1、1第 28 章 锐角三角函数单元测试卷一选择题（共 10 小题）1Rt ABC 中， C90，若 BC2， AC3，下列各式中正确的是 （ ）A B C D2在 Rt ABC 中，各边都扩大 5 倍，则角 A 的三角函数值（ ）A不变 B扩大 5 倍 C缩小 5 倍 D不能确定3如图，在直角坐标系中， P 是第一象限内的点，其坐标是（3， m），且 OP 与 x 轴正半轴的夹角 的正切值是 ，则 sin 的值为（ ）A B C D4在 Rt ABC 中， C90，sin A ，那么 tanB 的值是（ ）A B C D5cos30的相反数是（ ）A B C D6用计算器计算 cos44的结果（
2、精确到 0.01）是（ ）A0.90 B0.72 C0.69 D0.667如图，在 ABC 中， AC BC， ABC30，点 D 是 CB 延长线上的一点，且 BD BA，则tan DAC 的值为（ ）A2+ B2 C3+ D38如图，沿 AC 方向修山路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从 AC 上的一点 B取 ABD145， BD500 米， D55，使 A、 C、 E 在一条直线上，那么开挖点 E 与 D 的距离是（ ）2A500sin55米 B500cos35米C500cos55米 D500tan55米9小明沿着坡度为 1： 的坡面向下走了 2 米，那么他下降高度为（ ）
3、A1 米 B 米 C2 米 D 米10如图，在地面上的点 A 处测得树顶 B 的仰角为 度， AC7 米，则树高 BC 为（ ）A7sin 米 B7cos 米 C7tan 米 D（7+）米二填空题（共 5 小题）11如图，若点 A 的坐标为 ，则 sin1 12比较下列三角函数值的大小：sin40 cos40（选填“”、“”、“”）13已知 sin ，则 tan 14已知 为一锐角，且 cossin60，则 度15如果 ，那么锐角 A 的度数为 三解答题（共 5 小题）16如图，定义：在直角三角形 ABC 中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的余切，记作3ctan，即 ctan ，根据上述角的余
4、切定义，解下列问题：（1） ctan30 ；（2）如图，已知 tanA ，其中 A 为锐角，试求 ctanA 的值17下列关系式是否成立（090），请说明理由（1）sin+cos1；（2）sin22sin18计算：cos30sin60+2sin45tan4519 ABC 中， A30， B45， AC4，求 AB 的长？20如图 1 是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图 2 所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边 AO 与键盘所在面的侧边 BO 长均为 24cm，点 P 为眼睛所在位置， D 为 AO 的中点，连接 PD，当 PD AO 时，称点 P 为“最佳视角点”，作 PC
5、 BC，垂足 C 在 OB 的延长线上，且 BC12 cm（1）当 PA45 cm 时，求 PC 的长；（2）若 AOC120时，“最佳视角点” P 在直线 PC 上的位置会发生什么变化？此时 PC 的长是多少？请通过计算说明（结果精确到 0.1cm，可用科学计算器，参考数据： 1.414，1.732）42019 年人教版九下数学第 28 章 锐角三角函数单元测试卷参考答案与试题解析一选择题（共 10 小题）1【分析】本题可以利用锐角三角函数的定义以及勾股定理分别求解，再进行判断即可【解答】解： C90， BC2， AC3， AB ，Asin A ，故此选项错误；Bcos A ，故此选项错误；
6、Ctan A ，故此选项正确；Dcot A ，故此选项错误故选： C【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，熟练应用锐角三角函数的定义是解决问题的关键2【分析】易得边长扩大后的三角形与原三角形相似，那么对应角相等，相应的三角函数值不变【解答】解：各边都扩大 5 倍，新三角形与原三角形的对应边的比为 5：1，两三角形相似， A 的三角函数值不变，故选： A【点评】用到的知识点为：三边对应成比例，两三角形相似；相似三角形的对应角相等三角函数值只与角的大小有关，与角的边的长短无关3【分析】过点 P 作 PE x 轴于点 E，则可得 OE3， PE m，在 Rt POE 中求出 OP，继
7、而可得sin 的值【解答】解：过点 P 作 PE x 轴于点 E，5则可得 OE3， PE m，在 Rt POE 中，tan ，解得： m4，则 OP 5，故 sin 故选： A【点评】本题考查了勾股定理及同角的三角函数关系，解答本题的关键是求出 OP 的长度4【分析】设 BC2 x， AB3 x，由勾股定理求出 AC x，代入 tanB 求出即可【解答】解：sin A ，设 BC2 x， AB3 x，由勾股定理得： AC x，tan B ，故选： A【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理的应用，求锐角的三角函数值的方法：利用锐角三角函数的定义，通过设参数的方法求三角函数值，或者利用同角（或
8、余角）的三角函数关系式求三角函数值5【分析】根据特殊角的三角函数值得出 cos30 的值，然后根据相反数的定义可得出答案【解答】解：cos30 ，它的相反数为 故选： C6【点评】此题考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容，一定要掌握6【分析】本题要求熟练应用计算器，对计算器给出的结果，根据有效数字的概念用四舍五入法取近似数【解答】解：用计算器解 cos440.72故选： B【点评】本题要求同学们能熟练应用计算器，熟悉计算器的各个按键的功能7【分析】通过解直角 ABC 得到 AC 与 BC、 AB 间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求tan DAC 的值【解
