1、1单元检测三 导数及其应用(提升卷)考生注意：1本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分，共 4 页2答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上3本次考试时间 100 分钟，满分 130 分4请在密封线内作答，保持试卷清洁完整第卷(选择题 共 60 分)一、选择题(本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1下列求导运算正确的是( )A. 1 B(log 3x)(x1x2) 1x3 1xlg3C(3 x)3 xln3 D( x2sinx)2 xcosx答案 C解析 由求导法则可知 C 正确
2、2已知函数 f(x)ln x x2f( a)，且 f(1)1，则实数 a 的值为( )A 或 1 B.12 12C1 D2答案 C解析 令 x1，则 f(1)ln1 f( a)1，可得 f( a)1.令 x a0，则 f( a) 2 af( a)，1a即 2a2 a10，解得 a1 或 a (舍去)123若函数 f(x) xex的图象的切线的倾斜角大于 ，则 x 的取值范围是( ) 2A(，0) B(，1)C(，1 D(，1)答案 B解析 f( x)e x xex( x1)e x，2又切线的倾斜角大于 ， 2所以 f( x)0，1x 4x2 1x由 f( x)0，即 4x210，解得 x .故
3、选 C.125函数 y 的大致图象是( )exx答案 B解析 函数 y 的定义域为(，0)(0，)，求导得 y ，exx x 1exx2当 x1 时， y0，函数单调递增；当 00)恒成立1x又 4x 4，1x当且仅当 x 时等号成立，12所以 a4.7.已知定义在 R 上的函数 f(x)，其导函数 f( x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是( ) f(b)f(a)f(c)；函数 f(x)在 x c 处取得极小值，在 x e 处取得极大值；函数 f(x)在 x c 处取得极大值，在 x e 处取得极小值；函数 f(x)的最小值为 f(d)ABCD答案 A解析 由导函数的图象可知函数 f(
4、x)在区间(， c)，( e，)内， f( x)0，所以函数 f(x)在区间(， c)，( e，)内单调递增，在区间( c， e)内， f( x)f(a)，所以错；函数 f(x)在 x c 处取得极大值，在 x e 处取得极小值，故错，对；函数 f(x)没有最小值，故错8.设三次函数 f(x)的导函数为 f( x)，函数 y xf( x)的图象的一部分如图所示，则( )A f(x)的极大值为 f( )，极小值为 f( )3 3B f(x)的极大值为 f( )，极小值为 f( )3 3C f(x)的极大值为 f(3)，极小值为 f(3)D f(x)的极大值为 f(3)，极小值为 f(3)答案 D
5、解析 由图象知当 x0，函数 f(x)的极小值4为 f(3)；同理知 f(x)的极大值为 f(3)9函数 f(x) x34 x4(0 x3)的值域为( )13A1，4 B.43， 4C. D0，343， 1答案 B解析 f( x) x24( x2)( x2)当 x0，2时， f( x)0， f(x)单调递减；当 x(2，3时， f( x)0， f(x)单调递增且 f(0)4， f(2) ， f(3)1，43所以函数 f(x)的最大值为 f(0)4，函数 f(x)的最小值为 f(2) ，43故值域为 .43， 410已知函数 f(x) ax33 x21，若 f(x)存在唯一的零点 x0，且 x0
6、0，则实数 a 的取值范围是( )A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)答案 C解析 易知 a0，所以 f(x)为一元三次函数因为 f( x)3 ax26 x3 x(ax2)，所以方程 f( x)0 的根为 x10， x2 .2a又注意到函数 f(x)的图象经过点(0，1)，所以结合一元三次函数的图象规律及题意可知，函数 f(x)的图象应满足下图，从而有Error!即Error!解得 a0 得 y2 ，x2ex 2x x2ex令 y20， x0，解得 x2， y2 在(0，2)上单调递增，在(2，)上单调递减，作出示意图如下，x2ex当 x2 时， y12ln2， y2 .4e22ln2
7、 ， y1 xlnx 与 y2 的交点在(1，2)内，4e2 x2ex函数 f(x)的最大值为 .4e212已知 y f(x)为(0，)上的可导函数，且有 f( x) 0，则对于任意的fxxa， b(0，)，当 ab 时，有( )A af(a)bf(b)C af(b)bf(a) D af(b)0，得 0，fxx xf x fxx即 0，即 xf(x) x0.xfxx x0， xf(x)0，即函数 y xf(x)为增函数，由 a， b(0，)且 ab，得 af(a)bf(b)，故选 B.6第卷(非选择题 共 70 分)二、填空题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中横线上
