1、第2节 排列与组合,考试要求 1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.,知 识 梳 理,1.排列与组合的概念,一定的顺序,2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有_的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有_的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.,不同排列,不同组合,3.排列数、组合数的公式及性质,n(n1)(n2)(nm1),1,n！,微点提醒,1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏. 2.对于
2、分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.,基 础 自 测,1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”),(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列.( ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序.( ),答案 (1) (2) (3) (4) (5),2.(选修23P18例3改编)从4本不同的课外读物中，买3本送给3名同学，每人各1本，则不同的送法种数是( )A.12 B.24 C.64 D.81,答案 B,答案 210,4.(2019济宁质检)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A.144 B.120 C.72 D.24,
3、答案 D,5.(一题多解)(2018全国卷)从2位女生、4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有_种(用数字作答).,答案 16,6.(2018浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_个没有重复数字的四位数(用数字作答).,答案 1 260,考点一 排列问题,【例1】 有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站
4、最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.,规律方法 排列应用问题的分类与解法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法. (2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.,【训练1】 (2019天津和平区二模)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为( )A.120
5、B.240 C.360 D.480,解析 第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步乘法计数原理有3456360种方法. 答案 C,考点二 组合问题 【例2】 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
6、(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？,规律方法 组合问题常有以下两类题型变化： (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.,【训练2】 (1)(一题多解)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为( )A.14 B.24
7、 C.28 D.48(2)(2019杭州二模)若从1，2，3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )A.60种 B.63种 C.65种 D.66种,答案 (1)A (2)D,考点三 分组、分配问题 【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法.(2)(2019西安月考)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80种 B.90种 C.120种 D
8、.150种(3)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌上开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )A.24种 B.30种 C.48种 D.60种,答案 (1)90 (2)D (3)C,【训练3】 (1)(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( )A.12种 B.18种 C.24种 D.36种(2)在8张奖券中有一、二、三等奖各1张，其余5张无奖.将这8张奖券分配给4个人，每人2张，不同的获奖情况有_种(用数字作答).,答案 (1)D (2)60
9、,思维升华 1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数. 2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.,易错防范 1.区分一个问题属于排列问题还是组合问题，关键在于是否与顺序有关.如果与顺序有关，则是排列；如果与顺序无关，则是组合. 2.解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义.,
