1、3.2 空间向量基本定理,空间向量基本定理,名师点拨理解空间向量基本定理应注意: (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底,同时一个基底是一个向量组,而不是单指一个向量. (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以三个向量不共面就隐含着它们都不是0. (3)空间向量基本定理说明,用空间不共面的三个已知向量a,b,c可以线性表示空间的任意一个向量,而且表示的结果是唯一的.,【做一做】 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1,答案:C,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)已知A,B,M,N
2、是空间四点,若 不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面. ( ) (2)若a,b,c是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则x=y=z=0. ( ) (3)选用不同的基底,同一向量的表达式不同. ( ) (4)基底中的三个向量可以有零向量. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,基底的判断,e1+2e2-e3=x(-3e1+e2+2e3)+y(e1+e2-e3)=(-3x+y)e1+(x+y)e2+(2x-y)e3, e1,e2,e3是空间的一个基底,e1,e2,e3不共面,探究一,探究二,探究三,思维辨析,2e1-e2+3e3=p(e1+2e2-e3)+q
3、(-3e1+e2+2e3)+z(e1+e2-e3) =(p-3q+z)e1+(2p+q+z)e2+(-p+2q-z)e3, e1,e2,e3为空间的一个基底,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟判断三个向量能否作为基底,关键是判断它们是否共面,若从正面判断难以入手,可以用反证法结合共面向量定理或利用常见的几何图形帮助进行判断.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且a,b,c是空间的一组基底,给出下列向量组:a,b,x;x,y,z;b,c,z;x,y,a+b+c.其中可以作为空间的基底的向量组有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个,
4、答案:C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,用基底表示向量,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟对于基底e1,e2,e3除了知道它们不共面外,还应明确: (1)一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一向量,二者是相关联的不同概念; (2)基底一旦确定,所有向量的表示就唯一确定了.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2如图,在平行六面体ABCD-ABCD中, ,P是CA的中点,M是CD的中点,N是CD的中点,点Q在CA上,且CQQA=41,用a,b,c表示下列向量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,空间
5、向量基本定理的应用 【例3】设A,B,C及A1,B1,C1分别是异面直线l1,l2上的三点,而M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点,求证M,N,P,Q四点共面.,证明:因为M,N,P,Q分别是线段AA1,BA1,BB1,CC1的中点,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟证明空间四点共面的方法:对空间四点P,M,A,B,可通过证明下列结论成立来证明四点共面.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M为DD1的中点,NAC,且ANNC=21,求证A1,B,N,M四点共面.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,对基底的概念
6、理解不透彻而致误 【典例】 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,M为AC与BD,易错分析:在用基底表示向量时,其结果中有时还会出现基底以外的其他向量,应对基底以外的向量继续分解,最后都转化为用基向量表示.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得基底可以表示空间内任一向量,用基底表示向量时,最后结果应只含基向量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案:B,1 2 3 4,( ) A.O,A,B,C四点共线 B.O,A,B,C四点共面 C.O,A,B,C四点中任意三点共线 D.O,A,B,C四点不共面 答案:D,1 2 3 4,答案:D,1 2 3 4,3.如图,已知矩形ABCD,P为平面ABCD外一点,且PA平面ABCD,M,N分别为PC,PD上的点,且PM=2MC,PN=ND,则满足,1 2 3 4,解析:如图所示,取PC的中点E,连接NE,AC,1 2 3 4,4.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,(1)求证:A,E,C1,F四点共面;,
