1、1问题 5 应用三角函数的性质求解参数问题一、考情分析 利用三角函数的性质求参数取值或范围是往往是高考中的亮点,这类问题一般涉及到值域、单调性及周期性等性质,三角函数因为其函数性质的特殊性,如正弦函数和余弦函数的有界性,往往在确定变量范围,或者最大值最小值有关问题上起着特殊的作用.如果试题本身对自变量的取值范围还有限制,则更应该充分注意.二、经验分享(1) 三角函数值域的不同求法利用 sin x 和 cos x 的值域直接求；把所给的三角函数式变换成 y Asin(x )的形式求值域；通过换元,转换成二次函数求值域(2)已知三角函数解析式求单调区间：求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先
2、化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减 ”；求形如 y Asin(x )或 y Acos(x )(其中 0)的单调区间时,要视“ x ”为一个整体,通过解不等式求解但如果 0,那么一定先借助诱导公式将 化为正数,防止把单调性弄错(3)已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解(4)对于函数 y Asin(x ),其对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线 x x0或点( x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断(5)求三角函数周期的方法：利用周期函数的定义利用公式： y Asin(x )和
3、 y Acos(x )的最小正周期为 ,ytan( x )的最小正周期2| |为 .| |(6)图象变换：由函数 ysin x 的图象通过变换得到 y Asin(x )的图象,有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移” (8)求 y Asin(x ) B(A0, 0)解析式的步骤求 A,B,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A ,B .M m2 M m2求 ,确定函数的周期 T,则 .2T求 ,常用方法如下：i.代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降2区间上)或把图象的最高点或最低点代入ii.五点法：确定 值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突
4、破口具体如下：“第一点” (即图象上升时与 x 轴的交点)为 x 0；“第二点”(即图象的“峰点”)为 x ；“第三点”(即图 2象下降时与 x 轴的交点)为 x ；“第四点”(即图象的“谷点”)为 x ；“第五点”32为 x 2.三、知识拓展1对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期14(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期2奇偶性若 f(x) Asin(x )(A, 0),则(1)f(x)为偶函数的充要条件是 k( kZ)； 2(2)f(x)为奇函数的充要条件是 k( kZ)3由 ysin x
5、到 ysin( x )( 0, 0)的变换：向左平移 个单位长度而非 个单位长度4函数 y Asin(x )的对称轴由 x k ,kZ 确定；对称中心由 x k, kZ 确 2定其横坐标四、题型分析(一) 与函数最值相关的问题【例 1】已知函数（1）求函数 ()fx的最小正周期与单调递增区间；（2）若时,函数 的最大值为 0,求实数 m的值【分析】 （1） ()fx化为,可得周期2T,由可得单调递增区间；（2）因为,所以,进而 ()fx的最大值为,解得 2m.3【解析】 （1） ,则函数 ()fx的最小正周期 T,根据 ,kZ,得 ,kZ,所以函数 ()fx的单调递增区间为 ,kZ（2）因为
