1、1.2 椭圆的简单性质,椭圆的简单性质,名师点拨1.判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据: (1)若把方程中的x换成-x,方程不变,则曲线关于y轴对称. (2)若把方程中的y换成-y,方程不变,则曲线关于x轴对称. (3)若把方程中的x,y同时换成-x,-y,方程不变,则曲线关于原点对称. 2.椭圆的顶点是它与对称轴的交点,所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上,且这两个顶点对应的线段为椭圆的长轴,因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上. 3.a,b,c在椭圆内可构成RtOFB,RtOFB叫作椭圆的特征三角形,这是a,b,c的一个几何意义.,【做一做】 (1)已知椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶
2、点是(0,13),另一个顶点是(-10,0),则焦点坐标为 . (2)椭圆16x2+9y2=144的长轴长是 ;短轴长是 ;离心率是 .,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)椭圆的顶点坐标、长轴长、短轴长、离心率都与椭圆焦点所在的坐标轴有关.( ) (2)椭圆的离心率越大,椭圆越接近于圆.( ) (3)从图形的角度看,椭圆位于直线x=a和直线y=b所围成的矩形区域内.( ) (4)椭圆x2+4y2=1的离心率为3.( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例1】 已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m0)的离心
3、率e= ,求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 分析应先将椭圆方程化为标准形式,用m表示a,b,c,再由e= 求出m的值,最后再研究椭圆的相关性质.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟研究椭圆几何性质的关键 1.根据椭圆的方程计算椭圆的基本量时,关键是将所给方程正确化成椭圆的标准形式,然后根据方程判断出椭圆的焦点在哪个坐标轴上,从而准确求出a,b,进而求出椭圆的其他有关性质. 2.在椭圆的诸多基本量中,有些是与焦点所在的坐标轴无关的,如:长轴长、短轴长、焦距、离心率;而有些则是与焦点所在坐标轴有关的,如:顶点坐标、焦点坐标等,在计算时应
4、注意确定焦点位置.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,【例2】 求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是6,离心率是 ; (2)在x轴上的一个焦点,与短轴的两个端点的连线互相垂直,且焦距为6. 分析因为要求的是椭圆的标准方程,故可以先设出椭圆的标准方程,再利用待定系数法求参数a,b,c.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求椭圆标准方程的常用方法及一般步骤 (1)常用方法:利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常利用待定系数法. (2)一般步骤:根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是“选标准,定参数”.其一般步骤为
5、,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2求适合下列条件的椭圆的标准方程: (1)椭圆的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,两顶点分别是(4,0),(0,2); (2)椭圆的短轴长等于2,长轴端点与短轴端点间的距离等于 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,分析(1)利用a,b,c成等差数列得到a,b,c的关系,结合a2=b2+c2及离心率的定义求解. (2)通过题设条件得出MF2F1的几何特征,以此求出a,c的数量关系,进而求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,代入a2=b2+c2,得5c2+2ac-3a2=0, 即5e2+2e-3=0,答案:C (2)解由题意知MF1F2是直线的倾斜角
6、, 所以MF1F2=60. 因为MF1F2=2MF2F1, 所以MF2F1=30,所以MF2F1是直角三角形. 在RtMF2F1中,|F2F1|=2c,MF2F1=30,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟椭圆的离心率的求法 求椭圆的离心率,关键是寻找a与c的关系,一般地:(3)若已知a,b,c的关系,则可转化为a,c的齐次式,再转化为含e的方程求解即可.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3A为y轴上一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,AF1F2为正三角形,且AF1的中点B恰好在椭圆上,求此椭圆的离心率. 解如图,连接BF2. 因为AF1F2为正三角形,且B为线段AF1的中点,
7、所以F2BBF1,BF2F1=30.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,因忽视椭圆焦点的位置而失误易错分析误认为椭圆的焦点在x轴上,而忽视椭圆的焦点位置的不确定性,应分焦点在x轴和y轴上两种情况进行讨论.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得正确记忆每一个知识点和计算公式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1 2 3 4,答案:B,1 2 3 4,答案:D,1 2 3 4,3.椭圆的短半轴长为3,焦点到长轴的一个端点的距离等于9,则椭圆的离心率为( ),答案:C,1 2 3 4,4.已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为 ,两个焦点分别为F1和F2,椭圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.求椭圆G的方程.,