8、)13已知函数 f(x) x g(x)的图象在点(2， f(2)处的切线方程是 y x1，则 g(2) g(2)_.答案 7解析 因为 f(x) x g(x)，所以 f( x)1 g( x)由题意得 f(2)213， f(2)1，所以 g(2) g(2)2 f(2)1 f(2)7.14已知某生产厂家的年利润 y(单位：万元)与年产量 x(单位：万件)的函数关系式为y x381 x234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为_万件13答案 9解析 y x381 x234，13 y x281，令 y0，得 09，函数 y x381 x234 在区间(0，9)上是增函数，在区间(9，)上是减函数，
9、13函数在 x9 处取得极大值，也是最大值故使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 9 万件15已知函数 f(x)ln ， g(x)e x2 ，若 g(m) f(n)成立，则 n m 的最小值为x2 12_答案 ln2解析 令 f(n) g(m) k(k0)，则由 ln k，解得 n ，n2 12 2eke由 em2 k，解得 mln k2，则 n m ln k2，2eke令 h(k) ln k2，2eke则 h( k) ，2eke 1k由 h( k)0 得 k ，且当 k 时， h( k)0， h(k)单调递增，7则 h(k)min h ln2，(12)即 n m 的最小值是 ln2.16对于
10、定义在 R 上的函数 f(x)，若存在非零实数 x0，使函数 f(x)在(， x0)和(x0，)上均有零点，则称 x0为函数 f(x)的一个“折点” 现给出下列四个函数： f(x)3 |x1| 2； f(x)lg| x2019|； f(x) x1；x33 f(x) x22 mx1( mR)则存在“折点”的函数是_(填序号)答案 解析 因为 f(x)3 |x1| 22，所以函数 f(x)不存在零点，所以函数 f(x)不存在“折点” ；对于函数 f(x)lg| x2019|，取 x02019，则函数 f(x)在(，2019)上有零点 x2020，在(2019，)上有零点 x2018，所以 x020
11、19 是函数 f(x)lg| x2019|的一个“折点” ；对于函数 f(x) x1，x33则 f( x) x21( x1)( x1)令 f( x)0，得 x1 或 x0，即 h(x)在区间1，)内是增函数，于是 y f( x)在区间1，)内的最小值为 h(1)e1.(2)令 g(x) f(x)e m(x1)，则 g(x)0 对任意 x1，)恒成立，且发现 g(1)0， g( x) e x m.1x由(1)知当 me1 时， g( x)0，此时 g(x)单调递增，于是 g(x) g(1)0，成立；当 me1 时，则存在 t(1，)，使得 g( t)0，当 x(1， t)时， g( x)0，此时
12、 g(x)min g(t)0)，h( x) 2 ax1 ，1x 2ax2 x 1x当 a0，所以 h( x) ，2ax2 x 1x 2ax x1x x2x其中 x1 ， x2 .1 1 8a4a 1 1 8a4a因为 a0，所以当 00；当 xx2时， h( x)g(x)，求 k 的最大值(参考数据：ln51.6094，ln61.7918，ln( 1)0.8814)2解 (1) f(x)5ln x， f(1)5，且 f( x) ，1x从而得到 f(1)1.函数 f(x)的图象在点(1， f(1)处的切线方程为y5 x1，即 y x4.10设直线 y x4 与 g(x) (kR)的图象相切于点
13、P(x0， y0)，kxx 1从而可得 g( x0)1， g(x0) x04，又 g( x) ，kx 12Error!解得Error!或Error! k 的值为 1 或 9.(2)由题意知，当 x(1，)时，5ln x 恒成立，kx1 x等价于当 x(1，)时， k1)，x 15 lnxx则 h( x) (x1)，x 4 lnxx2记 p(x) x4ln x(x1)，则 p( x)1 0，1x x 1x p(x)在 x(1，)上单调递增又 p(5)1ln50，在 x(1，)上存在唯一的实数 m，且 m(5，6)，使得 p(m) m4ln m0，当 x(1， m)时， p(x)0，即 h( x)0，则 h(x)在 x( m，)上单调递增，当 x(1，)时，h(x)min h(m) ，m 15 lnmm由可得 lnm m4， h(m) m 2，m 1m 1m 1m而 m(5，6)， m 2 ，1m (365， 496)又当 m32 时， h(m)8，2p(32 )2 1ln(32 )0，2 2 211 m(5，32 )， h(m) .2 (365， 8)又 kN *， k 的最大值是 7.