6、,所以 ,则当26x, 3x时,函数取得最大值 0,即 ,解得12m【点评】三角函数的最值问题,大多是含有三角函数的复合函数最值问题,常用的方法为：化为代数函数的最值,也可以通过三角恒等变形化为求 y Asin( x ) B 的最值；或化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数式,再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上的最值.【小试牛刀】 【江苏省启东中学 2018 届高三上学期第二次月考】若方程 在 0,2上有且只有两解，则实数 m的取值范围_【答案】【解析】 4所以当 时， ym 与2t只有一个交点，当 3m时 1t，方程 解所以要使方程 在 0,2上有且只有两解，实数 m的取
7、值范围(二) 根据函数单调性求参数取值范围如果解析式中含有参数,要求根据函数单调性求参数取值范围,通常先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解或转化为使得某个等式或不等式(可以、恒)成立,通常分 离参数,求出解析式的范围或最值,进而求出参数的范围即可.【例 2】已知 0,函数 f(x)sin 在 上单调递减,则 的取值范围是_( x 4) ( 2， )【分析】根据 ysin x 在 上递减,列出关于 的不等式组( 2， 32)【解析】 由 x, 0 得, x , 2 2 4 4 4又 ysin x 在 上递减,所以Error!解得 .( 2， 32) 12 54【答案】 12， 54【点
8、评】求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减” ；求形如 y Asin(x )或 y Acos(x )(其中 0)的单调区间时,要视“ x ”为一个整体,通过解不等式求解但如果 0,那么一定先借助诱导公式将 化为正数,防止把单调性弄错；已知三角函数的单调区间求参数先求出函数的单调区间,然后利用集合间的关系求解【小试牛刀】 【南京市、盐城市 2018 届高三年级第一次模拟】若函数 sinyx在区间 0,2上单调递增，则实数 的取值范围是_【答案】10,4【解析】由题意得 ，所以 5 (三) 根据函数图象的对称性求参数取值范围5【例 3】已知函数 (1)
9、若函数 )(xfy的图像关于直线 对称,求 a 的最小值;(2)若存在 使 成立,求实数 m 的取值范围.【分析】(1)先利用降幂公式进行化简,然后利用辅助角公式将 )(xf化为 ,最后根据正弦函数的对称性求出对称轴,求出 a的最小值即可；(2)根据 的范围求出 320x的范围,再结合正弦函数单调性求出函数 f(x0)的值域,从而可求出 m00021()2()sin()fxfx的取值范围【解析】(1)首先将函数 (xfy的解析式化简为：,又因为函数 )(xfy的图像关于直线 对称,所以,即 ,又因为 0a,所以 的最小值为 12(2) 故 【点评】对于函数 y Asin(x ),其对称轴一定经
10、过图象的最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因此在判断直线 x x0或点( x0,0)是不是函数的对称轴或对称中心时,可通过检验 f(x0)的值进行判断【小试牛刀】 【2018 届安徽省亳州市蒙城高三第五次月考】若将函数 的图象向左平6移 0个单位,所得的图象关于 y轴对称,则 的最小值是 【答案】 8【解析】函数 的图象向左平移 0个单位,得到图象关于 y轴对称,即 ,解得 ,又 0,当 0k时, 的最小值为 8. (四) 等式或不等式恒成立问题在等式或不等式恒成立问题中,通常含有参数,而与三角函数相关的恒成立问题,一定要注意三角函数自身的有界性,结合自变量的取值范围,才能准确求出参数
11、的取值或范围.【例 4】已知不等式 对于,3x恒成立,则实数 m的取值范围是 【答案】2m【解析】因为 ,所以原不等式等价于 在,3x恒成立因为 ,所以 2,所以2m,故选 B【点评】解决恒成立问题的关键是将其进行等价转化,使之转化为函数的最值问题,或者区间上的最值问题,使问题得到解决具体转化思路为：若不等式 fxA在区间 D上恒成立,则等价于在区间 D上 fx的最小值大于 A；若不等式 fxB在区间 D上恒成立,则等价于在区间 上 fx最大值小于 B【小试牛刀】 【2018 届江苏省常熟市高三上学期期中】已知函数 ,若对任意的实数7,都存在唯一的实数 0,m,使 ,则实数 m的最小值是_【答
