1、*6 正态分布,曲线,简称正态曲线.正态分布完全由参数和确定,常记作N(,2).如果随机变量X服从正态分布,记作XN(,2),那么X的均值EX=,方差DX=2(0). 2.正态曲线的性质 (1)曲线在x轴上方,与x轴不相交. (2)曲线关于直线x=对称.(4)曲线与x轴之间的面积是1.,3.正态变量在三个特殊区间内取值的概率 P(-0及b,随机变量aX+b也服从正态分布.,【做一做1】 若随机变量N(,2),且P(c)=P(c),则c的值为( ) A.0 B. C.- D. 解析由正态分布密度曲线的性质知:曲线是单峰的,它关于直线x=对称,其概率为图像与x轴以及垂直于x轴的直线所围成的图形的面
2、积,则有c=. 答案B,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)标准正态分布的均值与标准差分别为0和1. ( ) (2)正态分布中的参数和完全确定了正态分布,参数是正态分布的均值,是正态分布的标准差. ( ) (3)如果一个随机变量是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和,那么它就服从或近似服从正态分布. ( ) (4)把一条正态曲线C1沿着横轴方向向右移动2个单位长度,得到一条新的曲线C2,以曲线C2为概率密度曲线的总体的方差比以曲线C1为概率密度曲线的总体的方差大2. ( ) 答案(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,
3、思维辨析,【例1】 下图中分别是甲、乙、丙三种品牌石英钟时间误差分布的正态密度曲线,则下列说法不正确的是( )A.三种品牌的石英钟时间误差的均值相等 B.时间误差的均值从大到小依次为甲、乙、丙 C.时间误差的方差从小到大依次为甲、乙、丙 D.三种品牌的石英钟中甲品牌的质量最好,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解析正态曲线中的参数,分别表示随机变量的均值和标准差.由图像可知甲、乙、丙三种曲线的对称轴相同,故它们的时间误差的均值相等,A正确,B错误;再根据图像的扁平与尖陡情况可以判断它们的标准差从小到大依次为甲、乙、丙,这也说明甲品牌偏离均值的离散程度较小,所以甲品牌的质量最好,故C,D正确.
4、答案B,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 利用正态曲线的性质可以求参数, (1)正态曲线是单峰的,它关于直线x=对称,由此性质结合图像可求. 且当一定时,曲线随的变化沿x轴平移; 当一定时,曲线形状由确定:越大,曲线越“矮胖”,表示总体分布越分散.(3)由的大小区分曲线的胖瘦.,变式训练 1 如图为=0,取三个不同值1,2,3的正态曲线,则1,2,3的大小关系是( ) A.11230 B.02130 D.012=13,探究一,探究二,探究三,思维辨析,答案:D,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】在某次大型考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学中成绩
5、在8085分的有17人.试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人. 分析本题主要考查正态分布及其应用,解题关键是要记住正态总体取值在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内的概率,将所给问题转化为上述区间内解决,同时要注意对称性的运用和数形结合思想的应用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解依题意,由8085分的同学的人数和所占百分比求出该班同学的总数,再求90分以上同学的人数. 成绩服从正态分布N(80,52), =80,=5,-=75,+=85. 于是成绩在(75,85内的同学占全班同学的68.3%. 由正态曲线的对称性知,成绩在(80,85内的同学占全班同学的设该班有x名同学,
6、则x34.15%=17,解得x50. 又-2=80-10=70,+2=80+10=90,探究一,探究二,探究三,思维辨析,成绩在(70,90内的同学占全班同学的95.4%. 成绩在(80,90内的同学占全班同学的47.7%. 成绩在90分以上的同学占全班同学的50%-47.7%=2.3%.即有502.3%1(人),即成绩在90分以上的同学仅有1人.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 服从正态分布的概率的求法 (1)正态分布完全由参数和确定,其中是随机变量取值的均值,可用样本均值去估计,是随机变量取值的标准差,可以用样本标准差去估计. (2)求正态总体X在某区间内取值的概率(即正态曲线
