1、1动量和能量的综合应用基础巩固1.如图所示,物体 A 静止在光滑的水平面上, A 的左边固定有轻质弹簧,与 A 质量相同的物体 B 以速度v 向 A 运动并与弹簧发生碰撞, A、 B 始终沿同一直线运动,则 A、 B 组成的系统动能损失最大的时刻是( )A.A 开始运动时 B.A 的速度等于 v 时C.B 的速度等于零时 D.A 和 B 的速度相等时解析 对 A、 B 组成的系统由于水平面光滑,所以动量守恒。而对 A、 B、弹簧组成的系统机械能守恒,即 A、 B 动能与弹簧弹性势能之和为定值。当 A、 B 速度相等时,可类似于 A、 B 的完全非弹性碰撞,A、 B 总动能损失最多。弹簧形变量最
2、大,弹性势能最大。答案 D2.如图所示,木块 A、 B 的质量均为 2 kg,置于光滑水平面上, B 与一轻质弹簧的一端相连,弹簧的另一端固定在竖直挡板上,当 A 以 4 m/s 的速度向 B 撞击时,由于有橡皮泥而粘在一起运动,那么弹簧被压缩到最短时,弹簧具有的弹性势能大小为( )A.4 J B.8 J C.16 J D.32 J解析 A、 B 在碰撞过程中动量守恒,碰后粘在一起共同压缩弹簧的过程中机械能守恒。由碰撞过程中动量守恒得 mAvA=(mA+mB)v,代入数据解得 v= =2 m/s,所以碰后 A、 B 及弹簧组成的系统的机mAvAmA+mB械能为 (mA+mB)v2=8 J,当弹
3、簧被压缩至最短时,系统的动能为 0,只有弹性势能,由机械能守恒得此12时弹簧的弹性势能为 8 J。答案 B3.2如图所示,带有半径为 R 的 光滑圆弧的小车其质量为 m0,置于光滑水平面上,一质量为 m 的小球从圆14弧的最顶端由静止释放,则小球离开小车时,小球和小车的速度分别为多少?解析 球和车组成的系统虽然总动量不守恒,但在水平方向动量守恒,且全过程满足机械能守恒,设球车分离时,球的速度为 v1,方向水平向左,车的速度为 v2,方向水平向右,则 mv1-m0v2=0,mgR= m0 ,解得 v1= ,v2= 。12mv12+12v22 2m0gRm0+m 2m2gRm0(m0+m)答案 ,
4、方向水平向左 ,方向水平向右2m0gRm0+m 2m2gRm0(m0+m)4.如图所示,光滑水平面上有 A、 B 两小车,质量分别为 mA=20 kg,mB=25 kg。 A 车以初速度 v0=3 m/s向右运动, B 车静止,且 B 车右端放着物块 C,C 的质量为 mC=15 kg。 A、 B 相撞且在极短时间内连接在一起,不再分开。已知 C 与 B 上表面间动摩擦因数为 = 0.2,B 车足够长,求 C 沿 B 上表面滑行的长度。解析 A、 B 相撞: mAv0=(mA+mB)v1,解得 v1= m/s。由于在极短时间内摩擦力对 C 的冲量可以忽略,故43A、 B 刚连接为一体时, C
5、的速度为零。此后, C 沿 B 上表面滑行,直至相对于 B 静止为止。这一过程中,系统动量守恒,系统的动能损失等于滑动摩擦力与 C 在 B 上的滑行距离之积;(mA+mB)v1=(mA+mB+mC)v(mA+mB) (mA+mB+mC)v2=m CgL12 v12-12解得 L= m。13答案 m135.如图所示,一不可伸长的轻质细绳,静止地悬挂着质量为 m0的木块,一质量为 m 的子弹,以水平速度v0击中木块,已知 m0=9m,不计空气阻力。问:(1)如果子弹击中木块后未穿出(子弹进入木块时间极短),在木块上升的最高点比悬点 O 低的情况下,木块能上升的最大高度是多少?(设重力加速度为 g)
6、3(2)如果子弹在极短时间内以水平速度 穿出木块,则在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能是v04多少?解析 (1)因为子弹与木块作用时间极短,子弹与木块间的相互作用力远大于它们的重力,所以子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒,设子弹与木块开始上升时的速度为 v1,则 mv0=(m+m0)v1,所以 v1=v0。因不计空气阻力,所以系统上升过程中机械能守恒,设木块上升的最大高度为 h,则 (m+m0)110 12=(m+m0)gh,解得 h= 。v12v02200g(2)子弹射穿木块前后,子弹与木块组成的系统水平方向动量守恒,设子弹穿出时木块的速度为v2,则 mv0=m +m0v2,解得 v2
