1、1单元检测九 直线与圆(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知直线 l： ax y2 a0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a 的值是( )A1 B1C2 或1 D2 或 1答案 D解析 当 a0 时， y2 不合题意当 a0 时，令 x0
2、，得 y2 a，令 y0，得 x ，则 a2，得 a1 或a 2a a 2aa2.2经过直线 l1：2 x3 y20 与 l2：3 x4 y20 的交点，且平行于直线4x2 y70 的直线方程是( )A x2 y90 B4 x2 y90C2 x y180 D x2 y180答案 C解析 联立两条直线的方程得Error!解得 x14， y10.所以 l1， l2的交点坐标是(14,10)设与直线 4x2 y70 平行的直线方程为 4x2 y c0( c7)，因为4x2 y c0 过 l1与 l2的交点(14,10)，所以 c36，所以所求直线方程为4x2 y360，即 2x y180.故选 C.
3、3坐标原点(0,0)关于直线 x2 y20 对称的点的坐标是( )A. B.(45， 85) ( 45， 85)C. D.(45， 85) (45， 85)答案 A2解析 直线 x2 y20 的斜率 k ，设坐标原点(0,0)关于直线 x2 y20 对称的点12的坐标是( x0， y0)，依题意可得Error!解得Error!即所求点的坐标是 .故选 A.(45， 85)4已知 ABC 的顶点 A(0,1)， B(4,3)， C(1，1)，则 AB 边上的中线的方程是( )A x2 y30 B3 x y40C3 x y40 D3 x y30答案 C解析 AB 的中点为(2,2)，又由 C(1，
4、1)，得 AB 边上的中线方程为 y23( x2)，化简得 3x y40.故选 C.5若直线 ax by10 平分圆 C： x2 y22 x4 y10 的周长，则 ab 的取值范围是( )A. B.(0，14 (0， 18C. D.( ，14 ( ， 18答案 D解析 把圆的方程化为标准方程得( x1) 2( y2) 24，圆心坐标为(1,2)，根据题意可知，圆心在直线 ax by10 上， a2 b10，即 a12 b， ab(12 b)b2 b2 b2 2 ，当 b 时， ab 取得最大值 .(b14) 18 18 14 186已知点 A(3，4)， B(6,3)到直线 l： ax y10
5、 的距离相等，则实数 a 的值等于( )A. B79 13C 或 D 或79 13 79 13答案 C解析 由已知可得 ，化简得|3 a3|6 a4|，| 3a 4 1|a2 1 |6a 3 1|a2 1解得 a 或 a .79 137已知圆 O1的方程为 x2 y21，圆 O2的方程为( x a)2 y24，如果这两个圆有且只有一个公共点，那么实数 a 的所有取值构成的集合是( )A1，1,3，3 B5，5,3，3C1，1 D3，3答案 A解析 由题意得两圆心之间的距离 d| a|213 或 d| a|211，所以a1，1,3，3.故选 A.38已知点 P(1,2)和圆 C： x2 y2 k
6、x2 y k20，过点 P 作圆 C 的切线有两条，则实数 k的取值范围是( )AR B.( ，233)C. D.(233， 233) ( 233， 0)答案 C解析 圆 C： 2( y1) 21 k2，因为过点 P 作圆 C 的切线有两条，所以点 P 在圆(xk2) 34C 外，从而Error!解得 k .故选 C.233 2339已知圆 C1：( x2) 2( y3) 21，圆 C2：( x3) 2( y4) 29， M， N 分别是圆 C1，圆 C2 上的动点， P 为 x 轴上的动点，则| PM| PN|的最小值为( )A5 4 B. 12 17C62 D.2 17答案 A解析 圆 C
