1、本章整合,专题一,专题二,专题三,专题一 平面向量的线性运算 1.向量的加法、减法和数乘向量的综合运算通常叫作向量的线性运算. 2.向量的线性运算的结果仍是一个向量,因此对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意大小、方向两个方面. 3.理解向量的有关概念(如相等向量与相反向量、平面向量基本定理等),用基底表示向量,三角形法则、平行四边形法则是向量线性运算的基础.,专题一,专题二,专题三,【例1】如图,四边形ABCD是梯形,ABDC,且AB=2CD,M,N分别是DC和AB的中点,已知,专题一,专题二,专题三,解:如图,连接DN,CN.,专题一,专题二,专题三,所以点D的坐标为(-2,3)或(2
2、,1).,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题二 平面向量的数量积及其应用 1.求两个向量的数量积主要有三种方法:(1)定义法,ab=|a|b|cos ;(2)向量分解法,即将欲求数量积的两个向量都用已知向量(模已知,夹角已知)为基底进行分解,然后根据数量积运算的性质及运算律计算;(3)坐标运算法,即将向量建立到平面直角坐标系中,求出向量的坐标,然后进行计算. 2.向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系,而向量的夹角、长度是向量的数量特征,利用向量的数量积可以证明两个向量垂直、平行、求两个向量的夹角、计算向量的长度等.,专题一,专题二,专题三,A.13 B.7 C.5
3、 D.3 (2)设向量a,b满足|a|=|b|=1及|3a-2b|= . 求向量a与b的夹角; 求|3a+b|的值.,专题一,专题二,专题三,(方法二)以O为原点,OB所在直线为x轴,建立坐标系(如图). 则O(0,0),M(-2,0),N(2,0). 圆O的方程为x2+y2=9.,答案:C,专题一,专题二,专题三,(2)解:由题意得(3a-2b)2=7, 即9|a|2-12ab+4|b|2=7,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,解析:由平面几何知识可求得CD=1.,专题一,专题二,专题三,专题三 数形结合思想方法的应用 数形结合思想是研究平面向量的线性运算和数量积运算的定义及运
4、算法则、运算律的推导的基本思想方法.向量的坐标表示的引入,使向量运算完全代数化,将数与形紧密地结合在一起.处理两直线平行、垂直的问题是几何问题,但可通过向量的坐标运算这种代数手段使问题解决,还可以利用向量的数量积处理线段的长度、两直线夹角问题.,专题一,专题二,专题三,【例3】 (1)已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正确的是( ) A.ab B.ab C.|a|=|b| D.a+b=a-b (2)已知a,b是单位向量,ab=0,若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为( ),专题一,专题二,专题三,解析:(1)(解法一)代数法.将原式平方得|a+b|2=|
5、a-b|2, a2+2ab+b2=a2-2ab+b2, ab=0,ab.故选B. (解法二)几何法.如图所示,|a+b|=|a-b|, ABCD的两条对角线长度相等, 即ABCD为矩形. ab.故选B.,专题一,专题二,专题三,(2)建立如图所示的平面直角坐标系, 由题意知ab,且a与b是单位向量,c-a-b=(x-1,y-1),|c-a-b|=1, (x-1)2+(y-1)2=1,即点C(x,y)的轨迹是以M(1,1)为圆心,1为半径的圆,答案:(1)B (2)C,专题一,专题二,专题三,变式训练3(1)已知向量a与b不共线,且|a|=|b|0,则下列结论正确的是( ) A.向量a+b与a-b垂直 B.向量a-b与a垂直 C.向量a+b与a垂直 D.向量a+b与a-b共线 (2)已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2= .若平面向量b满足be1=be2=1,则|b|= .,专题一,专题二,专题三,解析:(1)如图所示,作 b,以OA和OC为邻边作OABC,由于|a|=|b|0,则OABC 是菱形,则必有ACOB.,即(a+b)(a-b).故选A.,(2)因为be1=be2=1,|e1|=|e2|=1,由数量积的几何意义,知b在e1,e2方向上的投影相等,且都为1,所以b与e1,e2所成的角相等.由e1e2= 知e1与e2的夹角为60,所以b与e1,e2所成的角均为30,
