1、第7节 条件概率、二项分布及正态分布,考试要求 1.了解条件概率，能计算简单随机事件的条件概率，了解条件概率与独立性的关系；2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率；3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题；4.了解服从正态分布的随机变量，通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征.,知 识 梳 理,1.条件概率,P(B|A)P(C|A),2.事件的相互独立性,P(A)P(B),P(B),P(A),3.全概率公式,(1)完备事件组： 设是试验E的样本空间，事件A1，A2，An是样本空间的一个划分，满足： A1A2An. A1，A2，An两
2、两互不相容，则称事件A1，A2，An组成样本空间的一个完备事件组. (2)全概率公式,4.独立重复试验与二项分布,(1)独立重复试验 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验，其中Ai(i1，2，n)是第i次试验结果，则 P(A1A2A3An)_. (2)二项分布,P(A1)P(A2)P(A3)P(An),二项分布,5.正态分布,XN(，2),上方,x,x,越小,越大,0.682 6,0.954 4,0.997 4,微点提醒,1.相互独立事件与互斥事件的区别相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算式为P(AB)P(A)P(B)，互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计
3、算公式为P(AB)P(A)P(B). 2.若X服从正态分布，即XN(，2)，要充分利用正态曲线的关于直线X对称和曲线与x轴之间的面积为1.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)相互独立事件就是互斥事件.( ) (2)对于任意两个事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立.( ),(4)从装有3个红球，3个白球的盒中有放回地任取一球，连取3次，则取到红球的个数X服从超几何分布.( ),解析 对于(1)，相互独立事件的发生互不影响，而互斥事件是不能同时发生，故(1)错；对于(2)，只有当A，B为相互独立事件时，公式P(AB)P(A)P(B)才成立；对于(4)，取到红
4、球的个数X服从二项分布. 答案 (1) (2) (3) (4),2.(选修23P54练习2改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同.甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ),答案 B,3.(选修23P75B2改编)已知随机变量X服从正态分布N(3，1)，且P(X2c1)P(Xc3)，则c_.,解析 XN(3，1)，正态曲线关于x3对称，且P(X2c1)P(Xc3)，,4.(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，D(X)2.4，P(
5、X4)P(X6)，则p( )A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3,解析 由题意知，该群体的10位成员使用移动支付的概率分布符合二项分布， 所以D(X)10p(1p)2.4，所以p0.6或p0.4.由P(X4)P(X6)，,答案 B,答案 D,6.(2019青岛联考)已知随机变量XN(1，2)，若P(X0)0.8，则P(X2)_.解析 随机变量X服从正态分布N(1，2)，正态曲线关于x1对称，P(X2)P(X0)1P(X0)0.2.答案 0.2,考点一 条件概率与事件独立性,【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A“取到的2个数之和为偶数”，事件B“取
6、到的2个数均为偶数”，则P(B|A)( ),法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)1.,答案 B,设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，,故所求的分布列为,【训练1】 (1)(2019珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁
7、殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ),解析 (1)设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)0.15，P(AB)0.05，,(2)灯泡不亮包括两种情况：四个开关都开，下边的2个都开，上边的2个中有一个开，,答案 (1)C (2)C,考点二 全概率公式 【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？,解 设事件A为“
8、任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i1，2，3. B1B2B3S，,由全概率公式得P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3). P(B1)0.3，P(B2)0.5，P(B3)0.2，P(A|B1)0.02，P(A|B2)0.01，P(A|B3)0.01， 故P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3)P(B3)0.020.30.010.50.010.20.013.,规律方法 全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把B1，B2，Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“
9、某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中. (1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生. (2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.,【训练2】 一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率.,解 A第一次取到白球，B第二次取到白球.,考点三 独立重复试验与二项分布 【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495，(495，
10、500，(510，515.由此得到样本的频率分布直方图(如下图).,(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量； (2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列； (3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 解 (1)质量超过505克的产品的频率为50.0550.010.3， 所以质量超过505克的产品数量为400.312(件).,(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，X服从超几何分布.,X的分布列为,Y的分布列为,【训练3】 为研究家用轿车
11、在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人.(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列.,所以X的分布
12、列为,考点四 正态分布 【例4】 (1)(2019郑州模拟)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(04)( )A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2,(2)(2019茂名一模)设XN(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注：若XN(，2)，则P(X)68.26%，P(2X2)95.44%),A.7 539 B.6 038 C.7 028 D.6 587,解析 (1)因为随机变量服从正态分布N(2，2)，2，得对称轴为x2，P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04
13、)0.6. (2)XN(1，1)，1，1. P(X)68.26%， P(0X2)68.26%，则P(1X2)34.13%， 阴影部分的面积为10.34 130.658 7. 向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 0000.658 76 587. 答案 (1)A (2)D,规律方法 (1)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结
14、论的活用： P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X).,【训练4】 (2019淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且XN(800，502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( )(参考数据：若XN(，2)，有P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4，P(3X3)0.997 4)A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.954 4,答案 A,思维升华,2.全概率公式的理论和实用意义在于：在较复杂情况下直接计算P(B)不易，但B总是伴随着某个Ai出现，适当地去构造这一组Ai往往可以简化计算. 3.二项分布是概率论中最重要的几种分
15、布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位.(1)判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次.,易错防范 1.运用公式P(AB)P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立. 2.注意二项分布与超几何分布的联系与区别.有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体数量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理.,数据分析三局两胜制的概率问题,1.数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识
16、的素养.数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论. 2.教材和考题中涉及到“三局两胜制”的概率计算问题，对于“三局两胜”的比赛赛制其实是有两种：一种是比赛完3局，胜两局的一方获胜；另一种是比赛的一方先获胜两局则比赛结束，两种不同的赛制对于同一问题的概率计算结果是否一样呢？我们可通过教材的习题对此问题进行认识.,【例题】 (选修23P59习题2.2B组1)甲、乙两选手比赛，假设每局比赛甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？你对局制长短的设置有何认识？,解 每局比赛只有两个结果，甲获胜或乙获胜，每局比赛可以看
17、成是相互独立的，所以甲获胜的局数X是随机变量，X服从二项分布.,可以看出采用5局3胜制对甲更有利，由此可以猜测“比赛的总局数越多甲获胜的概率越大”，由此可以看出为了使比赛公平，比赛的局数不能太少.在这个实际问题背景中，比赛局数越少，对乙队越有利；比赛局数越多，对甲队越有利.,拓展延伸 先后参赛对比赛公平性的影响 拓展1 (两方参赛)匣中有3红5黑2白共10个球.现甲、乙二人轮流从匣中取球，甲先取而乙后取；每人每次取一球且取后不放回.按规定先取到红球者获胜，而出现白球时为平局.分别求甲获胜、乙获胜和平局的概率.,解 甲获胜则必为甲先取到了红球，即：甲取到黑球时乙必取黑球，甲取到红球后比赛马上结束，比赛过程中不会取到白球. 记Bi“第i次取到黑球”，Ri“第i次取到红球”.则,拓展2 (三方参赛)甲、乙、丙三人进行比赛，规定每局两个人比赛，胜者与第三人比赛，依次循环，直至有一人连胜两局为止，此人即为冠军.已知每次比赛双方取胜的概率都是0.5，现假定甲、乙两人先比，试求各人得冠军的概率.,解 记事件A，B，C分别为“甲、乙、丙获冠军”，事件Ai，Bi，Ci分别为“第i局中甲、乙、丙获胜”.,
