1、3.1.2 复数的几何意义,1.复平面,特别提醒1.复数z=a+bi用复平面内的点Z(a,b)表示,注意其坐标是(a,b),而非(a,bi). 2.复数与平面向量建立一一对应关系的前提是向量的起点是原点,若起点不是原点,则复数与向量不能建立一一对应关系.,【做一做1】 (1)复数z=-2-10i在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:复数z=-2-10i在复平面内对应的点的坐标是(-2,-10),在第三象限. 答案:C (2)若 对应的复数( ) A.等于0 B.等于-3 C.在虚轴上 D.既不在实轴上,也不在虚轴上 解析:向量 对应的复数为-
2、3i,在虚轴上. 答案:C,3.复数的模,名师点拨1.实数0与零向量对应,故复数0的模为0. 2.两个复数相等,其模必相等,但模相等的两个复数不一定相等. 【做一做2】 (1)复数z=5-i的模等于 ; (2)若复数z=x+2i的模等于4,则实数x= .,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)在复平面中,虚数对应的点都在虚轴上. ( ) (2)复数与复平面内的向量一一对应. ( ) (3)复数的模一定是正实数. ( ) (4)若|z|=2,则复数z在复平面内对应点的轨迹是一个半径等于2的圆. ( ) 答案:(1) (2) (3) (4),探究一,探究
3、二,探究三,思维辨析,复数与复平面内点的对应 【例1】 已知复数z=(a+3)+(2a-4)i,其中aR.当复数z在复平面内对应的点Z满足下列条件时,求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上; (2)Z与原点关于(2,-1)对称; (3)Z在第四象限; (4)Z在曲线 上. 思路分析:根据复数与点的对应关系,得到复数的实部与虚部之间应满足的条件,建立关于a的方程或不等式,即可求得实数a的值(或取值范围).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.复数与复平面内点的对应关系的实质:复数的实部就是其对应点的横坐标,复数的虚部就是其对应点的纵坐标. 2.已知
4、复数在复平面内对应点满足的条件求参数值(或取值范围)时,可根据复数与点的对应关系,找到复数实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求得参数值(或取值范围).,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练1(1)复平面中下列哪个点对应的复数是纯虚数( ) A.(1,2) B.(-3,0) C.(0,0) D.(0,-2) (2)复数2-3i对应的点在直线( ) A.y=x上 B.y=-x上 C.3x+2y=0上 D.2x+3y=0上 解析:(1)点(0,-2)对应的复数为-2i,是纯虚数,故选D. (2)2-3i对应的点为(2,-3),满足方程3x+2y=0,故选C. 答案:(1)D
5、 (2)C,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数与复平面内向量的对应 【例2】在复平面内,点A,B,C对应的复数分别为1+4i,-3i,2,O为复平面的坐标原点. (1)求向量 对应的复数; (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数. 思路分析:根据复数与点、复数与向量的对应关系求解.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.若复数z=a+bi(a,bR),则复数z在复平面内对应的向量 2.复平面内向量对应的复数可以通过向量的坐标运算求得. 3.一个向量不管怎样平移,它所对应的复数是不变的,但其起点与终点对应的复数可能改变.,探究一,探究二,探究三
6、,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,复数的模及其应用 【例3】 若复数 +(a2-a-6)i(aR)是实数,则z1=(a-1)+(1-2a)i的模为 . 思路分析:根据复数是实数的条件以及模的计算公式求解. 解析:因为z为实数,所以a2-a-6=0,且a-2, 所以a=3.于是z1=2-5i,因此|z1|= . 答案: 反思感悟1.计算复数的模时,应先确定其实部与虚部,再套用公式计算. 2.若两个复数相等,则其模必相等,反之,两个复数的模相等,这两个复数不一定相等. 3.两个复数不一定能够比较大小,但两个复数的模一定可以比较大小.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3如果复数
7、z满足a=1+ai(aR)且|z|2,则实数a的取值范围是 .,探究一,探究二,探究三,思维辨析,混淆复数的模与实数的绝对值致误 【典例】 若复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应的点Z的轨迹是( ) A.2个点 B.1个圆 C.2个圆 D.4个点 错解分析:本题常见错解是由混淆复数的模与实数的绝对值之间的不同导致的. 解析:由|z|2-2|z|-3=0可得(|z|+1)(|z|-3)=0,而|z|+10,所以|z|=3,由复数模的几何意义可知,复数Z对应的点到原点的距离等于3,即Z的轨迹是1个圆. 答案:B 纠错心得复数的模不同于实数的绝对值,当复数为实数时,其模就是绝对值,但当复数为虚数时,其模就不同于实数的绝对值,复数模的几何意义是指复数对应的点到原点的距离.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,1.已知复数z=i,则复平面内点Z的坐标为( ) A.(0,1) B.(1,0) C.(0,0) D.(1,1) 解析:复数z=i的实部为0,虚部为1,所以对应点的坐标为(0,1). 答案:A 2.已知z1=5+3i,z2=5+4i,则下列各式正确的是( ) A.z1z2 B.z1|z2| D.|z1|z2| 解析:复数不能比较大小,排除选项A,B,答案:D,5.如果复数z=(m2+m-1)+(4m2-8m+3)i(mR)对应的点在第一象限,求实数m的取值范围.,