12、案】 2【解析】函数 ,若对任意的实数 ,则：f（）32,0,由于使 f（）+f（）=0,则：f（）0, 32,= 2,所以：实数 m 的最小值是 2故答案为： 2(五) 利用三角代换解决范围或最值问题由于三角函数的有界性,往往可以用它们来替换一些有范围限制的变量,再利用三角函数的公式进行变换,得到新的范围,达到解决问题的目的.【例 5】已知 12,F是椭圆和双曲线的公共焦点, P是他们的一个公共点,且 ,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为_A.43B.3C.3 D.2【解析】设椭圆方程为21xyab(a b0),双曲线方程为21xyab(a0, b0),其中 a a1,半焦距为 c,
13、于是| PF1| PF2|2 a,|PF1| PF2|2 a1,即| PF1| a a1,|PF2| a a1,因为 ,由余弦定理：4 c2( a a1)2( a a1)22( a a1)(a a1)即 4c2 a23 a12,即8令ac2 cos ,13ac2 sin所以【点评】合理使用三角代换,可以使得运算步骤(特别是与求最值相关的运算)变得非常简洁.【小试牛刀】已知实数 满足 ,则 的最小值为 ,xy21【答案】 43【解析】由 ,可设 ,则 =21xy.五、迁移运用1.【江苏省常州市 2019 届高三上学期期末】已知函数 是偶函数，点是函数 图象的对称中心，则 最小值为_.【答案】【解
14、析】函数 f（ x）sin（ x+） （0，R）是偶函数， ,点（1，0）是函数 y f（ x）图象的对称中心sin（+）0，可得 + k2， k2Z， k2（ k2 k1） 又 0，所以当 k2 k11 时， 的最小值为 故答案为： 92 【江苏省盐城市、南京市 2019 届高三年级第一次模拟】设函数 ，其中 若函数 在 上恰有 个零点，则 的取值范围是_【答案】【解析】取零点时 满足条件 ，当 时的零点从小到大依次为，所以满足 ，解得： 3.【江苏省苏北四市 2019 届高三第一学期期末】将函数 （ ）的图象向左平移个单位长度后，所得图象关于直线 对称，则 的最小值为_.【答案】【解析】将
15、函数 f（ x）sin（ x ） （0）的图象向左平移 个单位后，可得函数 ysin（ x）的图象，再根据所得图象关于直线 x 对称，可得 k ， kZ，当 k0 时， 取得最小值为 ，故答案为： 4 【江苏省徐州市 2019 届高三上学期期中】已知函数 ，若 ，且，则 的最大值为_【答案】【解析】10令 1， ，则， ， m， n， k 都是整数，因为 ，所以 ，所以， 的最大值为 .5 【江苏省常州 2018 届高三上学期期末】如图，在平面直角坐标系 xOy中，函数的图像与 x轴的交点 A， B， C满足 ，则 _.【答案】34【解析】不妨设 0x， x， ，得 ，由，得 ，解得34.6
16、【江苏省淮安市等四市 2018 届高三上学期第一次模拟】若函数 的图象与直线 ym的三个相邻交点的横坐标分别是 6， 3， 2，则实数 的值为_【答案】 4【解析】 ，所以 4。117 【江苏省常熟市 2018 届高三上学期期中】已知函数 ，若对任意的实数，都存在唯一的实数 0,m，使 ，则实数 m的最小值是_【答案】 2【解析】函数 ，若对任意的实数 ，则：f（）32，0，由于使 f（）+f（）=0，则：f（）0， 32，= 2，所以：实数 m 的最小值是 故答案为： 28 【江苏省常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测】已知函数 在区间0,上的值域为31,2，则 的取值范围为_.【
17、答案】5,6312【解析】函数 , 当 0,x时, , ,画出图形如图所示; ，则 , 计算得出563, 即 的取值范围是,.9 【江苏省横林高级中学 2018 届高三模拟】若函数 对任意的实数且 则 m=_ .【答案】 1 或 5【解析】对任意的实数 ,说明函数图像的一条对称轴为 9x， 39f，则 23m ， 1 或 5m.10 【江苏省启东中学 2018 届高三上学期第一次月考】已知函数 若函数 fx 的图象关于直线 x2 对称，且在区间13,4上是单调函数，则 的取值集合为_.【答案】15,36【解析】 2x是一条对称轴，得 ，又 fx在区间 4，上单调，得 2，且 ，得403，集合表