9、答】解：如图，在 ABC 中， AC BC， ABC30， AB2 AC， BC AC BD BA， DC BD+BC（2+ ） AC，tan DAC 2+ 故选： A【点评】本题考查了解直角三角形，利用锐角三角函数的概念解直角三角形问题8【分析】由 ABD 度数求出 EBD 度数，进而确定出 E90，在直角三角形 BED 中，利用锐角三角函数定义即可求出 ED 的长【解答】解： ABD145， EBD35， D55， E90，在 Rt BED 中， BD500 米， D55， ED500cos55米，故选： C【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键79【
10、分析】根据坡度算出坡角的度数，利用坡角的正弦值即可求解【解答】解：坡度 tan 1： 30下降高度坡长sin301 米故选： A【点评】本题主要考查特殊坡度与坡角的关系10【分析】利用三角函数即可直接求解【解答】解：在直角 ABC 中，tan A ，则 BC ACtanA7tan（米）故选： C【点评】本题考查仰角的定义，要求学生能利用三角函数的定义解直角三角形二填空题（共 5 小题）11【分析】根据勾股定理，可得 OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案【解答】解：如图， ，由勾股定理，得OA 2sin1 ，故答案为： 【点评】本题考查了锐角三角函数，利用勾股定理得出 OA 的长是解题关键
11、12【分析】首先根据正余弦的转换方法，得 cos40sin50，再根据正弦值随着角的增大而增大，进行分析【解答】解：cos40sin50，正弦值随着角的增大而增大，又4050，sin40cos408【点评】掌握正余弦的转换方法，以及正弦值的变化规律13【分析】首先根据题意画出图形，由 sin ，可设 AB5 x， BC3 x，然后利用勾股定理可求得 AC 的长，继而求得答案【解答】解：如图：设 A，sin ， ，设 AB5 x， BC3 x，则 AC 4 x，tan 故答案为： 【点评】此题考查了同角三角函数的关系此题难度不大，注意掌握三角函数的定义，注意数形结合思想的应用14【分析】根据 A
12、， B 均为锐角，若 sinAcos B，那么 A+ B90即可得到结论【解答】解：sin60cos（9060），coscos（9060）cos30，即锐角 30故答案为：30【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系，牢记互余两角的三角函数关系是解答此类题目的关键15【分析】根据 30角的余弦值等于 解答【解答】解：cos A ，锐角 A 的度数为 30故答案为：30【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30、45、60的三角函数值是解题的关9键三解答题（共 5 小题）16【分析】（1）根据直角三角形的性质用 AC 表示出 AB 及 AC 的值，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可；（2
13、）由于 tanA ，所以可设 BC3 x， AC4 x，则 AB5 x，再根据锐角三角函数的定义进行解答即可【解答】解：（1）Rt ABC 中，30， BC AB， AC AB， ctan30 故答案为： ；（2）tan A ，设 BC3 x， AC4 x， ctanA 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义及直角三角形的性质，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键17【分析】（1）利用三角函数的定义和三角形的三边关系得到该结论不成立；（2）举出反例进行论证【解答】解：（1）该不等式不成立，理由如下：如图，在 ABC 中， B90， C则 sin+cos + 1，故 sin+cos1 不成立；
14、（2）该等式不成立，理由如下：10假设 30，则 sin2sin60 ，2sin2sin302 1， 1，sin22sin，即 sin22sin 不成立【点评】本题考查了同角三角函数的关系解题的关键是掌握锐角三角函数的定义和特殊角的三角函数值18【分析】直接利用特殊角的三角函数值代入求出即可【解答】解：原式 +2 1 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键19【分析】首先过点 C 作 CD AB 于 D 点，由在 Rt ADC 中， A30， AC4，即可求得 CD与 AD 的长，又由在 Rt CDB 中， B45，即可求得 BD 的长，继而求得答案【解答】解：过
15、点 C 作 CD AB 于 D 点，在 Rt ADC 中， A30， AC4， CD AC 42， AD 2 ，在 Rt CDB 中， B45， CD2， CD DB2， AB AD+DB2 +2【点评】此题考查了解直角三角形的应用注意准确作出辅助线是解此题的关键20【分析】（1）连结 PO先由线段垂直平分线的性质得出 PO PA45 cm，则11OC OB+BC36 cm，然后利用勾股定理即可求出 PC 27 cm；（2）过 D 作 DE OC 交 BO 延长线于 E，过 D 作 DF PC 于 F，则四边形 DECF 是矩形先解 RtDOE，求出 DE DOsin606 ， EO DO6，
16、则FC DE6 ， DF EC EO+OB+BC42再解 Rt PDF，求出 PF DFtan3042 14，则 PC PF+FC14 +6 20 34.6827，即可得出结论【解答】解：（1）当 PA45 cm 时，连结 PO D 为 AO 的中点， PD AO， PO PA45 cm BO24 cm， BC12 cm， C90， OC OB+BC36 cm， PC 27 cm；（2）当 AOC120，过 D 作 DE OC 交 BO 延长线于 E，过 D 作 DF PC 于 F，则四边形 DECF是矩形在 Rt DOE 中， DOE60， DO AO12， DE DOsin606 ， EO DO6， FC DE6 ， DF EC EO+OB+BC6+24+1242在 Rt PDF 中， PDF30， PF DFtan3042 14 ， PC PF+FC14 +6 20 34.627，点 P 在直线 PC 上的位置上升了，此时 PC 的长约是 34.6cm12【点评】本题考查了解直角三角形的应用，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键
