1、1单元检测三 导数及其应用(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是( )A. 1 B(log 3x)(x1x2) 1x3 1xlg3C(3 x)3 xln3 D( x2sinx)2 xcosx答案 C解析 由求导法则可知 C 正确
2、2已知函数 f(x)ln x x2f( a)，且 f(1)1，则实数 a 的值为( )A 或 1 B.12 12C1 D2答案 C解析 令 x1，则 f(1)ln1 f( a)1，可得 f( a)1.令 x a0，则 f( a) 2 af( a)，1a即 2a2 a10，解得 a1 或 a (舍去)123若函数 f(x) xex的图象的切线的倾斜角大于 ，则 x 的取值范围是( ) 2A(，0) B(，1)C(，1 D(，1)答案 B解析 f( x)e x xex( x1)e x，2又切线的倾斜角大于 ， 2所以 f( x)0，1x 4x2 1x由 f( x)0，即 4x210，解得 x .故
3、选 C.125函数 f(x) 的部分图象大致为( )e|x|3x答案 C解析 由题意得 f(x)为奇函数，排除 B；又 f(1) 0 时， f(x) ，ex3x所以 f( x) ，函数 f(x)在区间(0,1)内单调递减，在区间 (1，)内单调递增，x 1ex3x2排除 D.6若函数 f(x)ln x ax22 在区间 内存在单调递增区间，则实数 a 的取值范围是( )(12， 2)A(，2 B.(18， )3C. D(2，)( 2， 18)答案 D解析 对 f(x)求导得 f( x) 2 ax ，1x 2ax2 1x由题意可得 2ax210 在 内有解，(12， 2)所以 a min.(12
4、x2)因为 x ，(12， 2)所以 x2 ， ，(14， 4) ( 12x2) ( 2， 18)所以 a2.7.已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) f(b)f(a)f(c)；函数 f(x)在 x c 处取得极小值，在 x e 处取得极大值；函数 f(x)在 x c 处取得极大值，在 x e 处取得极小值；函数 f(x)的最小值为 f(d)ABCD答案 A解析 由导函数的图象可知函数 f(x)在区间(， c)，( e，)内， f( x)0，所以函数 f(x)在区间(， c)，( e，)内单调递增，在区间( c， e)内， f(
5、x)f(a)，所以错；函数 f(x)在 x c 处取得极大值，在 x e 处取得极小值，故错，对；函数 f(x)没有最小值，故错8由直线 y0， xe， y2 x 及曲线 y 所围成的封闭图形的面积为( )2xA32ln2 B3C2e 23 De4答案 B解析 S 2xdx dx x2Error!2ln xError!3，故选 B.10 e12x9已知在 ABC 中，角 A， B， C 所对的边分别为 a， b， c，若函数 f(x) x3 bx2( a2 c2 ac)x1 有极值点，则 sin 的最小值是( )13 (2B 3)A0B C. D132 32答案 D解析 因为 f(x) x3
6、bx2( a2 c2 ac)x1，13所以 f( x) x22 bx a2 c2 ac.又因为函数 f(x) x3 bx2( a2 c2 ac)x1 有极值点，13所以关于 x 的方程 x22 bx a2 c2 ac0 有两个不同的实数根，所以 (2 b)24( a2 c2 ac)0，即 aca2 c2 b2，即 ac2accosB，即 cosB0，则实数 a 的取值范围是( )A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)答案 C解析 易知 a0，所以 f(x)为一元三次函数因为 f( x)3 ax26 x3 x(ax2)，所以方程 f( x)0 的根为 x10， x2 .2a又注意到函数 f
7、(x)的图象经过点(0,1)，所以结合一元三次函数的图象规律及题意可知，函数 f(x)的图象应满足下图，5从而有Error! 即Error!解得 a0 得 y2 ，x2ex 2x x2ex令 y20， x0，解得 x2， y2 在(0,2)上单调递增，在(2，)上单调递减，作出示意图如下，x2ex当 x2 时， y12ln2， y2 .4e22ln2 ， y1 xlnx 与 y2 的交点在(1,2)内，4e2 x2ex函数 f(x)的最大值为 .4e212已知 f(x)是偶函数，且 f(x)在0，)上是增函数，如果 f(ax1) f(x2)在 x时恒成立，则实数 a 的取值范围是( )12，