7、1关于 x 轴的对称圆的圆心坐标为 A(2，3)，半径为 1，圆 C2的圆心坐标为(3,4)，半径为 3，| PM| PN|的最小值为圆 A 与圆 C2的圆心距减去两个圆的半径，即135 4.3 22 4 32 210已知圆 C： x2 y22 x4 y a0，圆 C 与直线 x2 y40 相交于 A， B 两点，且OA OB(O 为坐标原点)，则实数 a 的值为( )A B. C. D.45 12 85 15答案 C解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由于 OA OB，所以 x1x2 y1y2 x1x2( x1 x2)40.(*)54联立直线和圆的方程，消去 y 得 5x28
8、 x4 a160，x1 x2 ， x1x2 ，85 4a 165代入(*)式得 a .8511已知点 M(2，3)，点 N(3，2)，直线 ax y a10 与线段 MN 相交，则实数 a的取值范围是( )A a4 B4 a34 344C a 或 a4 D a4 或 a34 34答案 D解析 直线 ax y a10 与线段 MN 相交，点 M， N 在直线 ax y a10 的两侧，或在直线 ax y a10 上，又 M(2，3)， N(3，2)，(2 a3 a1)(3 a2 a1)0，( a4)(4 a3)0，( a4)(4 a3)0， a 或 a4.3412对于函数 y f(x)， y g
9、(x)，若存在 x0，使 f(x0) g( x0)，则称 M(x0， f(x0)，N( x0， g( x0)是函数 f(x)与 g(x)的一对“雷点” 已知 f(x) ， g(x) x2 4x 3 kx1，若函数 f(x)与 g(x)恰有一对“雷点” ，则实数 k 的取值范围为( )A. B.( 1， 13 1， 13C. D. 43 ( 1， 13 43 1， 13答案 C解析 令 y ，整理得( x2) 2 y21( y0)，它表示圆心为(2,0)，半径 x2 4x 3为 1 的半圆( x 轴上方)，作出这个半圆及其关于原点对称的半圆，如图所示由 g(x) kx1 知， g(x)的图象为过
10、定点 P(0,1)的直线 l，易求得直线 l 与 y 轴右侧半圆相切时的斜率 k ，直线 PA， PB 的斜率分别为1， ，故实数 k 的取值范围为43 13 .故选 C.43 ( 1， 13第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13直线 xcos y b0( ， bR)的倾斜角的取值范围是_答案 0， 4 34， )解析 直线的斜率 kcos ， R，1 k1，直线的倾斜角的取值范围为 .0， 4 34， )14当点 P(3,2)到直线 mx y12 m0 的距离最大时，实数 m 的值为_答案 15解析 直线 mx y1
11、2 m0 过定点 Q(2,1)，所以当 PQ 与直线垂直时，点 P(3,2)到直线mx y12 m0 的距离最大，即 m 1，所以 m1.2 13 215已知动直线 l：(2 )x(12 )y43 0 与圆 C：( x1) 2 y29 相交，则相交弦中的最短弦的长度为_答案 2解析 由(2 )x(12 )y43 0，可得 2x y4 (x2 y3)0.令Error!解得Error!即动直线 l 过定点 A(1，2)定点 A 显然在圆 C 内，故当 CA l 时，相交弦最短，即 1，解得 ，此时直线 l： x y30，所以最短弦的长 2 0 1 1 2 2 1 13度为 2 2.9 (42)21
12、6已知在平面直角坐标系 xOy 中，圆 O1： x2 y29，圆 O2： x2( y6) 216，若在圆O2 内存在一定点 M，过点 M 的直线 l 被圆 O1， O2 截得的弦分别为 AB， CD，且 ，则|AB|CD| 34定点 M 的坐标为_答案 (0，187)解析 因为 总成立，且知过两圆的圆心的直线截两圆弦长之比是 ，所以点 M 在|AB|CD| 34 68 34两圆圆心的连线上因为圆心连线的方程为 x0，所以可设 M(0， y0)，当直线 l 的斜率不存在时，显然满足题意，当直线 l 的斜率存在时，设其斜率为 k，直线 l 的方程为y kx y0，因为 ，所以 ，解得 y0 或 y
