1、4 二项分布,二项分布 进行n次试验,如果满足以下条件: (1)每次试验只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”; (2)每次试验“成功”的概率均为p,“失败”的概率均为1-p; (3)各次试验是相互独立的. 用X表示这n次试验中成功的次数,则若一个随机变量X的分布列如上所述,称X服从参数为n,p的 二项分布,简记为XB(n,p).,名师点拨1.二项分布实际上只是对n次独立重复试验从概率分布的角度作了进一步的阐述,是概率论中最重要的几种分布之一. 2.判断一个随机变量是否服从二项分布,关键有二:其一是对立性,即一次试验中只有两个相互对立的结果,可以分别称为“成功”和“失败”,二者
2、必居其一;其二是重复性,即试验是独立重复地进行了n次.,答案:C,答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是 假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响;每人各次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲射击4次,至少有1次未击中目标的概率; (2)求两人各射击4次,甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率; (3)假设某人连续2次未击中目标,则中止其射击,问:乙恰好射击5次后,被中止射击的概率是多少?,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析(1)从对立事件的角度考虑比较容易解决;(2)甲射击4次击中目标
3、2次,乙射击4次击中目标3次,两者均为独立重复试验,而这两个事件又为相互独立事件,故可用相互独立事件同时发生的概率公式求解;(3)依题意后3次射击情形必为:击中、未击中、未击中的分布,而前2次的射击不能为两次都未击中,而这些情形都是相互独立的,故可用相互独立事件同时发生的概率公式求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.二项分布有以下两个特点: (1)对立性,即一次试验中,事件发生与否二者必居其一; (2)重复性,即试验是独立重复地进行了n次.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 1某辆载有5位乘客的公共
4、汽车在某停靠点停车.若车上每位乘客在该停靠点下车的概率均为 ,则表示这5位乘客中在该停靠点下车的人数,求随机变量的分布列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立. (1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列; (2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?,分析本题是一个独立重复试验问题,其出现音
5、乐的次数X的概率分布列服从二项分布,可直接由二项分布得出.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.独立重复试验问题,随机变量X服从二项分布,即XB(n,p),这里n是独立重复试验的次数,p是每次试验中事件发生的概率. 2.满足二项分布常见的实例有:反复抛掷一枚均匀硬币;已知次品率的抽样;有放回的抽样;射手射击目标命中率已知的若干次射击.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2 学校游园活动有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球、2个黑球,乙箱子里装有1个白球、2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球,若摸出的白
6、球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱) (1)求在1次游戏中,摸出3个白球的概率;获奖的概率; (2)求在2次游戏中获奖次数X的分布列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例3】一名学生骑自行车上学,他到学校的途中有6个交通岗,假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 (1)设X为这名学生在途中遇到的红灯次数,求X的分布列; (2)设Y为这名学生在首次停车前经过的路口数,求Y的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.,分析先正确求得各变量取各值的概率,再列出各变量的分布列.,探
7、究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟 1.利用二项分布解题的关键在于建立二项分布的模型,也就是看它是否为n次独立重复试验,随机变量是否为在这n次独立重复试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布. 2.在解题时,要注意概率的加法公式、乘法公式、“正难则反”思想(利用对立事件求概率)的灵活运用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 3有人预测:在2020年世界女排大奖赛上,亚洲区决赛将在中国队与日本队之间展开,据以往统计,中国队在每局比赛中胜日本
8、队的概率均为 ,比赛采取五局三胜制,谁先胜三局谁就获胜,并停止比赛. (1)求中国队以31获胜的概率; (2)设X表示比赛的局数,求X的分布列.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得 在解题过程中,不要将表面像是n次独立重复试验(实质上不是)不假思索地按n次独立重复试验进行.对于有些问题表面看不是n次独立重复试验问题,但经过转化后可看作独立重复试验,从而将问题简化.由此可看到转化思想在数学问题的处理中所发挥的重要作用.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练 甲、乙两队进行7局4胜制的比赛,即甲队或乙队谁先累计获胜4
9、局比赛,即为冠军.若在每局比赛中,甲队获胜的概率均为0.6,每局比赛必分出胜负,且每局比赛的胜负不影响下局比赛. 求:(1)甲队在第5局比赛后获得冠军的概率为多少? (2)甲队获得冠军的概率为多少? 解由题意,知甲队获胜,即无论打几局,最后1局甲队必胜,甲队胜的概率为0.6. (1)甲队在第5局比赛后获得冠军,则甲队第5局必获胜,前4局有3局获胜,(2)甲队获冠军可以是打4局、5局、6局、7局,1,2,3,4,5,1.下列随机变量X的分布列不属于二项分布的是( ) A.投掷一个骰子5次,X表示点数为6出现的次数 B.某射手射中目标的概率为p,设每次射击是相互独立的,X为从开始射击到击中目标所需
10、要的射击次数 C.实力相当的甲、乙两选手举行了5局乒乓球比赛,X表示甲获胜的次数 D.某星期内,每次下载某网站数据后被病毒感染的概率为0.3,X表示下载n次数据后电脑被病毒感染的次数,1,2,3,4,5,解析选项A,试验出现的结果只有两个点数为6和点数不为6,且点数为6的概率在每一次试验中都为 ,每一次试验都是独立的,共进行5次,故随机变量X服从二项分布;选项B,虽然随机变量在每一次试验中的结果只有两种,且每一次试验事件相互独立且概率不发生变化,但随机变量的取值不确定,故随机变量X不服从二项分布;选项C,甲、乙的获胜率都相等,举行5次比赛,相当于进行了5次试验,故X服从二项分布;选项D,由二项分布的定义可知,被病毒感染次数XB(n,0.3). 答案B,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,5.有一批玉米种子,其发芽率是0.8.每穴只要有一个发芽,就不需补种,否则需要补种,问每穴至少种几粒种子,才能保证每穴不需补种的概率大于98%?(lg 2=0.301 0),