8、1A2,1B5,0C5,1D2,0答案 D6解析 因为 f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数，如果 f(ax1) f(x2)在 x时恒成立，12， 1则| ax1| x2|，即 x2 ax12 x.由 ax12 x，得 ax1 x， a 1，而1xg(x) 1 在 x1 时取得最小值 0，故 a0；同理，当 x2 ax1 时， a1 .而 h(x)1x 3x1 在 x1 处取得最大值2，所以 a2，所以 a 的取值范围是2,03x第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上)13 dx dx_.e11x 2 24 x2答案 21
9、解析 因为 dxln x| lne ln11，e11x e1又 dx 的几何意义表示为 y 对应上半圆的面积，2 24 x2 4 x2即 dx 2 22，2 24 x212所以 dx dx 21.e11x 2 24 x214已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381 x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件13答案 9解析 y x381 x234，13 y x281，令 y0，得 09，函数 y x381 x234 在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，13函数在 x9 处取得极大值，也是最大值故使该生产厂家获得最
10、大年利润的年产量为 9 万件15(2018深圳调研)设实数 0，若对任意的 x(0，)，不等式 ex 0 恒成lnx立，则 的最小值为_7答案 1e解析 当 x(0,1时， 0，不等式 ex 0 显然成立， 可取任意正实数；lnx当 x(1，)时，e x 0 ex ln xx ex ln xelnx，lnx设函数 f(x) xex(x0)，而 f( x)( x1)e x0，则 f(x)在(0，)上单调递增，那么由 x ex ln xelnx可得 x ln x .lnxx令 g(x) (x1)，lnxx而 g( x) ，1 lnxx2易知函数 g(x)在(1，e)上单调递增，在(e，)上单调递减
11、，那么 g(x)max g(e) ，则有 .1e 1e综上分析可知， 的最小值为 .1e16对于定义在 R 上的函数 f(x)，若存在非零实数 x0，使函数 f(x)在(， x0)和(x0，)上均有零点，则称 x0为函数 f(x)的一个“折点” 现给出下列四个函数： f(x)3 |x1| 2； f(x)lg| x2019|； f(x) x1；x33 f(x) x22 mx1( mR)则存在“折点”的函数是_(填序号)答案 解析 因为 f(x)3 |x1| 22，所以函数 f(x)不存在零点，所以函数 f(x)不存在“折点” ；对于函数 f(x)lg| x2019|，取 x02019，则函数 f
12、(x)在(，2019)上有零点 x2020，在(2019，)上有零点 x2018，所以 x02019 是函数 f(x)lg| x2019|的一个“折点” ；对于函数 f(x) x1，x338则 f( x) x21( x1)( x1)令 f( x)0，得 x1 或 x0.因为 g( x)6 x2 a，当 a0 时， g( x)0 恒成立，所以 g(x)在区间(0，)内单调递增，无最小值，不合题意，所以 a0)，10h( x) 2 ax1 ，1x 2ax2 x 1x当 a0，所以 h( x) ，2ax2 x 1x 2ax x1x x2x其中 x1 ， x2 .1 1 8a4a 1 1 8a4a因为 a0，所以当 00；当 xx2时， h( x)0， h(1)1e0，故 f(x)单调递增；当 x( x0，)时， h(x)0，(12) e因此存在实数 x0 满足方程 f( x) e x0，(12， 1) 1x此时 f(x)在区间(0， x0)内为增函数，在区间( x0，)内为减函数，且 f( x0) 0，1x0 e由此得到 ， x0ln x0.1x0由单调性知 f(x)max f(x0)ln x0 e x0 ，1x0 (x0 1x0)又 x0 ，故 2，(12， 1) (x0 1x0)所以 f(x)max2.又 x22 x1( x1) 222，所以 f(x)x22 x1.12