13、018(此时点 M 在|AB|CD| 349 (|y0|1 k2)216 (|y0 6|1 k2)2 916 187圆 O2外，舍去)，故定点 M 的坐标为 .(0，187)三、解答题(本题共 4 小题，共 50 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17(12 分)已知直线 l 过点(2,1)，且在 x 轴， y 轴上的截距相等(1)求直线 l 的一般方程；(2)若直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距不为 0，点 P(a， b)在直线 l 上，求 3a3 b的最小值解 (1)当截距为 0 时，直线 l： y x，即 x2 y0；12当截距不为 0 时，设直线 l： 1，xt yt将(2
14、,1)代入，得 t3，6所以直线 l 的方程为 x y30.综上，直线 l 的方程为 x2 y0 或 x y30.(2)由题意得直线 l： x y30，所以 a b3，所以 3a3 b2 2 6 ，当且仅当 a b 时等号成立3a3b 3a b 332所以 3a3 b的最小值是 6 .318(12 分)已知圆 C1： x2 y22 x2 y80 与圆 C2： x2 y22 x10 y240 相交于A， B 两点(1)求公共弦 AB 所在的直线方程；(2)求公共弦 AB 的长；(3)求圆心在直线 y x 上，且经过 A， B 两点的圆的方程解 (1)由Error!解得Error!或Error!即
15、 A(4,0)， B(0,2)，所以直线 AB 的方程为 x2 y40.(2)由(1)得| AB|2 .5(3)圆心在直线 y x 上，设圆心坐标为 M(x， x)，由| MA| MB|，得 ，x 42 x2 x2 x 22解得 M(3,3)，| MA| ，10所以 M：( x3) 2( y3) 210.19(13 分)已知曲线 C 上任意一点到原点的距离与到 E(3，6)的距离之比均为 12.(1)求曲线 C 的方程；(2)设点 P(1，2)，过点 P 作两条相异直线分别与曲线 C 相交于 A， B 两点，且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互补，求证：直线 AB 的斜率为定值(1)解 设曲
16、线 C 上的任意一点为 Q(x， y)，由题意得 ，x2 y2x 32 y 62 12所以曲线 C 的方程为( x1) 2( y2) 220.(2)证明 由题意知，直线 PA 和直线 PB 的斜率存在，且互为相反数，点 P(1，2)在曲线C 上，故可设 PA： y2 k(x1)，由Error!得(1 k2)x22(1 k24 k)x k28 k30，7因为点 P 的横坐标 1 一定是该方程的解，故可得 xA ，k2 8k 31 k2同理可得， xB ，k2 8k 31 k2所以 kAB yB yAxB xA kxB 1 kxA 1xB xA ，2k kxB xAxB xA 12故直线 AB 的
17、斜率为定值 .1220(13 分)(2018江苏四市模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆C： x2 y24 x0 及点 A(1,0)， B(1,2)(1)若直线 l 平行于 AB，与圆 C 相交于 M， N 两点，且| MN| AB|，求直线 l 的方程；(2)在圆 C 上是否存在点 P，使得| PA|2| PB|212？若存在，求点 P 的个数；若不存在，请说明理由解 (1)由题知，圆 C 的标准方程为( x2) 2 y24，所以圆心 C(2,0)，半径为 2.因为 l AB， A(1,0)， B(1,2)，所以直线 l 的斜率为 1，2 01 1设直线 l 的方程为 x y m
18、0，则圆心 C 到直线 l 的距离为 d .|2 0 m|2 |2 m|2因为| MN| AB| 2 ，22 22 2而| CM|2 d2 2，所以 4 2，(|MN|2 ) 2 m22解得 m0 或 m4，故直线 l 的方程为 x y0 或 x y40.(2)假设圆 C 上存在点 P，设 P(x， y)，则( x2) 2 y24，又| PA|2| PB|2( x1) 2( y0) 2( x1) 2( y2) 212，整理得 x2 y22 y30，即 x2( y1) 24，所以点 P 既在圆 C 上，又在以(0,1)点为圆心，2 为半径的圆上8因为|22| 22，2 02 0 12所以圆( x2) 2 y24 与圆 x2( y1) 24 相交，所以点 P 的个数为 2.
