点为 N(12，15)，则 E 的方程为( )A. 1 B. 1x23 y26 x24 y2
7、5C. 1 D. 1x26 y23 x25 y24答案 B解析 由已知条件得直线 l 的斜率为 k kFN1，设双曲线方程为 1( a0， b0)， A(x1， y1)， B(x2， y2)，x2a2 y2b2则有Error!两式相减并结合 x1 x224， y1 y230得， ，从而 1，y1 y2x1 x2 4b25a2 4b25a2即 4b25 a2，又 a2 b29，解得 a24， b25，故选 B.11已知直线 l： kx y2 k10 与椭圆 C1： 1( ab0)交于 A， B 两点，与圆x2a2 y2b2C2：( x2) 2( y1) 21 交于 C， D 两点若存在 k2，1
8、，使得 ，则椭圆AC DB C1 的离心率的取值范围是( )A. B.(0，12 12， 1)C. D.(0，22 22， 1)答案 C4解析 直线 l 过圆 C2 的圆心， ，AC DB | | |，AC2 C2B C2的圆心为 A， B 两点的中点设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，则Error!两式相减得， ，x1 x2x1 x2a2 y1 y2y1 y2b2化简可得2 k，又 ab， ，b2a2 b2a2 k2 12， 1)所以 e .1 b2a2 (0， 2212已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为 F1， F2，且两条曲线在第一象限的交点为 P， PF
9、1F2是以 PF1为底边的等腰三角形，若| PF1|10，椭圆与双曲线的离心率分别为 e1， e2，则 e1与 e2满足的关系是( )A. 2 B. 21e1 1e2 1e1 1e2C e1 e22 D e2 e12答案 B解析 由椭圆与双曲线的定义得 e1 ， e2 ，所以 2，故选 B.2c10 2c 2c10 2c 1e1 1e2 4c2c第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13已知过抛物线 y24 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A， B 两点，| AF|2，则|BF|_.答案 2解析 设 A(x0， y0)
10、，由抛物线定义知 x012， x01，则直线 AB x 轴，| BF| AF|2.14在平面直角坐标系 xOy 中，若圆 C：( x2) 2( y2) 21 上存在点 M，使得点 M 关于 x轴的对称点 N 在直线 l： kx y30 上，则实数 k 的最小值为_答案 43解析 方法一 圆 C：( x2) 2( y2) 21 关于 x 轴对称的圆 C的方程为( x2) 2( y2)21，则符合题意的 k 的取值范围就是圆 C与 l 有公共点时 k 的取值范围， 1， k0，即 k 的最小值为 .|2k 2 3|k2 1 43 435方法二 M 在圆 C：( x2) 2( y2) 21 上，可设
11、 M(2cos ，2sin )，可得 N(2cos ，2sin )，将 N 的坐标代入 kx y30，可得 sin kcos 2 k1，|2 k1| ，k2 1化简得 3k24 k0，解得 k0，43 k 的最小值为 .4315(2018河南新乡高三模拟)已知抛物线 C： x22 py(p0)的焦点为 F， O 为坐标原点，点 M ， N ，射线 MO， NO 分别交抛物线 C 于异于点 O 的点 A， B，若(4， p2) ( 1， p2)A， B， F 三点共线，则 p 的值为_答案 2解析 直线 OM 的方程为 y x，将其代入 x22 py，p8解方程可得Error!故 A .(p24
12、， p332)直线 ON 的方程为 y x，将其代入 x22 py，p2解方程可得Error!故 B .(p2，p32)又 F ，所以 kAB ， kBF ，(0，p2) 3p8 p2 12p因为 A， B， F 三点共线，所以 kAB kBF，即 ，解得 p2.3p8 p2 12p16已知 A， B 分别为椭圆 C： 1( ab0)的左、右顶点，两不同点 P， Q 在椭圆 C 上，x2a2 y2b2且关于 x 轴对称，设直线 AP， BQ 的斜率分别为 m， n，则当 ln| m|ln| n|取最2ba ab 12mn小值时，椭圆 C 的离心率为_答案 22解析 设点 P(x0， y0)，则
13、 1，所以 mn ，从而 ln| m|ln| n|x20a2 y20b2 b2a2 2ba ab 12mn6 ln ，设 x，令 f(x) ln x(00，解得 b0)的离心率为 ，x2a2 y2b2 32且过点 ，过椭圆 C 的左顶点 A 作直线交椭圆 C 于另一点 P，交直线 l： x m(ma)于(1，32)点 M，已知点 B(1,0)，直线 PB 交 l 于点 N.(1)求椭圆 C 的方程；(2)若 MB 是线段 PN 的垂直平分线，求实数 m 的值解 (1)因为椭圆 C 的离心率为 ，所以 a24 b2.32又因为椭圆 C 过点 ，(1，32)所以 1，解得 a24， b21.1a2
14、 34b2所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)方法一 设 P(x0， y0)，22，所以 m .5 133方法二 当 AP 的斜率不存在或为 0 时，不满足条件当 AP 的斜率存在且不为 0 时，设 AP 的斜率为 k，则 AP： y k(x2)，联立Error!消去 y，得(4k21) x216 k2x16 k240，且 (16 k2)24(16 k24)(4 k21)0.设 A(xA,0)， P(xP， yP)，因为 xA2，所以 xP ， 8k2 24k2 1所以 yP ，4k4k2 1所以 P .( 8k2 24k2 1， 4k4k2 1)因为 PN 的中点为 B，所以 m2
15、. (*) 8k2 24k2 1 16k24k2 19因为 AP 交直线 l 于点 M，所以 M(m， k(m2)，因为直线 PB 与 x 轴不垂直，所以 1，即 k2 . 8k2 24k2 1 112设直线 PB， MB 的斜率分别为 kPB， kMB，则 kPB ，4k4k2 1 8k2 24k2 1 1 4k12k2 1kMB .km 2m 1因为 PB MB，所以 kPBkMB1，所以 1. (*) 4k12k2 1 km 2m 1将(*)代入(*)，化简得 48k432 k210，解得 k2 ，41312所以 m .16k24k2 1 5133又因为 m2，所以 m .5 13320
16、(13 分)已知椭圆 C： 1( ab0)的长轴长为 4，其上顶点到直线 3x4 y10x2a2 y2b2的距离等于 .35(1)求椭圆 C 的方程；(2)若直线 l 与椭圆 C 交于 A， B 两点，交 x 轴的负半轴于点 E，交 y 轴于点 F(点 E， F 都不在椭圆上)，且 1 ， 2 ， 1 28，证明：直线 l 恒过定点，并求出该FA AE FB BE 定点解 (1)由椭圆 C 的长轴长为 4 知 2a4，故 a2，椭圆的上顶点为(0， b)，则由 得 b1，|4b 1|5 3510所以椭圆 C 的方程为 y21.x24(2)设 A(x1， y1)， E(m,0)(m0， m2)， F(0， n)，由 1 ，FA AE 得( x1， y1 n) 1(m x1， y1)，所以 A .( 1m1 1， n1 1)同理由 2 ，得 B ，FB BE ( 2m1 2， n1 2)把 A ， B 分别代入 y21( 1m1 1， n1 1) ( 2m1 2， n1 2) x24得：Error!即 1， 2是关于 x 的方程(4 m2)x28 x44 n20 的两个根， 1 2 8， 84 m2 m ，所以直线 l 恒过定点( ，0)3 311