7、= v0,在这一过程中子弹、木块系统损失的机械能为 E=v04 112m0 。12mv02-12m(v04)2-12v22=716mv02答案 (1) (2)v02200g 716mv026.两质量分别为 m1和 m2的劈 A 和 B,高度相同,放在光滑水平面上, A 和 B 的倾斜面都是光滑曲面,曲面下端与水平面相切,如图所示,一质量为 m 的物块位于劈 A 的倾斜面上,距水平面的高度为 h,物块从静止滑下,然后又滑上劈 B,求物块在 B 上能够达到的最大高度。解析 设物块到达劈 A 的底端时,物块和 A 的速度大小分别为 v 和 v1,由机械能守恒定律和动量守恒定律得mgh= mv2+ m
8、112 12v12m1v1=mv设物块在劈 B 上达到的最大高度为 h,此时物块和 B 的共同速度大小为 v2,由机械能守恒定律和动量守恒定律得mgh+ (m2+m) mv212 v22=12mv=(m2+m)v2解得 h= h。m1m2(m1+m)(m2+m)答案 hm1m2(m1+m)(m2+m)7.4在如图所示的光滑水平面上,小明站在静止的小车上用力向右推静止的木箱,木箱离开手以 5 m/s的速度向右匀速运动,运动一段时间后与竖直墙壁发生弹性碰撞,反弹回来后被小明接住。已知木箱的质量为 30 kg,人与车的质量为 50 kg,求:(1)推出木箱后小明和小车一起运动的速度大小;(2)小明接
9、住木箱后三者一起运动,在接木箱过程中系统损失的能量。解析 (1)在推木箱的过程,由动量守恒定律可得 m0v1=mv2代入数据可得 v1=3 m/s小明在接木箱的过程,由动量守恒定律可得m0v1+mv2=(m0+m)v3代入数据可得 v3=3.75 m/s(2)故损失的能量 E= m0 (m0+m)12v12+12mv22-12 v32代入数据可得 E=37.5 J。答案 (1)3.75 m/s (2)37.5 J能力提升1.质量相等的三个物块在一光滑水平面上排成一直线,且彼此隔开一定距离,如图所示,具有初动能 E0的第 1 个物块向右运动,依次与其余两个静止物块发生碰撞,最后这三个物块粘在一起
10、,这个整体的动能为( )A.E0 B. C. D.2E03 E03 E09解析 碰撞中动量守恒 mv0=3mv1,解得v1= v03E0= 12mv02Ek= 3m 12 v12由 得 Ek= 。E03答案 C2.5如图所示,光滑水平直轨道上有三个质量均为 m 的物块 A、 B、 C。 B 的左侧固定一轻弹簧(弹簧左侧的挡板质量不计)。设 A 以速度 v0朝 B 运动,压缩弹簧,当 A、 B 速度相等时, B 与 C 恰好相碰并粘接在一起,然后继续运动。假设 B 和 C 碰撞过程时间极短。求从 A 开始压缩弹簧直至与弹簧分离的过程中,(1)整个系统损失的机械能;(2)弹簧被压缩到最短时的弹性势
11、能。解析 (1)从 A 压缩弹簧到 A 与 B 具有相同速度 v1时,对 A、 B 与弹簧组成的系统动量守恒,有mv0=2mv1 此时 B 与 C 发生完全非弹性碰撞,设碰撞后的瞬时速度为 v2,损失的机械能为 E,对 B、 C 组成的系统,由动量守恒和能量守恒得 mv1=2mv2 = E+ (2m) 12mv12 12 v22联立 式,得 E= 116mv02(2)由 式可知, v2v1,A 将继续压缩弹簧,直至 A、 B、 C 三者速度相同,设此速度为 v3,此时弹簧被压缩到最短,其弹性势能为 Ep,由动量守恒和能量守恒得mv0=3mv3 - E= (3m) +Ep12mv02 12 v3