18、示为156， ，。11.【2018 届江苏省泰州高三 12 月月考】将 sin2yx的图像向右平移 单位（ 0）,使得平移后的图像仍过点32，,则 的最小值为_【答案】 6【解析】将 sin2yx的图像向右平移 单位（ 0）得到 ,代入点32，得： ,因为 0,所以当 时,第一个正弦值为 的角,此时 6,故填6.1412设常数 a 使方程 在闭区间0,2 上恰有三个解 123,x,则 . 【解析】原方程可变为 ,如图作出函数 的图象,再作直线ya,从图象可知函数 在0,6上递增,7,6上递减,在7,26上递增,只有当 3时,直线 ya与函数 的图象有三个交点, 10x, 23,32x,所以 1
19、3.若函数 在区间 上单调递增,则实数 的取值范围是 ()63a【答案】 2,)【解析】因为函数 在区间 上单调递增(,)63所以 在区间 恒成立,()0fx()63因为 ,所以 在区间 恒成立2cos0x(,)63所以1ina15因为 ,所以()63x所以 的取值范围是a2)14已知 , ,且 在区间 有最小值,无最大值,则()fx()63【答案】143【解析】如 图 所 示 ,因 为 ,且 ,又 在 区 间 内 只 有 最 小 值 、 无63，最 大 值 ,所以 在 处 取 得 最 小 值 ,所 以 ,所 以()fx4236 又 ,所 以 当 时 , ； 当 时 , ,01k2k此 时 在
20、 区 间 内 有 最 大 值 ,故 ()fx63， 3415 【江苏省常熟市 2018 届高三上学期期中】已知函数 （0,ab）的图象与 x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为 2.（1）求 ,的值；（2）求 fx在0,4上的最大值和最小值.【解析】 （1） f图象上相邻两个最高点之间的距离为 2，16 fx的周期为 2， 2a且 0， a，此时 ，又 fx的图象与 轴相切， 且 0b，21b；（2）由（1）可得 ，0,4x， ， 当 ，即 4x时， fx有最大值为21；当42x，即 16时， f有最小值为 0.16 【江苏省常熟中学 2018 届高三 10 月阶段性抽测】已知函数 的部
21、分图象如图所示.（1）求函数 fx的 解析式，并求出 fx的单调递增区间；（2）将函数 f的图象上各个点的横坐标扩大到原来的 2 倍，再将图象向右平移 6个单 位，得到gx的图象，若存在20,3x使得等式 成立，求实数 a的取值范围.17【解析】 （1）设函数 fx的周期为 T，由图可知 ， T，即2， 0， 2， ，上式中代入,16，有 ，得 ， Zk，即 ， Zk，又 2， 6， ，令 ，解得 ，即 fx的递增区间为 ；（2）经过图象变换，得到函数 gx的解析式为 gxsin，于是问题即为“存在20,3x，使得等式 成立” ，即 在,上有解，令 ，即 在 0,1t上有解，其中 ，172,8
22、a，实数 a的取值范围为17,26.1817已知函数 .(1)若方程 0fx在,2上有解,求 m的取值范围;(2)在 ABC中, ,abc分别是 ABC所对的边 ,当(1)中的 m取最大值且 时,求a的最小值.【答案】 （1） 0,3;（2）1【解析】 (1 )fx= = = ,因为0,2,所以 ,则 ,因为方程 0fx在,2上有解,所以 ,则 3m,故 m的取值范围是 0;(2)由(1)可得 取最大值 3, ,则 ,则3A,由余弦定理可得 a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-3bc ,当 bc时 有最小值 1.18 【2018 届福建省仙游金石中学高三上学期期中】已知函数（ 0）的最小正周期为 （）求 的值；（）求函数 fx在区间203，上的取值范围19【答案】()1；() 30,2.【解析】 （） .因为函数 fx的最小正周期为 ,且 0,所以2,解得 1（）由（）得 .因为203x,所以 .所以 因此 ,即 fx的取值范围为302，.