7、与x轴之间在这个区间上的面积)的基本方法. 利用正态分布的三个常数数据,把所求的问题转化为X落在区间(-,+),(-2,+2),(-3,+3)内的概率分别是0.683,0.954,0.997求解. 充分利用正态曲线的对称性及面积为1的性质.正态曲线关于直线x=对称,从而在关于直线x=对称的区间上概率相等.在利用对称性转化区间时,要注意区间是关于直线x=对称,而不是关于x=0(0时)对称.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 2设XN(1,22),试求: (1)P(-1X3);(2)P(3X5);(3)P(X5). 解XN(1,22),=1,=2. (1)P(-1X3)=P(1-2X1+
8、2) =P(-X+)=0.683. (2)P(3X5)=P(-3X-1),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】有一种精密零件,其尺寸X(单位:mm)服从正态分布,即XN(20,4).若这批零件共有5 000个.试求: (1)这批零件中尺寸在18 mm22 mm间的零件所占的百分比. (2)若规定尺寸在24 mm26 mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个? 分析解答此题需先确定,以及所给区间与,之间的关系.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解(1)XN(20,4),=20,=2. -=18,+=22. 于是零件尺寸X在18 mm22 mm间的零件所占百分比大约是68.
9、3%. (2)-3=20-32=14,+3=20+32=26, -2=16,+2=24, 零件尺寸X在14 mm26 mm间的百分比大约是99.7%,而零件尺寸在16 mm24 mm间的百分比大约是95.4%.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.在实际应用题中,通常认为服从正态分布N(,2)的随机变量X只取(-3,+3)之间的值,并简称为3原则. 2.正态总体几乎总取值于区间(-3,+3)之内,而在此区间以外取值的概率只有0.003,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生,这是统计中常用的假设检验方法的基本思想.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3 某人从某城市的南
10、郊乘公交车前往北区火车站,由于交通拥挤,所需时间X(单位:分)近似服从正态分布XN(50,102),求他在(30,60分内赶到火车站的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因不注意结合图形而致误 【典例】 随机变量服从正态分布N(0,1),如果P(1)=0.841 3,求P(-11)=1-0.841 3=0.158 7. 所以P(-1)=0.158 7, 所以P(-10)=0.5-0.158 7=0.341 3.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得 1.求解时,要注意结合图形对称性,不要错解为P(-10)=1-P(1)=0.158 7. 2.针对=0的正态分布,求某区间上的取值概率
11、时常利用如下两个公式: (1)P(X-x0)=1-P(Xx0); (2)P(aXb)=P(Xb)-P(Xa).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 佛山某学校的功能室统一使用“佛山照明”的一种灯管,已知这种灯管使用寿命(单位:月)服从正态分布N(,2),且使用寿命不少于12个月的概率为0.8,使用寿命不少于24个月的概率为0.2. (1)求这种灯管的平均使用寿命; (2)假设一间功能室一次性换上4支这种新灯管,使用12个月时进行一次检查,将已经损坏的灯管换下(中途不更换),求至少有两支灯管需要更换的概率.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1,2,3,4,1.设有一正态总体,它的概率密
12、度曲线是函数f(x)的图像,且A.10与8 B.10与2 C.8与10 D.2与10 解析:由正态密度函数的定义可知,总体的均值=10,方差2=4,即=2. 答案:B,1,2,3,4,A.f(x)为偶函数C.f(x)在x0时是减少的,在x0时是增加的 D.f(x)关于x=1是对称的 解析:由正态分布密度函数知=0,即图像关于y轴对称. 答案:D,1,2,3,4,1,2,3,4,4.已知正态总体的数据落在区间(-3,-1)内的概率和落在区间(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值为 . 解析正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等.另外,因为区间(-3,-1)和区间(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的. 因为区间(-3,-1)和区间(3,5)关于直线x=1对称,所以正态分布的均值是1. 答案1,