12、2联立 式得 Ep= 。1348mv02答案 (1) (2)116mv02 1348mv023.如图所示,一条轨道固定在竖直平面内,粗糙的 ab 段水平, bcde 段光滑, cde 段是以 O 为圆心, R 为半径的一小段圆弧,可视为质点的物块 A 和 B 紧靠在一起,静止于 b 处, A 的质量是 B 的 3 倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离,分别向左、右始终沿轨道运动。 B 到 d 点时速度沿水平方向,此时轨道对 B 的支持力大小等于 B 所受重力的 。 A 与 ab 段的动摩擦因数为 ,重力加速度为 g,求:34(1)物块 B 在 d 点的速度大小 v;(2)物块 A 滑行的距离
13、 s。解析 (1)B 物体在 d 点,由受力分析得 mg- mg=m ,解得 v= 。34 v2R gR2(2)B 物块从 b 到 d 过程中,由机械能守恒得6=mgR+ mv212mvB2 12A、 B 物块分离过程中,动量守恒,即有 3mvA=mvBA 物块减速运动到停止,由动能定理得-3mgs= 0- 3m12 vA2联立以上各式解得 s= 。R8答案 (1) (2)gR2 R84.如图所示,质量 m1=0.3 kg 的小车静止在光滑的水平面上,车长 L=1.5 m,现有质量 m2=0.2 kg 可视为质点的物块,以水平向右的速度 v0=2 m/s 从左端滑上小车,最后在车面上某处与小车
14、保持相对静止。物块与车面间的动摩擦因数 = 0.5,g 取 10 m/s2,求:(1)物块在车面上滑行的时间 t;(2)要使物块不从小车右端滑出,物块滑上小车左端的速度 v0不超过多少。解析 (1)设物块与小车共同速度为 v,以水平向右为正方向,根据动量守恒定律有 m2v0=(m1+m2)v设物块与车面间的滑动摩擦力大小为 F,对物块应用牛顿运动定律有 F=m2 ,又 F=m 2g,解v0-vt得 t= ,代入数据得 t=0.24 s。m1v0 (m1+m2)g(2)要使物块恰好不从车面滑出,须使物块到达车面最右端时与小车有共同的速度,设其为 v,则 m2v0=(m1+m2)v,由功能关系有m
15、2v02= (m1+m2)v2+m 2gL12 12代入数据解得 v0=5 m/s,故要使物块不从车右端滑出,物块滑上小车左端的速度 v0不超过 5 m/s。答案 (1)0.24 s (2)5 m/s5.如图所示,在水平光滑直导轨上,静止着三个质量为 m=1 kg 的相同的小球 A、 B、 C。现让 A 球以v0=2 m/s 的速度向 B 球运动, A、 B 两球碰撞后粘在一起继续向右运动并与 C 球碰撞, C 球的最终速度 vC=1 m/s。问:(1)A、 B 两球与 C 球相碰前的共同速度多大?7(2)两次碰撞过程中一共损失了多少动能?解析 (1)A、 B 两球相碰,满足动量守恒定律,则有
16、 mv0=2mv1,代入数据求得 A、 B 两球跟 C 球相碰前的速度 v1=1 m/s。(2)A、 B 两球与 C 球碰撞同样满足动量守恒定律,则有 2mv1=mvC+2mv2,相碰后 A、 B 两球的速度v2=0.5 m/s,两次碰撞损失的动能 Ek= (2m) =1.25 J。12mv02-12 v22-12mvC2答案 (1)1 m/s (2)1.25 J6.如图所示,质量为 M 的木块静置于光滑的水平面上,一质量为 m、速度为 v0的子弹水平射入木块且未穿出。设木块对子弹的阻力恒为 F,求:(1)射入过程中产生的内能为多少?木块至少为多长时子弹才不会穿出?(2)子弹在木块中运动了多长时间?解析 (1)以 m 和 M 组成的系统为研究对象,据动量守恒定律可得 mv0=(m+M)v,得 v=mv0M+m动能的损失 E= (M+m)v212mv02-12即 E= ,损失的机械能转化为内能。Mmv022(M+m)设子弹相对于木块的位移为 L,对 M、 m 系统由能量守恒定律得:FL= (M+m)v212mv02-12L=Mmv022F(M+m)(2)以子弹为研究对象,由动量定理得:-Ft=mv-mv0把 v= 代入上式得: t=mv0M+m Mmv0(M+m)F答案 (1) (2)Mmv022(M+m) Mmv022F(M+m) Mmv0(M+m)F8
