1、第三章 变化率与导数,1 变化的快慢与变化率,1.函数y=f(x)从x1到x2的平均变化率 (1)自变量的改变量为x2-x1,记作x. (2)函数值的改变量为f(x2)-f(x1),记作y.(4)平均变化率的意义:刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢. 名师点拨对函数平均变化率的两点说明 (1)函数的平均变化率是通过实际问题中的平均速度、气球的膨胀率、曲线的割线斜率等问题抽象出来的一个数学概念.定义为函数值的改变量y与自变量的改变量x的比值. (2)平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,或者说,曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”.,2.瞬时变化率 对于函数y=f(x),在自变量x从x0变到
2、x1的过程中,(1)函数值的改变量与自变量的改变量的比值为平均变化率,记作:(2)在x0点的瞬时变化率:当x趋于0时,平均变化率趋于函数在x0点的瞬时变化率.,特别提醒1.平均变化率与瞬时变化率的关系 (1)区别:平均变化率不是瞬时变化率.平均变化率刻画函数值在区间x1,x2上变化的快慢,瞬时变化率刻画函数值在x0点处变化的快慢. (2)联系:当x趋于0时,平均变化率趋于一个常数,这个常数即为函数在x0处的瞬时变化率,它是一个固定值. 2.对瞬时变化率的两点说明 (1)平均变化率随着自变量区间的变化而变化,在某一点处的瞬时变化率是一个固定值. (2)用平均变化率估计瞬时变化率不一定是精确值,但
3、在一定精确度的情况下,不影响其取值的严谨性.,答案:3g m/s,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“”,错误的打“”. (1)自变量的改变量x是一个较小的量,x可正可负但不能为零.( ) (2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间x0,x1上变化的快慢.( ) (3)函数f(x)=x在x=0处的瞬时变化率为0.( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,思维辨析,【例1】 已知函数f(x)=3x+1和g(x)=2x2+1,分别计算f(x)与g(x)在-3到-1之间和在1到1+x之间的平均变化率.,探究一,探究二,思维辨析,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟求平均变化率
4、可根据定义代入公式直接求解,解题的关键是弄清自变量的增量x与函数值的增量y,求平均变化率的主要步骤是: (1)计算函数值的改变量y=f(x1)-f(x0); (2)计算自变量的改变量x=x1-x0;,探究一,探究二,思维辨析,变式训练1已知质点运动规律s(t)=t2+3,则在时间(3,3+t)中,相应的平均速度等于( )答案:A,探究一,探究二,思维辨析,【例2】 柏油路是用沥青和大小石子等材料混合后铺成的,铺路工人铺路时需要对沥青加热使之由固体变成粘稠液体状.如果开始加热后第x小时的沥青温度(单位:)为,探究一,探究二,思维辨析,解0x1时,f(x)=80x2+20, 15分钟=0.25小时
5、,30分钟=0.5小时, 沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为所以沥青温度在15分钟时的瞬时变化率为40, 同理可得,沥青温度在30分钟时的瞬时变化率为80.,探究一,探究二,思维辨析,反思感悟估计瞬时变化率的四个步骤 第一步:定点,明确求哪个点处的瞬时变化率; 第二步:定区间,以此点为端点取一个区间计算平均变化率; 第三步:缩区间,逐步缩小区间长度; 第四步:估计值,据平均变化率逼近的情况估计瞬时变化率.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练2若物体做s(t)=2(1-t)2的直线运动,则其在t=4 s时的瞬时速度为( ) A.12 B.-12 C.4 D.-4答案:A,探究一,探究二,思维辨析
6、,因不能正确理解平均变化率的概念而致误 【典例】 函数y=2x+5在0,2内的平均变化率为 . 易错分析(1)误认为平均变化率没有顺序,而导致错误,要注意自变量的改变量为x=x2-x1,函数值的改变量为y=y2-y1. 解析:当x=0时,y=5,当x=2时,y=9,函数在0,2内的平均变化率为2. 答案:2 纠错心得正确理解平均变化率的概念 对于函数y=f(x),当自变量由x1变化到x2时,相应的函数值也从y1变化到y2,此时自变量的改变量为x=x2-x1,函数值的改变量为y=y2-y1.,探究一,探究二,思维辨析,变式训练函数y=x2-2x+1在x=-2附近的平均变化率为( ) A.-6 B
7、.x-6 C.-2 D.x-2 解析:设y=f(x)=x2-2x+1=(x-1)2, y=f(-2+x)-f(-2)=(-2+x-1)2-(-2-1)2=(-3+x)2-9=(x)2-6x, =x-6, 函数y=x2-2x+1在x=-2附近的平均变化率为x-6. 答案:B,1 2 3 4,5,1.函数y=f(x)的自变量x由x0改变到x0+x时,函数值的改变量y等于( ) A.f(x0+x) B.f(x0)+x C.f(x0)x D.f(x0+x)-f(x0) 解析:写出自变量x0和x0+x对应的函数值f(x0)和f(x0+x),两式相减,就得到了函数值的改变量. 答案:D,1 2 3 4,5,2.函数f(x)=x2-1在x0到x0+x之间的平均变化率为 ( ) A.2x0-1 B.2x0+x C.2x0x+(x)2 D.(x)2-x+1答案:B,1 2 3 4 5,3.在x=1附近,取x=0.3,在四个函数y=x;y=x2;y=x3;y= 中,平均变化率最大的是( ) A. B. C. D. 解析:的平均变化率为1,的平均变化率为2.3,的平均变化率为3.99,的平均变化率约为-0.77. 答案:B,1 2 3 4,5,答案:x+5,1 2 3 4,5,5.某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示,试分别计算从出生到第3个月以及第6个月到第12个月该婴儿体重的平均变化率.,
