1、3 弧度制,一,二,三,四,一、弧度 在单位圆(半径为1的圆)中,长度为1的弧所对的圆心角称为1弧度角.它的单位符号是rad,读作弧度. 【做一做1】 下列各说法中,正确的是( ) A.1弧度就是1的圆心角所对的弧 B.1弧度是长度为半径的弧 C.1弧度是1的弧与1的角之和 D.1弧度角是长度等于半径长的弧所对的圆心角 答案:D,一,二,三,四,二、角度与弧度的互化 因为周角在角度制下是360,在弧度制下是2 rad,所以360=2 rad,180= rad,1= rad0.017 45 rad,应熟记以下一些特殊角的度数与弧度数的对应值:,一,二,三,四,【做一做2】 -225化为弧度为(
2、),答案:C,A.75 B.105 C.135 D.175 答案:A,一,二,三,四,三、弧度制 1.一般地,正角的弧度数是一个正数;负角的弧度数是一个负数;零角的弧度数是0.这种以弧度作为单位来度量角的单位制,叫作弧度制. 2.在弧度制下,角的集合与实数集R之间建立起一一对应的关系:每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应;反过来,每一个实数也都有唯一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应.,一,二,三,四,四、弧度制下的三个公式 1.弧度数公式:|= ,即圆心角的弧度数的绝对值等于该圆心角所对弧长与所在圆的半径的比值. 2.弧长公式:l=|r,即弧长等于所对圆心角弧度数
3、的绝对值与半径的积.采用角度制时的相应公式为l= .,【做一做4】 已知扇形的半径r=30,圆心角= ,则该扇形的弧长等于 ,面积等于 ,周长等于 .,扇形的周长为30+30+5=60+5. 答案:5 75 60+5,一,二,三,四,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)1弧度就是在圆中圆心角为1时对应的弧长. ( ) (2)相同的角在角度制与弧度制下的数值一定不相等. ( ) (3)扇形的面积公式S= |R2中可以是角度数,也可以是弧度数. ( ) 答案:(1) (2) (3),探究一,探究二,探究三,探究四,弧度制的概念 【例1】 下列说法错误的
4、是( ) A.弧度角与实数之间建立了一一对应的关系,C.根据弧度的定义,180一定等于弧度 D.无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小有关 解析:无论是用角度制还是用弧度制度量角,角的大小均与圆的半径的大小无关,而是与弧长和半径的比值有关,故D项错误. 答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟1.不管是以“弧度”还是以“度”为单位的角的大小都是一个与圆的半径的大小无关的定值. 2.用角度制和弧度制度量零角,单位不同,但量数相同(都是0);用角度制和弧度制度量任一非零角,单位不同,量数也不同. 3.以弧度为单位表示角的大小时,“弧度”或“rad”通常省略不写,但以
5、度为单位表示角的大小时,“度”或“”不能省去. 4.以弧度为单位度量角时,常把弧度数写成n(nR)的形式.若无特别要求,不必把写成小数,如-45=- rad,不必写成-45-0.785 rad.,探究一,探究二,探究三,探究四,角度与弧度的互化 【例2】 (1)把11230化为弧度;,(3)将-1 485表示成2k+(kZ)的形式,且02.,度数;(3)先把任意角表示为终边与其终边相同的角,再用弧度制表示.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟角度制与弧度制互化的关键与方法: (1)关键:抓住互化公式 rad=180是关键;,(3)角度化弧度时,应先将分、秒
6、化成度,再化成弧度; (4)角度化为弧度时,其结果写成的形式,没特殊要求,切不可进行近似计算,也不必将化为小数;,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练1(1)下列各角中,与240角终边相同的角为( ),(2)已知角=-1 480. 将改写成+2k(kZ,02)的形式,并指出是第几象限的角; 在区间-4,0)上找出与终边相同的角.,答案:C,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,用弧度制表示角及其范围 【例3】 如图所示,用弧度制表示顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边落在阴影部分内的角的集合.,思路分析:先确定区域的边界角,化为弧度制,再用集合表示.,探究一
7、,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟 用弧度制表示象限角、轴线角、终边相同的角的方法 1.用弧度制表示象限角如下:,探究一,探究二,探究三,探究四,2.用弧度制表示轴线角如下: 终边落在x轴上的角为=k(kZ); 终边落在y轴上的角为=k+ (kZ). 3.用弧度制表示终边相同的角的集合为 |=2k+,kZ.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练2下面表述不正确的是( ) A.终边在x轴上角的集合是|=k,kZ,探究一,探究二,探究三,探究四,解析:对于A,终边在x轴上角的集合是|=k,kZ,故A正确;,答案:D,探究一,探究二,探究三,探究四,【例4】 (1
8、)已知扇形的周长为8 cm,圆心角为2,求该扇形的面积; (2)已知扇形的周长为10 cm,面积等于4 cm2,求其圆心角的弧度数. 思路分析:(1)先求出扇形的半径,再求面积;(2)设出圆心角,建立方程组求解.,探究一,探究二,探究三,探究四,探究一,探究二,探究三,探究四,反思感悟弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略 (1)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量:面积S,弧长l,圆心角,半径r,已知其中的三个量一定能求得第四个量(通过方程求得),已知其中的两个量能求得剩余的两个 量(通过方程组求得). (2)在研究有关扇形的相关量的最值时,往往转化为二次函数的最值问题. (3)注意扇形圆心
9、角弧度数的取值范围是02,实际问题中注意根据这一范围进行取舍.,探究一,探究二,探究三,探究四,变式训练3本例(1)中,将条件“圆心角为2”去掉,求扇形面积的最大值. 解:设扇形的弧长为l cm,半径为r cm,则有2r+l=8,于是l=8-2r,1,2,3,4,5,6,1.-220角化为弧度是( ),答案:D,1,2,3,4,5,6,2. 弧度化为角度是( ) A.278 B.280 C.288 D.318,故选C. 答案:C,1,2,3,4,5,6,3.若扇形的半径变为原来的2倍,弧长也变为原来的2倍,则( ) A.扇形的面积不变 B.扇形的圆心角不变 C.扇形的面积变为原来的2倍 D.扇形的圆心角变为原来的2倍 解析:根据弧度的定义可知,圆心角的大小是一个比值,与弧长、半径有关. 答案:B,1,2,3,4,5,6,答案:C,1,2,3,4,5,6,5.已知半径为10 cm的圆上有一条长为40 cm的弧,则该弧所对的圆心角的弧度数是 .,答案:4,1,2,3,4,5,6,6.一个扇形的面积为1,周长为4,求圆心角的弧度数. 解:设扇形的半径为R,弧长为l,则2R+l=4.,
